文档内容
专题 01 与三角形有关的线段（5 个知识点 6 种
题型 2 个易错点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1 三角形的定义
知识点2 三角形的三边关系
知识点3 三角形的分类
知识点4三角形的三条重要线段
知识点5 三角形的稳定性
【方法二】 实例探索法
题型1：三角形的识别
题型2：三角形三边关系应用
题型3：三角形三种重要线段应用
题型4：三角形三边关系的实际应用
题型5：由三角形的三边关系证明线段间的不等关系
题型6：有关三角形个数的探究
【方法三】 差异对比法
易错点1：对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误
易错点2：忽略了三条线段能否组成三角形导致错误
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．
2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1 三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母
a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【例1】（2022秋·八年级课时练习）由不在同一条直线上的三条线段___________所组成的图形叫做三角
形．
【变式1】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
【例2】．（2023春•大渡口区校级期中）以下数据分别是3根小木棒的长度．用这3根小木棒的长度为边
能搭成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．5cm，5cm，10cm
C．5cm，7cm，14cm D．3cm，4cm，5cm
知识点3 三角形的分类
1.按角分类：要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【例3】（2022秋·全国·八年级专题练习）用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式】（2022秋·河北邢台·八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则 表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形知识点4 三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC的平分线AD，交
语言 AD． BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
线． 1．AD是△ABC的角平分
2．AD是△ABC 中BC 边上
的高． 2．AD是△ABC中BC边 线．
上的中线． 2．AD平分∠BAC，交BC
符号 3．AD⊥BC于点D．
于点D．
语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°． 3．BD＝DC＝ BC
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
以AD⊥BC．
推理
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段垂直． 1．线段相等．
用途
角度相等．
举例
2．角度相等． 2．面积相等．
1．与边的垂线不同．
注意
— 与角的平分线不同．
事项
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要 延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征 一点．这个交点就是三 点．
角形的重心。
【例4】已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【变式1】如图，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC
【变式2】（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习） 在正方形网格中的位置如图所示，点 ， ，
， 均在格点上，则点 是 的（ ）
A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．无法确定
知识点5 三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【例5】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、
CD)，这样做的数学道理是什么?
【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），
每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至
少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【方法二】实例探索法
题型1：三角形的识别
1．（2022秋·广东惠州·八年级阶段练习）在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（
）
A．2对； B．3对； C．4对； D．6对；
4．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 的对边是___________．
5．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，点 、 在 的边 上，则图中共有三角形_____个．
6．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， 分别是 边上的点，连接 ， ，相交于
点 ．(1) 的三个顶点是什么?三条边是什么?
(2) 是哪些三角形的边?
7．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出 的边和角．
（3） 是哪些三角形的边？ 是哪些三角形的角？
题型2：三角形三边关系应用
9．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）有4条线段的长度分别是 和 ，选择其中能组
成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形．10．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）若等腰三角形的两边的长分别是 、 ，则它的周长为
___________ ．
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___．
12．（2022秋·八年级课时练习）四根木棒的长度分别为 ．从中取三根，使它们
首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来．
13．（2022秋·八年级课时练习）两根木棒的长分别是 和 ．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉
成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种?
