文档内容
专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
题型一 三角形的相关概念
题型二 构成三角形的条件
题型三 三角形第三边的取值范围
题型四 三角形三边关系的应用
题型五 三角形高线的画法
题型六 与三角形的高有关的计算问题
题型七 根据三角形中线求长度
题型八 根据三角形中线求面积
题型九 三角形角平分线的定义
题型十 利用网格求三角形面积
题型十一 三角形的稳定性及应用
题型十二 与三角形有关的线段综合应用
知识点 1 三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，
∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
知识点2 三角形的分类：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶
角，腰和底边的夹角叫做底角。
知识点3 三角形的三边关系：
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
知识点4 三角形的稳定性
①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四
边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
知识点5 三角形的重要线段
【经典例题一 三角形的相关概念】
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）线段 上有3个点 ， ， ，直线 外有一点A，把A和B， ， ， ，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】B
【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B， ， ， ，C中的每一个
点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是
三角形．
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的中点，连
接 ，则图中的直角三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得 ， ， ， 为直角三角形，
共有4个直角三角形．
故选：C．
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在 中，边BE所对的角是 ， 所对的边是 ；
在 中，边AE所对的角是 ， 所对的边是 ；以 为内角的三角形有 ．【答案】 CE AC ， ，
3．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在 中， 分别是 上的点，连接
交于点
(1)图中共有多少个 以为边三角形？并把它们表示出来．
(2)除 外，以点 为顶点的三角形还有哪些？
【答案】(1)以 为边的三角形有 个， ， ， ，
(2)以点 为顶点的三角形还有 、
【分析】本题考查的是认识三角形，
（1）以 为边的三角形有 个；
（2）以 为顶点的三角形有 个，除 外，还有 个．
【详解】（1）解：以 为边的三角形有 个， ， ， ， ．
（2）解：除 外，以点 为顶点的三角形还有 、 ．
【经典例题二 构成三角形的条件】
【例2】（2023·河北张家口·三模）如图，数轴上 与6表示的点分别为 ，点B为线段 上
一点，分别以 为中心旋转 ，若旋转后 两点可以重合成一点C（即构成 ），则点B
代表的数不可能的是（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【分析】设点B代表的数为x，则 ， 、 可以用x表示出来，然后根据三角形三边关系求出x
取值范围即可求解．
【详解】解：设点B代表的数为x，则由题意可得：
， ， ，
∴由三角形的三边关系可得：
，解得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等
式组的求法是解题的关键．
1、（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，关于x的不等式组 至少有三个整数解，且存在
以 为边的三角形，则a的整数解有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2
＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个．
【详解】解：
解不等式①，可得x＜2a，解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴a＞ ，
又∵存在以3，a，5为边的三角形，
∴2＜a＜8，
∴a的取值范围是3＜a＜8，
∴a的整数解有4、5、6、7共4个，
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以
下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m
的最大值是 ．
【答案】9
【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可．
【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则 ，即 ，因
此整数m的最大值是9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（ ）满足 ，
则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角
形为“不均衡三角形”．
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）
①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6
(2)已知“不均衡三角形”三边分别为 ，求出所有符合条件的x的整数值．
【答案】(1)②
(2)10，12，13，14
【分析】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨
论思想的应用是解题的关键．
（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；（2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可．
【详解】（1）①∵ ，
∴4，2，1不能组成“不均衡三角形”；
②∵ ，
∴13，18，9能组成“不均衡三角形”；
③∵ ，
∴19，20，19不能组成“不均衡三角形”；
④∵ ，
∴9，8，6不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）∵ ，
∴ ．
当 时，即 ，
则 ，
解得： （舍）
当 时，即 ，
则 ，
解得： ，则 ，符合题意的x取值为10
当 时，即 ，
则 ，
解得： ，则 ，符合题意的x取值为12，13，14
综合的x的取值为10，12，13，14．
【经典例题三 三角形第三边的取值范围】
【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝 ，欲将其弯折成一个三角形，在同一
平面内操作如下：①量出 ；
②在点 右侧取一点 ，使点 满足 ；
③将 向右翻折， 向左翻折．
若要使 ， 两点能在点 处重合，则 的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出
不等式即可得到答案．
【详解】解：设 ，
，
，
将 向右翻折， 向左翻折，
