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专题11.16 三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点说明：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取
值范围．
2.三角形按“边”分类：
不等边三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简
称三角形的高．
要点说明：
（1）三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；
直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
要点说明：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形
分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形
的角平分线.
要点说明：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点2】三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
要点说明：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．
（3）四边形没有稳定性.
【知识点3】三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知识点4】多边形的相关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
要点说明：
多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中
三角形是边数最少的多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形
等．
要点说明：
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定
是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边
形才是正方形.
2. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
要点说明：
(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
(2)n边形共有 条对角线．
【知识点5】多边形内角和与外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点说明：
(1)一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
3. 多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点说明：
（1）外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，
每增加1条边，内角和增加180°.
【知识点5】多镶嵌的概念和特征定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆
盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.
要点说明：
（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
（2）)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为
360°.
（3）只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成
一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.
【考点一】三角形➼➻三边关系
【例1】下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位： ），其中能搭成三角形的是（ ）
A．5，6，12 B．6，6，12 C．7，8，15 D．8，9，15
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
解：A、 ，不符合三边关系，不能构成三角形；
B、 ，不符合三边关系，不能构成三角形；
C、 ，不符合三边关系，不能构成三角形；
D、 ，符合三角形三边关系，能构成三角形；
故选D．
【点拨】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
【举一反三】
【变式】一个三角形的三边长之比是2:2:1，周长是 ，此三角形按边分是 （ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据题意可得三角形的三边长，然后问题可求解．
解：由题意可知该三角形的三边长分别为 ， ， ，
∴此三角形按边分是等腰三角形；
故选A．
【点拨】本题主要考查三角形的概念，解题的关键是得到三角形的边长及熟记三角形的分类．
【例2】已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
解：∵三角形的两边长分别为3、7，
∴第三边 的取值范围是则 ．
故选：A．
【点拨】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础
题，中考常考题型．
【举一反三】
【变式1】已知三角形的三边长分别为 ，则化简 的结果为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，
进而得到化简结果．
解：由三角形三边关系定理得 ，
即 ．
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系的运用，根据三角形三边关系定理列出不等式是解本题的关
键．
【变式2】已知某三角形的两边长分别为2和4，且第三边为偶数，则该三角形周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】根据三边关系求出第三边的长，再进行求解即可．
解：∵某三角形的两边长分别为2和4，
∴ 第三边 ，即： 第三边 ；
∵第三边为偶数，
∴第三边的长为 ，
∴该三角形周长为 ；
故选A．
【点拨】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．
【考点二】三角形➼➻三条重要线段
【例3】如图， 是 的边 上的高，若 ， ， ，则 边上的高为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法计算
【答案】B
【分析】如图所示，过点C作 于E，利用等面积法得到 ，据此
代值计算即可．
解：如图所示，过点C作 于E，
∵ 是 的边 上的高， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 边上的高为2，
故选B．
【点拨】本题主要考查了求三角形的高的长，正确利用等面积法列出等式求解是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线 ，对于下列各值：
①点P到直线n的距离；② 的周长；③ 的面积；④ 的大小；其中会随点P的移动而变
化的是（ ）A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【答案】B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根
据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
解：∵直线 ，
∴①点 到直线 的距离不会随点 的移动而变化；
∵ ， 的长随点P的移动而变化，
∴② 的周长会随点 的移动而变化，④ 的大小会随点 的移动而变化；
∵点 到直线 的距离不变， 的长度不变，
∴③ 的面积不会随点 的移动而变化；
综上，会随点 的移动而变化的是②④．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟
练掌握平行线间的距离的概念是关键．
【变式2】如图所示，AD、BF、CE分别是 的三条高线，则下列 的面积表述正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形面积公式以及三角形的高的定义即可求解．