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足
，试判断 的形状．
15．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求：
(1)这个三角形的第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
16．（2022秋·广东惠州·八年级期中）三角形的两边分别为2cm和4cm，且周长为偶数，求第三边长．17．（2022秋·安徽蚌埠·八年级统考期中）已知： 中， ， ， ，求 的范围．
18．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知 ABC的三边长分别为1，4，a，化简：
△
．
19．（2022秋·四川自贡·八年级校考阶段练习）已知一个三角形的三边长分别为 ，化简：
．
20．（2022·全国·八年级专题练习）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程
，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
21．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式
的正整数解，求该三角形的周长．22．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简 ；
(2)若 ， ， ，求（1）中式子的值．
23．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知a，b，c是 的三边．
(1)化简 ；
(2)若a和b满足方程组 ，且c为偶数，求这个三角形的周长．
题型3：三角形三种重要线段应用
24．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ
25．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图， 是 的中线，E是 的中点，连结 ， ．
若 的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4 B．5 C．5.5 D．6
26.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点
H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
27．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
28.已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是 ．
29．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于
．
30．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在 中，已知点 分别为 的
中点，若 的面积为 ，则阴影部分的面积为 _______31．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
32．（2022秋·八年级课时练习）
(1)用三角尺分别作出锐角三角形 ，直角三角形 和钝角三角形 的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？
33.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的
长．34．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知 分别是 的高和中线，
， ，求：
(1) 的面积；
(2) 的长；
(3) 和 的周长的差．
35.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？题型4：三角形三边关系的实际应用
36．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：
规格
价格/（元/根）
小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为 和 的木棒，
还需要购买一根．
(1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买
木棒一共花了多少元？
37．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范
围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘
米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值
范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘
米？题型5：由三角形的三边关系证明线段间的不等关系
38．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中，点 在 上，连接 ，点 在 上，连接 ，
求证： ．
39．（2021秋·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中）如图，在 中，M是 的中点，求证：
．
题型6：有关三角形个数的探究
40．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，一共有_________个三角形；从大小判断，图中青蛙
可以落在 个三角形内，则 ________．41．（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：
（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．
42．（2020秋·八年级课时练习）如图，在 中， 为AC边上不同的n个点，首先连
接 ，图中出现了3个不同的三角形，再连接 ，图中便有6个不同的三角形……
(1)完成下表：
连接点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个
数
(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
(3)若一直连接到 ，则图中共有多少个三角形？【方法三】差异对比法
易错点1：对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误
43．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知 ．
(1)画出 的中线 和角平分线 ；
(2)画出 的高 ， ．
易错点2：忽略了三条线段能否组成三角形导致错误
44．（2022秋•招远市期中）有四根细木棒，长度分别为6cm，7cm，9cm，14cm，从中取三根木棒组成一
个三角形，有_____种可能情况．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
45.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【方法四】成功评定法
一、单选题
1．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ，G为 的中点，延长 交 于E，F
为 上的一点， 于H．下列判断正确的是（ ）
A．线段 是 的角平分线 B．线段 为 边 上的高
C．线段 是 边 上的中线 D．线段 为 的角平分线
3．（2023·全国·八年级假期作业）在下列各图的 中，正确画出 边上的高的图形是（ ）A． B．
C． D．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， ， ， ，点 ， ， 是垂足，下列
说法错误的是（ ）
A． 中， 是 边上的高 B． 中， 是 边上的高
C． 中， 是 边上的高 D． 中， 是 边上的高
5．（2023·全国·八年级假期作业）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校联考阶段练习）如图中三角形的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·八年级单元测试）如图， ， ， 分别是 的高，角平分线、中线，则下列各式
中错误的是( )
A． B． C． D．
8．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）现有四根长度分别为 ， ， ， 的木棒，从中任取
三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
10．（2022秋·河南周口·八年级校联考期中）如图， ， ，则以 为高的三角形的个
数是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是
；在 AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ．
△
12．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）如图， 是 的中线， ， ，那么
的周长比 的周长多 ．
13．（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）三角形的三条边长分别是2， ，6，则 的取值范围是
．
14．（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，在 中， 、 、 分别是
、 、 的中点，若 的面积是 ，则 ．15．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在 中， 分别是边 上的中线和高，
， 的面积 ，则 ．
16．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图所示， ， 是 的两条高，若 ，
，则 的长为 cm．
17．（2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）设 的三边长分别为 、 、 ，其
中 、 满足 ，则第三边长 的取值范围是 ．
18．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ．（2）以线段 为公共边的三角形是 ．
（3）线段 所在的三角形是 ， 边所对的角是 ．
三、解答题
19．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图， ， 分别是 的高， ， ，
，求 的长．
20．（2022秋·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，垂足为D，
平分 ．已知 ， ，求 的度数．
21．（2022秋·江西上饶·八年级统考期中）任意画一个三角形，利用三角形的中线，将这个三角形的面积
分成相等的四部分，并简要说明作法．（给出3种方法）
22．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图1，点 是 内部一点，连接 ，并延长交
于点 ．(1)试探究 与 的大小关系；
(2)试探究 与 的大小关系；
(3)如图2，点 ， 是 内部两点，试探究 与 的大小关系．
23．（2023秋·八年级课时练习）三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于 ，求三边的
长．
24．（2022春·山东德州·八年级校考期中）已知a、b、c满足(a﹣3)2 |c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请
说明理由．
25．（2022·全国·八年级专题练习）三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？26．（2022秋·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在 中， ， ，
于D．
（1）如图①，已知 于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作 于E， 于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间
的关系．
27．（2022秋·八年级课时练习）按要求完成下列各小题．
(1)在 中， ， ， 的长为偶数，求 的周长；
(2)已知 的三边长分别为3，5，a，化简 ．