，
符合三角形三边关系，
，
即 ，
解得 ，
解得 ，
故选D．
1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在 中， ，若其周长为 ，则 边的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设 ，由三角形的三边关系定理得
出 ，再由边长为正数得出 ，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：设 ，
∵在 中， ，若其周长为 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得： ，
又∵ ，
解得： ，
∴ ，
即 ．
故选：B．
2、．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）小朦同学从五根长为 ， ， ， ， 的木条中挑
选三根组成三角形，她已经取了 和 两根木棍，那么第三根木棍不可能取 ．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，确定出第三根木棍的取值
范围，即可求解．
【详解】解： 已经取了 和 两根木棍，
第三根木棍的取值范围是 ，
不可能是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系，确定出第三边的取值范围．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长．
(1)若 ， ，则c的取值范围是_______．
(2)试化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于
第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数．（1）由三角形三边关系定理即可得到答案；
（2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得： ，
．
故答案为： ．
（2）解： ， ， ，
．
【经典例题四 三角形三边关系的应用】
【例4】（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且
），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形三边关系求解即可．
【详解】解：由题意， ，则m的值为5或6．
若 ， ，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若 ， ，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以 ．
故选：C．
1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若 的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程
的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】B【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，三角形三边的关系的应用，先解方程得到
，再由方程的解为非正数得到 ，根据三角形三边的关系求出 ，则符合题意的k的
值为5、6、7，据此可得答案．
【详解】解：解方程 得 ，
∵方程的解为非正数，
∴ ，
∴ ，
∵ 的三边长分别为5，3，k，
∴ ，
∴ ，
∴符合题意的k的值为5、6、7，
∴符合条件的所有整数k的和为 ，
故选：B．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知 三边分别是 、 、 ， 化简
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于
第三边可得 ， ， ，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运
算进行计算即可得解．
【详解】解：∵ 、 、 分别为 的三边长，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴
故答案为： ．3．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准
备了一段长 的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场
地限制，若第一条边长为 ，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少 ．
(1)请用x表示第三条边长．
(2)第一条边长可以为 吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不可以，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的三边关系，列代数式求值，熟练掌握三角形的三边关系并灵活运用是解决本
题的关键；
（1）三角形的第三边 周长 另外两边之和，据此解答即可；
（2）根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】（1） 第一条边长为 ，第二条边长只能是第一条边长的3倍还少 ，
第二条边长是 ，
准备了一段长 的篱笆，
第三边为： ；
（2）第一条边长不可以为 ．理由如下：
当 时，三边长分别为4，11，5．
，
不能构成三角形，
第一条边长不可以为 ．
【经典例题五 三角形高线的画法】
【例5】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图， 中， 为 上一点， 于
点E，下列说法中，错误的是（ ）A． 中， 是 上的高 B． 中， 是 上的高
C． 中， 是 上的高 D． 中， 是 上的高
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫
做三角形的高．
根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：A、 中， 是 上的高，不是 上的高，故本选项说法错误，符合题意；
B、 中， 是 上的高，说法正确，不符合题意；
C、 中， 是 上的高，说法正确，不符合题意；
D、 中， 是 上的高，说法正确，不符合题意；
故选：A．
1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示， 中 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的概念求解即可．
【详解】解：由图可得， ∵ ，
∴ 中 边上的高是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．
2．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在△ 中， ， 为 的中点，延长 交
于 ． 于 ，交 于 ．下列说法：①线段 是 的角平分线；②线段 是△
的边 上的高；③ 是 的中线；④△ 与 的面积相等；⑤ ．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①③④⑤
【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判
断④；由直角三角形的性质可判断⑤．
【详解】∵∠1=∠2，
∴线段AG是△ABE的角平分线，
故①正确；
∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直，
∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高，
故②错误；
∵G点为AD的中点，
∴BG是△ABD的中线，
故③正确；
∵BG是△ABD的中线，
∴△ABG与△DBG的面积相等，
故④正确；
∵CF丄AD于H，
∴∠AHC=90º，
∴∠2+∠ACF=90º．
∵∠1=∠2
∴∠1+∠ACF=90º，
故⑤正确．
因此正确的有①③④⑤．
故答案为①③④⑤．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．
熟练掌握以上定义和性质是解题的关键．
3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格，
的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：
(1)将 向上平移2个单位，向左平移1个单位得到 ，画出 ；
(2)画出 边上的高 ；
(3) 的面积为______；
(4)若 ，点 为异于点 的格点，则点 的个数有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3.5
(4)2
【分析】本题考查了平移作图，面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据平移作图方法即可；
（2）根据三角形高的定义即可作图；
（3）把三角形的面积看成正方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（4）设 中 边上的高为 ， 中 边上的高为 ，由 ，得 ，则 ，
找过点 且平行于 的直线上得格点，即可求得．
【详解】（1）解：根据题意可得： 向上平移 个单位，向左平移 个单位，如图，∴ 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求；
（3） 的面积为 ，
故答案为： ．
（4）设 中 边上的高为 ， 中 边上的高为 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
如图，格点 ， 在过点 且平行于 的直线上，符合题意，
即：当 时，异于点 的格点 的有2个，
故答案为：2．
【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】
【例6】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ， ，
若四边形 的面积为14，则 的面积为（ ）A．24 B．28 C．35 D．30
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键．
连接 、 ，过点 作 于点 ，设 ，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，
分别得到 、 、 、 、 、 ，再根据四边
形 的面积，求出 的值，即可得出 的面积．
【详解】解：连接 、 ，过点 作 于点 ，
设 ，
， ， ，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
，
，同理可得： ，
是 的中点，
同理可得： ，
，
，
同理可得： ，
四边形 的面积为28，
，
，
，
故选：D．
1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形 的面积为 ， 点在 上，三角形 的
面积是三角形 面积的2倍， 的长为2， 的长为5，那么三角形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公
式计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是梯形，
∴ ，
∴三角形 边 上的高 三角形 边 上的高（平行线之间的距离处处相等），
又∵三角形 的面积是三角形 面积的2倍， 的长为2，∴ ，
∵梯形 的面积为 ， 的长为5，
∴梯形 的高 ，
∴ 和 之间的距离 ，即三角形 边 上的高 ，
∴三角形 的面积 ，
故选：A．
2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形 中， 为 的
中点．动点P从点A出发，以每秒 的速度沿 的方向运动，最终到达点E．若点P的运动
时间为x秒，则当 时， 的面积等于8．
【答案】4或
【分析】本题考查了三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
分三种情况讨论：①分P在 上；②P在 上；③P在 上三种情况，根据三角形的面积公式计算即
可．
【详解】解：∵长方形 ，
∴ ，
分三种情况讨论：
①当P在 上时．
∵ 的面积等于8，
∴ ，解得： ；
②当P在 上时．∵ 的面积等于8，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
③当P在 上时， ，
解得： （不合题意）．
故答案为4或 ．
3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，已知 分别是 中 边上的高，
，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键．三角形的面积等于
任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，分别以 为底，写出 的面积的两种表示方法；结
合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目．
【详解】解： ，
将 代入得到：解得， ．
【经典例题七 根据三角形中线求长度】
【例7】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知 是 的边 上的中线，若
， ， 的周长比 的周长多2，则 的长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】C
【分析】
依据 是 的边 上的中线，可得 ，再根据 的周长比 的
周长多 2 ， 即可得到 的长；
【详解】
解：∵ 是 的边 上的中线，
又 ∵ 的周长比 的周长多2 ，
即 ，
故选 ：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线， 求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图， 的三边长均为整数，且周长为24， 是边 上的中
线， 的周长比 的周长大3，则 长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
【答案】D
【分析】依据 的周长为24， 的周长比 的周长大3，可得 ，再根据 的
三边长均为整数，即可得到 整数值．
【详解】解： 是边 上的中线，
，
的周长为24， 的周长比 的周长大3，
，
解得 ，
又 的三边长均为整数， 的周长比 的周长大3，
为整数，
边长为奇数，
，7，9，11，
即 的长可能值有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两
边之差小于第三边．
2．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在 中， ， 分别是边 上的高和中线．若
， 的面积是 ，则 的长为 ．【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据 的面积求得 ，再由三角形中线
的定义即可求出 ．
【详解】解： 边 上的高， ， 的面积是 ，
，即 ，
，
是边 上的中线，
，
故答案为：8．
