文档内容
专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
题型一 三角形的相关概念
题型二 构成三角形的条件
题型三 三角形第三边的取值范围
题型四 三角形三边关系的应用
题型五 三角形高线的画法
题型六 与三角形的高有关的计算问题
题型七 根据三角形中线求长度
题型八 根据三角形中线求面积
题型九 三角形角平分线的定义
题型十 利用网格求三角形面积
题型十一 三角形的稳定性及应用
题型十二 与三角形有关的线段综合应用
知识点 1 三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，
∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
知识点2 三角形的分类：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶
角，腰和底边的夹角叫做底角。
知识点3 三角形的三边关系：
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
知识点4 三角形的稳定性
①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四
边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
知识点5 三角形的重要线段
【经典例题一 三角形的相关概念】
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）线段 上有3个点 ， ， ，直线 外有一点A，把A和B， ， ， ，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的中点，连
接 ，则图中的直角三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在 中，边BE所对的角是 ， 所对的边是 ；
在 中，边AE所对的角是 ， 所对的边是 ；以 为内角的三角形有 ．
3．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在 中， 分别是 上的点，连接
交于点
(1)图中共有多少个 以为边三角形？并把它们表示出来．
(2)除 外，以点 为顶点的三角形还有哪些？
【经典例题二 构成三角形的条件】
【例2】（2023·河北张家口·三模）如图，数轴上 与6表示的点分别为 ，点B为线段 上一点，分别以 为中心旋转 ，若旋转后 两点可以重合成一点C（即构成 ），则点B
代表的数不可能的是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
1、（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，关于x的不等式组 至少有三个整数解，且存在
以 为边的三角形，则a的整数解有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m
的最大值是 ．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（ ）满足 ，
则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角
形为“不均衡三角形”．
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）
①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6
(2)已知“不均衡三角形”三边分别为 ，求出所有符合条件的x的整数值．
【经典例题三 三角形第三边的取值范围】
【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝 ，欲将其弯折成一个三角形，在同一
平面内操作如下：①量出 ；
②在点 右侧取一点 ，使点 满足 ；
③将 向右翻折， 向左翻折．
若要使 ， 两点能在点 处重合，则 的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在 中， ，若其周长为 ，则 边的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2、．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）小朦同学从五根长为 ， ， ， ， 的木条中挑
选三根组成三角形，她已经取了 和 两根木棍，那么第三根木棍不可能取 ．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长．
(1)若 ， ，则c的取值范围是_______．
(2)试化简： ．
【经典例题四 三角形三边关系的应用】
【例4】（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且
），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若 的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程
的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知 三边分别是 、 、 ， 化简3．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准
备了一段长 的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场
地限制，若第一条边长为 ，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少 ．
(1)请用x表示第三条边长．
(2)第一条边长可以为 吗？请说明理由．
【经典例题五 三角形高线的画法】
【例5】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图， 中， 为 上一点， 于
点E，下列说法中，错误的是（ ）
A． 中， 是 上的高 B． 中， 是 上的高
C． 中， 是 上的高 D． 中， 是 上的高
1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示， 中 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在△ 中， ， 为 的中点，延长 交
于 ． 于 ，交 于 ．下列说法：①线段 是 的角平分线；②线段 是△
的边 上的高；③ 是 的中线；④△ 与 的面积相等；⑤ ．其
中正确的有 （填序号）．3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格，
的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：
(1)将 向上平移2个单位，向左平移1个单位得到 ，画出 ；
(2)画出 边上的高 ；
(3) 的面积为______；
(4)若 ，点 为异于点 的格点，则点 的个数有______个．
【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】
【例6】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ， ，
若四边形 的面积为14，则 的面积为（ ）A．24 B．28 C．35 D．30
1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形 的面积为 ， 点在 上，三角形 的
面积是三角形 面积的2倍， 的长为2， 的长为5，那么三角形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形 中， 为 的
中点．动点P从点A出发，以每秒 的速度沿 的方向运动，最终到达点E．若点P的运动
时间为x秒，则当 时， 的面积等于8．
3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，已知 分别是 中 边上的高，
，求 的长．【经典例题七 根据三角形中线求长度】
【例7】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知 是 的边 上的中线，若
， ， 的周长比 的周长多2，则 的长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图， 的三边长均为整数，且周长为24， 是边 上的中
线， 的周长比 的周长大3，则 长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
2．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在 中， ， 分别是边 上的高和中线．若
， 的面积是 ，则 的长为 ．3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ， ， 分别为 边
上的高和中线，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 和 的周长之差；
(3)若 为 边的三等分点，连接 ，与 交于 点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的值．
【经典例题八 根据三角形中线求面积】
【例8】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在 中，已知点 为 的中点，点 在 边上，
且 ， 相交于点 ，若 的面积为 ，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，点 是 边 上的中点，点 是 上一点且， 、 是边 上的三等分点，若四边形 的面积为 ，则 的面积是（ ）
A．24 B．42 C．48 D．56
2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，分别延长四边形 的各边，使得点A，B，C，D分别为
的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形 ．若 ，则 的
值等于 ．
3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在 中， ，D为直线 上任意一点，连结 ，
于点E， 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
【经典例题九 三角形角平分线的定义】
【例9】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在 中， ， 为 的中点，连接
并延长，交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 .下面说法错误的是（ ）
A． 是 的角平分线 B． 是 的边 上的高线
C． 是 的角平分线和高线 D． 是 的边 上的中线
1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ， 是中线， 是角平分线，
是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交 于点 ，下面结论：① 的面积
的面积；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是 .