解： 、BF、CE分别是 的三条高线，
求 的面积正确的公式是 ．故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积公式，关键是熟练掌握三角形面积公式．
【例4】如图， 是 中线， ， ．若 的周长为10，则 的周长为
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据中线的定义可得 ，结合 的周长可得 ，进而得出 ，
即可求解．
解：∵ 是 中线，
∴ ，
∵ 的周长为10， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一个顶点到对边中点的连线是中线．
【举一反三】
【变式1】如图， 是 的中线，E是 的中点，连接 ，若 的面积为5，则 的
面积为 ．
【答案】20
【分析】因为 是 的中线，得到 ，由因为 是 的中线，得到，即可求出 的面积．
解： 是 的中线，
，
，
，
是 的中线，
，
，
故答案为：20．
【点拨】本题考查了利用三角形中线求面积，解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个
等底同高的三角形，即两个三角形面积相等．
【变式2】如图， 的面积为1，分别倍长（延长一倍） ， ， 得到 ，再分别倍
长 ， ， 得到 按此规律，倍长2次后得到的 的面积为 ．
【答案】49
【分析】连接 ，根据等底等高的三角形面积相等，可得 ，同理
，从而可得答案．
解：连接 ，根据等底等高的三角形面积相等，的面积都相等，
∴ ，
同理
∵ 的面积为1，
∴ 的面积为49．
故答案为：49
【点拨】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
【例5】育才中学内有一块直角三角形空地△ABC，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其
两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ADC区域内种植了鸡冠花，并量
得两直角边AB=10m，AC=4m，则一串红与鸡冠花两种花草各种植的面积分别为 ．
【答案】
【分析】根据题意，过点 分别向 两边作垂线，垂足为 ，由角平分线的性质定理可以
得到 ，那么 ： = ： =2：5，所以求出 的面积便可以得到 的
面积；
解：过点 分别向 两边作垂线，垂足为
是 的角平分线又 ，
： = ： =2：5
又
故答案是： .
【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理，能够根据角平分线的性质定理画出对应的辅助线是解决
本题的关键.
【举一反三】
【变式1】如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝ ．
【答案】90°
【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可．
解：∵AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，
∴∠1＝ ∠BAC，∠2＝ ∠ABC，∠3＝ ∠ACB，
∴∠1+∠2+∠3＝ (∠BAC+∠ABC+∠ACB)，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为90°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
【变式2】 ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是 ADB和 ADC的角平分线，连接EF，则
DEF的形状△为 ． △ △
△
【答案】直角三角形
【分析】根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可
知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状.
解：∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴2∠ADE+2∠ADF=180°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是直角三角形.
故答案为直角三角形.
【点拨】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角
的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键.
【考点三】三角形➼➻三角形的稳定性
【例6】在日常生活中，数学知识有着广泛的应用．观察下列四幅图片，解释不正确的是（ ）
A．图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性
B．图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性C．图③固定木条 旋转木条 ，当 时有 ，这是因为“同位角相等，两直线平行”
D．图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“两点之间，线段最短”的道理
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短，进
行判断即可．
解：A、图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性，
说法正确，不符合题意；
B、图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性，说
法正确，不符合题意；
C、图③固定木条 旋转木条 ，当 时有 ，这是因为“同位角相等，两直线平行”
说法正确，不符合题意；
D、图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“点到直线，垂线段最短”的道理，原
说法错误，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短．
熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】我国建造的港珠澳大桥全长 公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，
这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
解：依题意，斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：B．【点拨】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
【变式2】下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
解：A．选项为多个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误
B．选项为三个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误
C．选项为二个三角形组成的图形，属于三角形结构，故具有稳定性，不符合题意，故错误
D．选项为四边形，非三角形结构，故不具有稳定性，符合题意，故正确
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和
大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【考点四】三角形➼➻与三角形有关的角
【例7】如图， ，点P是 上的一点．
(1) 求 的度数；
(2) 若 ，请对 进行说明．
【答案】(1) ；(2)见分析
【分析】（1）先判定 ，再利用平行线的性质即可求解；
（2）利用三角形的外角性质求得 ，再利用同位角相等，两直线平行即可说明 ．
（1）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题
的关键．
【举一反三】
【变式1】完成下面的证明：已知，如图， 平分 ， 平分 ，且 ．求证：
．
证明：∵ 平分 （已知）
∴ （ ）
∵ 平分 （已知）
∴ ______（ ）
∴ ______
∵ （已知）
∴ ______°（ ）
∴ ______°
∴ （ ）
【答案】角平分线的定义； ；角平分线的定义； ； ；三角形内角和定理； ；