3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ， ， 分别为 边
上的高和中线，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 和 的周长之差；
(3)若 为 边的三等分点，连接 ，与 交于 点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)7cm
(3)
【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积，（1）根据三角形面积公式得 ，据此可得 的长；
（2） 的周长为 ， 的周长为 ，据此可得 和 的周长之
差；
（3）根据点 是 边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当 时，根据 为中线得
，即 ，再根据 得 ，即 ，据此即可得出
的值；当 时，同理可得 ， ，据此即可得出 的
值．
【详解】（1）在 中， ， ， ， ， 为 边上的高，
，
，
即 的长度为 ；
（2） 为 边上的中线，
，
的周长为： ，
的周长为： ，
的周长 的周长 ，
即 和 的周长之差为 ；
（3） 点 是 边的三等分点，
有以下两种情况：
①当 时，如图1所示：
在 中， ， ， ，，
为 边上的中线，
，
，即 ，
，
，
，即 ，
；
②当 时，如图2所示：
同理得： ，
，
，
，即 ，
．
综上所述： 的值为 ．【经典例题八 根据三角形中线求面积】
【例8】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在 中，已知点 为 的中点，点 在 边上，
且 ， 相交于点 ，若 的面积为 ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接 ，由 ，设 ，得
， ，又点 为 中点，则 ， ，设 ，从而有
，根据 得 ，解出 ，然后由 的面积为 即可求出 ，熟练
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
由 ，设 ，
∴ ， ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴ ， ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，解得： ，
∴ ， 解得： ，
∴四边形 的面积是 ，
故选： ．
1．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，点 是 边 上的中点，点 是 上一点且
， 、 是边 上的三等分点，若四边形 的面积为 ，则 的面积是（ ）
A．24 B．42 C．48 D．56
【答案】C
【分析】本题考查有关中线的三角形面积的求法，解题的关键是求出 的面积是 ．
可利用 ，得 的面积为 ， 的面积为 ，再由 、 是边 上的三等分点，即
，得 的面积 的面积 的面积 ，从而 ，解得 ，代入
求解即可．
【详解】解：连接 ，设 的面积为 ，∵ ，
∴ 的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
∵ 、 是边 上的三等分点，即 ，
∴ 的面积 的面积 的面积 ，
∵四边形 的面积为 ，
∴ ，解得 ，
∴ 的面积 的面积 的面积 的面积 ，
∵点 是 边 上的中点，
∴ 的面积是 ．
故选：
2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，分别延长四边形 的各边，使得点A，B，C，D分别为
的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形 ．若 ，则 的
值等于 ．
【答案】20
【分析】此题考查了三角形中线的性质，连接 ，根据三角形中线平分三角形面积得到 ，
，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点A，B，C，D分别为 的中点，
∴ ，
∴
同理可得， ，
∴ ，
故答案为：20
3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在 中， ，D为直线 上任意一点，连结 ，
于点E， 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：证明：∵ __________ ，
∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2） ， ， ， ；（3） 与 的数
量关系为 ，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．
（1）过点B作 交 于一点E，即可作答．
（2） ，根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．
（3）同理得 ，因为点D为 中点，所以 ，结合
，化简得 ，即可作答．
（4）同理结合面积之间的关系列式化简， ，即可作答．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如图所示：
（2） ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）过点B作 交 于一点G，∵ ，
∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（4）过点B作 交 于一点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，【经典例题九 三角形角平分线的定义】
【例9】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在 中， ， 为 的中点，连接
并延长，交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 .下面说法错误的是（ ）
A． 是 的角平分线 B． 是 的边 上的高线
C． 是 的角平分线和高线 D． 是 的边 上的中线
【答案】D
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可．
【详解】解：A． ，则 是 的角平分线，故选项正确，不符合题意；
B． 于点 ，则 是 的边 上的高线，故选项正确，不符合题意；
C． ， 于点 ，则 是 的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意；
D．无法判断 是 的边 上的中线，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题
的关键．
1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ， 是中线， 是角平分线，
是高，则下列说法中错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由中线的性质可得 ，由角平分线的定义可得 ；由 是
的高，可得 ．
【详解】解：∵ 是中线，
∴ ，故A说法正确；
∵ 是角平分线，
∴ ，故B说法正确；
∵ 是 的高，
∴ ， ，
∵ 是角平分线，
∴ ，
∴
，故C说法正确；
∵ ， ，
且BD≠CD，
∴ ，故D说法错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握以上性质是解题的关键．
2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交 于点 ，下面结论：① 的面积的面积；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量
