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专题 17.2 勾股定理的逆定理【八大题型】
【人教版】
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】..............................................................................................................1
【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】.............................................................................................2
【题型3 在网格中判断直角三角形】......................................................................................................................2
【题型4 勾股数的探究】..........................................................................................................................................3
【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】..................................................................................................................5
【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】..................................................................................................................5
【题型7 勾股逆定理的应用】..................................................................................................................................6
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】..................................................................................................................7
【知识点 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
【例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a、b、c组成的三角形是直角三
角形的是（ ）
1 1 1
A．a=5,b=3,c=3 B．a= ,b= ,c=
3 5 4
C．a=6,b=4,c=5 D．a=7,b=24,c=25
【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足
(a+b)(a-b)=c2，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图，以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面
积分别是S ，S ，若S =2，S =3，AB2=5，则△ABC的形状是________三角形．
1 2 1 2【变式1-3】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1； ②三边形长
分别为：√2,√7,√5；③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有
___________（填序号）．
【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，
点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有______个．
【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C
也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O
为坐标原点．若 ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 △ B．2 C．1 D．0
【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在
小正方形的顶点上，在图中画ΔABC（点C在小正方形的顶点上），使ΔABC为直角三角形，并说明理由.
（要求画出两个，且两个三角形不全等）【题型3 在网格中判断直角三角形】
【例3】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．2√2 D．√5
【变式3-1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正
方形的顶点，则∠ABC的度数为_________．
【变式3-2】（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为 1．
(1)求四边形 ABCD的面积与周长；
(2)求证： ∠BCD=90°．
【变式3-3】（2023春·八年级单元测试）如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，
则∠APB=________．【题型4 勾股数的探究】
【例4】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+ y2=z2的方
程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数．如(3,4,5)就是一
组勾股数．
(1)请你再写出两组勾股数：（___________），（___________）；
(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，
y=n2-1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你
加以证明．
【变式4-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（
）
A． √3,√4,√5 B．6，8，10 C．1,√2,√3 D．2，3，4
【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做
“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且m>n）：
m 2 3 3 4 4 …
n 1 1 2 1 2 …
a 22+12 32+12 32+22 42+12 42+22 …
b 4 6 12 8 16 …
c 22-12 32-12 32-22 42-12 42-22 …
(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．
(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．
【变式4-3】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我
国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这
样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；
7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；
请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直
角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为√7a-7和√150-30b，斜边长4√15，且a和b均为正整数，
用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c＝a2+b2，c＝a2+b2，其中，a、a、b、b 均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
斜边长为c•c．
1 2
【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】
【例5】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4．求
证：∠ACB=90°．
【变式5-1】（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC的三边分别是a、b、c，且
a=n2-1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方
形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．
【变式5-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中线，
点E在AD的延长线上，且AD=ED=12．
(1)求证：△CDE≌△BDA；(2)证明：CE⊥AE；
(3)求△ABC的面积．
【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】
【例6】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，将三角形
纸片沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则△BDE的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，
BD=3，CD=4．求AC的长．
【变式6-2】（2023春·河南开封·八年级统考期末）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足
，请你判断 的形状，并求出其周长与面积．
(a+2b-11) 2+|2a-b-2|=10c-25-c2 △ABC
【变式6-3】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）已知在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，点E为
边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是_________．
【题型7 勾股逆定理的应用】
【例7】（2023春·广东广州·八年级统考期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到
公路上的停靠站A的距离为AC=15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km，停靠站A、B之间的
距离为AB=25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．(1)请判断△ABC的形状？
(2)求修建的公路CD的长．
【变式7-1】（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾
害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC区域
内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与
点A，B的距离分别为600m和800m，又AB=1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
(1)求△ABC的面积．
(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？
【变式7-2】（2023春·广西桂林·八年级统考期中）一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知
用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，
则电线杆和地面是否垂直，为什么？
【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港
口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如
图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】
【例8】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且
AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为________．
【变式8-1】（2023春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为
1
AD上的一点，且AF= AB，求证：∠FEC=90°．
4
【变式8-2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）为迎接六十周年校庆，重庆
外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于
AC的小路DE，点E在AC边上．经测量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC长12米．(1)求△ABD的面积；
(2)求小路DE的长．
【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，
边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为(2，0)，点E为OC的中点，连接BD、BE、ED．
(1)求点B的坐标；
(2)判断的形状，并证明你的结论．