3．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)如图 ，在 中， 、 分别为 、 的角平分线，请作出 的角平分线；
(2)如图 ，在 中， ，点 为边 上一点，点 ， 关于 对称，请作出 的一条垂线．
【经典例题十 利用网格求三角形面积】
【例10】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 、 两
点在格点上，格点 的面积为1，则格点 的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC
的面积为2，下列不是点C坐标的是（ ）A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3）
2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 ， ，
，则三角形ABC的面积为 ．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知三角形 三个顶点的坐标
分别是 ， ， ．三角形 平移得到三角形 ，其中点A，B，C分别对应O，
D，E点．(1)请画出三角形 ；
(2)求三角形 的面积．
【经典例题十一 三角形的稳定性及应用】
【例11】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（ ）
A． B． C． D．
1、（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再
钉上 根木条．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木
条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边
形木架不变形，至少要钉多少根木条？
(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数．
【经典例题十二 与三角形有关的线段综合应用】
【例12】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在 中， ， ， ，
若四边形 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，
BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（ ）
A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6
2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在 中，点 是 边上一点， ，连接 ，
点 是线段 上一点， ，连接 ， 与 交于点 ，若 ， ，则 与
面积之和的最大值是 ．3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以
，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
①若 是 的中线， ______．
②若 ，则 ______．
(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的中点，依次连接
E，F，G，H得四边形 ．①：直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______
②：若 ，则 _______．
1．（2024七年级下·全国·专题练习）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是 和 ，那么小明到
小亮家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知 和 分别是 和 的中线，若 的面
积是8，则 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图， 是 的中线， 是 上一点， ，连接
并延长交 于点 ．若 的面积为2，则 的面积是（ ）A．10 B．11 C．12 D．13
4．（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 、 两点在格
点上，格点 的面积为1，则格点 的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且 ），
已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把 的三边 、 和 分别向外延长一倍，将得到的
点 顺次连接成 ，若 的面积是5，则 的面积是 ．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在 中，点 为 中点，连接 ．点 为 上一点，连
接 交 于 ．若 ， ，则 ．8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 是 的中线， ，若 的周长比
的周长大 ，则 的长为 ．
9．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各个顶点的坐标分别为
， ， ， ，P是y轴正半轴上一点，连接 ，若三角形 的面积等于
四边形 面积的 ，则点P的坐标为 ．
10．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放
在水平的桌面 上， 为支架连杆， 为台灯灯面，它们可绕连接点 旋转，已知
，台灯长 ，在旋转接点 的过程中，点 之间的最大距离是
．若 ，则 度．11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在 的方格纸中， 的顶点均在格点上，画图并填空：
(1)将 向左平移 格，再向上平移 格，请在图中画出平移后的 ．
(2)画出 的高 和中线 ．
(3)点 为格点且 （点 与点 不重合），这样的点 共有______个．
12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知： 、 、 为 的三边长，且 、 满足
．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的取值范围．13．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，
是三角形 的边 上的一点，三角形 经过平移后得到三角形 ，点 的对应点为
．
(1)请画出三角形 ，并写出三角形 的三个顶点坐标；
(2)求三角形 的面积；
(3) 轴上是否存在点 ，使得三角形 的面积等于三角形 的面积？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，三角形 的顶点坐标分别为 ， ，
．(1)求三角形 的面积；
(2)将三角形 先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形 ，画出平移后的三
角形 ，并写出各顶点坐标；
(3)若三角形 内一点 平移后的对应点 的坐标为 ，平移方式与（2）中相同，求
的值．
15．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
， ，其中 ．
(1)求证： ．(2)如图2，连接 ，若点 在线段 上．
①求 的值．（用含n的式子表示）
②若 的面积等于 的面积的1.5倍，比较 与 的大小关系．