关系；根据三角形的中线和面积公式可确定 和 的面积关系以及求出 的长度．
【详解】解： 是 的中线
的面积等于 的面积
故 正确；
， 是 的高
，
是 的角平分线
∴
又
故 正确；
故 正确；
故 错误；
故答案为：①②③．
3．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图：(1)如图 ，在 中， 、 分别为 、 的角平分线，请作出 的角平分线；
(2)如图 ，在 中， ，点 为边 上一点，点 ， 关于 对称，请作出 的一条垂线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（ ）根据 的三条角平分线交于一点，即可得到结论；
（ ）根据 的三条高所在直线交于一点，即可得到结论；
本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键．
【详解】（1）如图，延长 交 于点 ，
∴ 即为所求；
（2）如图，延长 交于点 ，延长 交 于点 ，
∵点 ， 关于 对称，
∴ ，
∴ 是三角形 的高，
∴ 即为所求．【经典例题十 利用网格求三角形面积】
【例10】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 、 两
点在格点上，格点 的面积为1，则格点 的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以 为腰可得出4个等腰直角三
角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个．
【详解】解：如图，
这样的点共有6个．
故选： ．
1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC
的面积为2，下列不是点C坐标的是（ ）
A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3）【答案】C
【分析】分两种情况讨论，C在x轴或在y轴，求出C的坐标即可．
【详解】解：当C在x轴上时，设 ，
则 ，
解得m=1或-3，
∴C（1，0）或（-3，0）；
当C在y轴上时，设 ，
可知AB与y轴的交点为（0，1），
则 ，
解得m=-1或3，
∴C（0，-1）或（0，3）；
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的问题，解题的关键是分类讨论．
2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 ， ，
，则三角形ABC的面积为 ．
【答案】10
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知三角形 三个顶点的坐标
分别是 ， ， ．三角形 平移得到三角形 ，其中点A，B，C分别对应O，
D，E点．(1)请画出三角形 ；
(2)求三角形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积等知识．熟练掌
握根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积是解题的关键．
（1）由题意可得，图形向右平移1个单位，向下平移4个单位，然后作图即可；
（2）根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ 平移到 ，
∴图形向右平移1个单位，向下平移4个单位，
由平移的性质作图如下，三角形 即为所作；（2）解：由题意知， ，
∴三角形 的面积为 ．
【经典例题十一 三角形的稳定性及应用】
【例11】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一
确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．
1、（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关
键是分析能否在同平面内组成三角形．
【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再
钉上 根木条．
【答案】3
【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠
的三角形即可．
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角
形．
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关
键．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木
条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边
形木架不变形，至少要钉多少根木条？(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数．
【答案】(1)2，3，
(2)9
(3)21
【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答；
（2）根据（1）中的结论代入计算即可求解；
（3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为 ，即可求解．
【详解】（1）解：如下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 2 3 …
故答案为：2，3， ；
（2）解： （根），
∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条，
故答案为：9；
（3）解： ，
∴这个多边形的边数是21，
故答案为：21．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键．
【经典例题十二 与三角形有关的线段综合应用】【例12】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中， ， ， ，
若四边形 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【答案】A
【分析】连接 、 ，过点 作 于点 ，设 ，根据同高的三角形的面积的比等于底
边的比，分别得到 、 、 、 、 、 ，再
根据四边形 的面积，求出 ，即可得出 的面积．
【详解】解：连接 、 ，过点 作 于点 ，
设 ，
， ， ，
，
，
，
同理可得： ，
，
，
，
，
同理可得： ，
是 的中点，同理可得： ，
，
，
同理可得： ，
四边形 的面积为28，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键．
1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，
BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（ ）
A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6
【答案】A【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得 ，进而
得到 ，同理得出 ，进而得到 即可解答．
【详解】解：如图：连接AF
∵BE=3，AE=6，
∴AB=9，
∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，
∴ ，即
同理可得： ，即
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之