同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定进行解答即可．解：∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
∴
∵ （已知）
∴ （三角形内角和定理）
∴
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义； ；角平分线的定义； ； ；三角形内角和定理；
；同旁内角互补，两直线平行．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌
握平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【变式2】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好
落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．
【答案】60°
【分析】由折叠和角平分线可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度数．
解：由折叠可知，∠BAD=∠B'AD，
∵AB'平分∠CAD．
∴∠B'AC=∠B'AD，∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，
∴∠BAB'=60°．
【点拨】本题考查了折叠和角平分线，解题关键是掌握折叠角相等和角平分线的性质．
【考点五】多边形内角和与外角和公式运用
【例8】阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1) 这个“多加的锐角”是______°．
(2) 小明求的是几边形的内角和？
(3) 若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可；
（2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；
（3）根据正多边形外角和为 ，而每一个外角都相等进行计算即可；
解：（1）12边形的内角和为 ,而13边形的内角和为 ,
由于小红说：“多边形的内角和不可能是 ，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加
的锐角是 ，
故答案为：30
（2）设这个多边形为n边形，由题意得：
，
解得：
答：小明求的是12边形的内角和；
（3）正12边形的每一个外角都相等，而多边形的外角和始终为 ，
所以每一个外角为 ，答：这个正多边形的每一个外角为
【点拨】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是
正确解答的前提．
【举一反三】
【变式】研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出 与 、 之间的数量关系：______．
【探究】如图②， 是四边形 的外角，求证： ．
【结论】若 边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则 ， 与 的数量关系是______．
【答案】回顾： ；探究：见分析；结论：
【分析】回顾：根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；
探究：根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；
结论：根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．
解：回顾：∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
探究：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
结论：∵n边形的某一个外角的度数是 ，
∴与这个外角相邻的内角是 ，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是 ，
∴ ，整理得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式： （
且n为整数）．
【考点六】多边形的对角线公式运用
【例8】某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“ 边形 共有多少条对角线”这一问题时，设
计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出
______ ______
发
多边形对角线的总条数 ______ ______ ______
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为 吗？
若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为 ，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的 边形对角线总条数公式： 得出最终结果；
②从 边形的一个顶点出发可引 条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为 ，据
此求解．
解：填表如下：
多边形的边数从多边形的一个顶点出发 3
多边形对角线的总条数 5 9
故答案为：3， ， ， ；
把 代入 得， ．
十二边形有 条对角线．
能．
由题意得， 23，
解得 =1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为
，这个多边形的边数1014．
【点拨】本题考查 边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形
所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
【举一反三】
【变式】如图，
（1）从八边形 的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来；
（2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？
【答案】（1）5条，它们分别是线段 ；（2）6个三角形．
【分析】根据过 边形的一个顶点有 条对角线，并将多边形分成 个三角形，并按照题意将
所有对角线用字母表示出来，根据对角线以及顶点即可表示出三角形．解：（1）5条，它们分别是线段 ；
（2）6个三角形，它们分别是 ．
【点拨】本题考查了求多边形的对角线条数问题，掌握过 边形的一个顶点有 条对角线，并将多
边形分成 个三角形是解题的关键．
【考点七】镶嵌问题
【例9】一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为 ．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）首先设内角为 ，根据内角与其相邻外角和为 ，则其相邻的外角为 ，可
得方程 ，计算出 的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数．
（2）根据“拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度”进行判断即可．
（1）解：设一个内角为 ，则外角为 ，
∴ ，
解得： ，
则其外角为： ，
这个正多边形的边数为 ．
答：这个正多边形的边数为 ．
（2）∵ ，
又∵正方形的每个内角是 ，
∴这个正多边形的边数是 ．
【点拨】本题主要考查了多边形的内角与外角、平面镶嵌．关键是掌握多边形的一个内角与其相邻外
角和为180度，拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度．
【举一反三】
【变式】如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙､不重叠的图形的一部分，这种多边形是
几边形？为什么？【答案】正六边形，理由见分析
【分析】根据题意，设这个多边形是n边形，它的一个内角是 ，根据题意，可得 ，再根据
多边形内角和公式即可求得边数．
解：设这个多边形是n边形，它的一个内角是 ，
根据题意，得 ，故 ；
再根据多边形的内角和公式有：
解得 ．
故这种多边形是正六边形．
【点拨】本题考查了平面镶嵌，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．