比是解答本题的关键．
2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在 中，点 是 边上一点， ，连接 ，
点 是线段 上一点， ，连接 ， 与 交于点 ，若 ， ，则 与
面积之和的最大值是 ．
【答案】【分析】本题考查了三角形的面积，连接 ，设 ， ， ，由 ，
，可得 ， ，进而可得 ， ，由 ，
可得 ，由 ，可得 ，即得 ，根据当 取最大时， 取最大，由当
时， 取最大值，可得 ，进而即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
设 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 取最大时， 取最大，当 时， 取最大值，
∴ ，
由 得， ，
∴ 与 面积之和的最大值 ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以
，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
①若 是 的中线， ______．
②若 ，则 ______．
(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的中点，依次连接
E，F，G，H得四边形 ．①：直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______
②：若 ，则 _______．
【答案】(1)① ②
(2)① ②30
【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的
关键．
（1）①根据中线的性质可得 ，点 为 的中点，推得 是 的中线， ，
得到 ，即可得出结果；
②设 边 上的高为 ，根据三角形的面积公式可得 ， ，即可推
得 ，同理推得 ，即可求得 ，即可证明 ；
（2）①连接 ， ， ，根据中线的判定和性质可得 ， ，
， ，推得 ， ，即
可求得 ，即可证明 ，②由①可得 ，同理可证得 ，根据
，即可推得 ，即可求解．
【详解】（1）解：①证明：∵ 是 的中线，
∴ ，点 为 的中点，
∴ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
② ，
解：设 边 上的高为 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
则 ，
即 ，
∴ ．
（2）①证明：连接 ， ， ，如图：∵点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
即 ；
②由①可得 ，同理可证得 ，
，
即 ，
∵ ，
∴ ．
1．（2024七年级下·全国·专题练习）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是 和 ，那么小明到
小亮家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了有理数加减运算的应用，三角形三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
根据小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家与学校不共线，两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意知，当小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家的直线距离为 ：
或 ；
当小明家和小亮家与学校不共线，
由三角形三边关系可知，小明家和小亮家的直线距离大于 ，小于 ，
综上，小明家和小亮家的直线距离不可能是 ，
故选：A．
2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知 和 分别是 和 的中线，若 的面
积是8，则 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，即可求出
的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
【详解】解：∵ 是 的中线， ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
故选：A．
3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图， 是 的中线， 是 上一点， ，连接
并延长交 于点 ．若 的面积为2，则 的面积是（ ）A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．连接 ，由 得出 ，
，设 ，则 ，即可得出 的面积，由 是 的中线得出
， ，求出 的面积，即可列出关于 的方程求解，从而求出 的面积．
【详解】解：如图，连接 ，
，
， ，
的面积为2，
，
设 ，
则 ，
，
是 的中线，， ，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
故选：C．
4．（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 、 两点在格
点上，格点 的面积为1，则格点 的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以 为腰可得出4个等腰直角三
角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个．
【详解】解：如图，
这样的点共有6个．
故选： ．5．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且 ），
已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形三边关系求解即可．
【详解】解：由题意， ，则m的值为5或6．
若 ， ，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若 ， ，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以 ．
故选：C．
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把 的三边 、 和 分别向外延长一倍，将得到的
点 顺次连接成 ，若 的面积是5，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线性质；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题
的关键．
连接 ，由题意得， ，由三角形的中线性质即可得出
的面积．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意得： ，
∴ ， ， ，∴ ，
故答案为： ．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在 中，点 为 中点，连接 ．点 为 上一点，连
接 交 于 ．若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接 ，由 ， ，
得 ，又点 为 中点，则 ， ，设 ，从而有
，解出 即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 是 的中线， ，若 的周长比
的周长大 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出 ，由 的周长比
的周长大 ，得 ，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．
【详解】∵ 是 的中线，
∴ ，
由 的周长为 ， 的周长 ，
∵ 的周长比 的周长大 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各个顶点的坐标分别为
， ， ， ，P是y轴正半轴上一点，连接 ，若三角形 的面积等于四边形 面积的 ，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用网格求三角形的面积，先利用网格求出四边形 面积，再根据三角形 的面
积等于四边形 面积的 ，即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∵三角形 的面积等于四边形 面积的 ，P是y轴正半轴上一点，
∴ ，解得： ，
则点P的坐标为 ，
故答案为： ．
10．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放
在水平的桌面 上， 为支架连杆， 为台灯灯面，它们可绕连接点 旋转，已知
，台灯长 ，在旋转接点 的过程中，点 之间的最大距离是
．若 ，则 度．【答案】 50 83
【分析】连接 ，交 于点G，根据题意 ，继而得到
即 ，当 三点共线时， 取得最大值，结合
，解答即可；过C作 ，过B作 ，结合 ，得到
，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，三角形不等式，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】如图，连接 ，交 于点G，
根据题意，得 ，
∴ 即 ，
当 三点共线时， 取得最大值，
∵ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为：50；
过C作 ，过B作 ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：83．
11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在 的方格纸中， 的顶点均在格点上，画图并填空：
(1)将 向左平移 格，再向上平移 格，请在图中画出平移后的 ．
(2)画出 的高 和中线 ．
(3)点 为格点且 （点 与点 不重合），这样的点 共有______个．
【答案】(1)图见详解
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图—平移变换，三角形的高和中线，熟练掌握作图技巧是解题的关键；（1）分别作出 ， ， 都是对应点 ， ， ，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的高和中线的定义画出图形
即可；（3）过 作 的平行线，平移 至 ，根据图象可得结论．
【详解】（1）如图， 即为所求；
（2）如图，高 和中线 ，即为所求；
（3）解：如图，过 作 的平行线，平移 至 ，
则使 的点 共有 个
故答案为：
12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知： 、 、 为 的三边长，且 、 满足．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是
利用非负性求出 ， 的值．
（1）利用非负性求出 ， 的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第题意，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
解得 ， ，
， ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
．
13．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，
是三角形 的边 上的一点，三角形 经过平移后得到三角形 ，点 的对应点为
．(1)请画出三角形 ，并写出三角形 的三个顶点坐标；
(2)求三角形 的面积；
(3) 轴上是否存在点 ，使得三角形 的面积等于三角形 的面积？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)图见解析， ； ；
(2)
(3)存在， 或
【分析】本题主要考查平移的性质和利用网格求面积，
根据题意求得平移方式向左平移2个单位，再向下平移3个单位，利用平移方式即可画出图形并求得对
应坐标；
利用网格正方形面积和三角形面积即可；
设 ，则 ，由第（2）知 的面积为7，则 的面积为7，列出
求解m即可．
【详解】（1）解：∵点 的对应点为
∴向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
如图所示， 即为所作．∵ ， ， ，
∴ ； ； ；
（2）解： 的面积为： ；
（3）解：设 ，
，
，
∵ 的面积为7，
∴ 的面积为7，
，
解得： 或9，
或 ．
14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，三角形 的顶点坐标分别为 ， ，
．(1)求三角形 的面积；
(2)将三角形 先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形 ，画出平移后的三
角形 ，并写出各顶点坐标；
(3)若三角形 内一点 平移后的对应点 的坐标为 ，平移方式与（2）中相同，求
的值．
【答案】(1)
(2)图见解析， ， ，
(3)5
【分析】本题主要考查平移的性质、利用网格求面积和求代数式的值，
（1）利用网格和割补法即可求得面积；
（2）结合给定的平移方式即可画出平移后的图形，求出平移后的点；
（3）根据给定的平移方式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：如图所示 就是所求作的图形， ，
（3）解：由（2）可得 ，解得 ，
∴ ，
∴ 的值为5．
15．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
， ，其中 ．
(1)求证： ．
(2)如图2，连接 ，若点 在线段 上．
①求 的值．（用含n的式子表示）
②若 的面积等于 的面积的1.5倍，比较 与 的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】本题考查了坐标与图形，用代数式表示式，三角形面积，等高模型，解题的关键是学会添加常用
辅助线，学会利用等高模型解决面积问题，学会构建方程解决问题，（1）根据坐标点的特点可得出 轴， 轴，即可得出结论；
（2）①过点M作 于点F，过点A作 于点E，过点M作 于点G，连接 ，首
先表示出各点坐标，表示出 ， ， ， ，根据三角形面积即
可得出结果；
②过点M作 于点G，先得出 ，利用 以及 的面积等于
面积的1.5倍，列出方程组求出结果，即可求出M点坐标为 ，结合B点坐标可得出
，从而得出结论．
【详解】（1）证明：如图:
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ；
（2）①过点M作 于点F，过点A作 于点E，
过点M作 于点G，连接 ，∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②过点M作 于点G，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 的面积等于 面积的1.5倍，
∴ ，解得： ，
又由①知 ，
，解得： ，
所以M点坐标为 ．
∵ ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
