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专题 19.1 函数【八大题型】
【人教版】
【题型1 函数的相关概念识别】..............................................................................................................................1
【题型2 点与函数图象的关系】..............................................................................................................................2
【题型3 求自变量的取值范围】..............................................................................................................................3
【题型4 描点法画函数的图象】..............................................................................................................................3
【题型5 从图象中获取信息】..................................................................................................................................6
【题型6 确定实际问题中的函数关系式】..............................................................................................................7
【题型7 动点问题的函数图象】..............................................................................................................................8
【题型8 判断函数的大致图象】............................................................................................................................10
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我
们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的
值是否对应唯一确定的y值．
【题型1 函数的相关概念识别】
【例1】（2023春·吉林长春·八年级校联考期中）下列关于变量x和y的关系式：
y=x,2x2- y=0,y2=x,2x-|y|=2，其中y是x的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机
上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（ ）A．金额是自变量 B．单价是自变量
C．6.48和18是常量 D．金额是数量的函数
【变式1-2】（2023春·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校联考期中）下列曲线中能表示y是x的函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下
表：
个数t t≥48 44≤t≤47 40≤t≤43 36≤t≤39 32≤t≤35
分值
10 9 8 7 6
m
个数t 28≤t≤31 24≤t≤27 20≤t≤23 16≤t≤19 12≤t≤15
分值
5 4 3 2 1
m
现有两种说法：①t是m的函数；②m是t的函数．下列判断正确的是（ ）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①对，②对 D．①错，②错
【知识点2 求函数的值】
(1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
(2) 函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，
即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型2 点与函数图象的关系】
【例2】点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，则代数式-4a+2b的值等于 ．
【变式2-1】下列各点在函数y＝3x+2的图象上的是( )
A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(﹣1，1) D．(0，1)
【变式2-2】下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
2
A．y= B．y=x2-1 C．y=5x2-3x D．y=-3x+7
x
【变式2-3】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于
（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．3
【题型3 求自变量的取值范围】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数自变量x的取值范围错误的是( )
A．y＝－2x2＋1中，x取全体实数
1
B．y＝ 中，x取不等于－1的实数
x+1
C．y＝√x-2中，x取大于或等于2的实数
1
D．y＝ 中，x取大于或等于－3的实数
√x+3
【变式3-1】（2023春·甘肃酒泉·八年级校考期中）函数y=√x-9中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞9 D．x≥9
x
【变式3-2】（2023春·北京延庆·八年级统考期末）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
x-3
A．x=0 B．x≠0 C．x=3 D．x≠3
1
【变式3-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）函数y= 自变量x的取值范围是 ．
√3 x+1【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出
它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型4 描点法画函数的图象】
【例4】（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）函数问题：
(1)作出y与x的函数y=2|x|的图象
①自变量x的取值范围是____________；
②列表并画出函数图象：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了____________．
(2)在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：
下列各式中， y是x的函数的是____________．
①x+ y=1； ②|x+ y|=1； ③xy=1； ④x2+ y2=1；
【变式4-1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中画出函数y=-x+3的图象．在图
象上标出横坐标为-4的点A，并写出它的坐标；x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
【变式4-2】（2023春·浙江·八年级期末）已知函数y=2x2-1
（1）填写下列表格．
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x2-1 … 7 1 7 …
（2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y=2x2-1的图像．
【变式4-3】（2023春·山西·八年级统考期末）我们知道用描点法可以画出函数图象，这种方法是探究未知
函数图象变化规律的一个重要方法．下面是通过描点法画图探究函数y=√x+2图象变化规律的过程．
(1)下表是y与x的几组对应值，请完成表格：
x -2 -1 0 1 2 3 ···y 0 √2 √3 √5 ···
(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系xOy中描出对应的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；
(3)根据图象，写出两条该函数具有的性质．
【题型5 从图象中获取信息】
【例5】（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶
过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图
象信息解答下列问题：
(1)甲车的速度是
(2)乙车用了 小时到达B城；
(3)求乙车出发后多少时间追上甲车？
(4)求甲车出发多少时间，两车相距50千米？
【变式5-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的
公路旁．一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本．小明先从家跑步到学校找
小艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y（米）与小明从家出
发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正确的是（ ）A．小明在学校停留了10分钟 B．小艾家离学校600米
C．小明跑步速度为每分钟180米 D．小明骑共享单车的速度为每分钟200米
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，
某村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．
一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的
蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③
4点到6点只出水，不进水，则一定正确的论断是 ．
【变式5-3】（2023春·北京昌平·八年级统考期末）甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、
同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y
（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．
(1)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒；(2)离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点______米；
(3)乙到达终点时，甲距离终点还有______米；
(4)甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：______秒＜x＜______秒．
【题型6 确定实际问题中的函数关系式】
【例6】（2023春·山东威海·八年级统考期末）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，
1
油箱中的汽油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x Km，邮箱中剩油量为y L，则y与x之
5
间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500
【变式6-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二
记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t表示时间，y表示对应的水位高度．根据表中的数据，
请写出一个y关于t的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取
值范围）
【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）现有下面两种移动电话计费方式：
方式一 方式二
月租费（元/月） 58 88
本地通话费（元/分钟） 0.2 0.1
(1)以x（单位：分钟）表示通话时间，y（单位：元）表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出y
关于x的函数解析式．
(2)求出如何选择这两种计费方式更省钱．
【变式6-3】（2023春·辽宁锦州·八年级统考期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
排数（x） 1 2 3 4 ……
座位数（y 5
50 56 59 ……
） 3
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？．
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
【题型7 动点问题的函数图象】
【例7】（2023春·广东深圳·八年级统考期中）王警察周六在一个半圆形的广场附近巡逻，从圆心O出发，
按图1中箭头所示的方向，依次走完线段OA、半圆弧AB和线段BO．沿途中王警察遇到了一位问路的游
客停下来交谈了2min．在整个巡逻过程中，王警察始终保持速度不变，最后回到出发点．王警察离出发
点的直线距离s（m）与时间t（min）之间的关系如图2所示，以下选项中正确的是（ ）
A．广场的半径是50米 B．a=2π
C．王警察的速度为100m/min D．王警察返回起点的时间为2π+6
【变式7-1】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、
CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所
示，则矩形ABCD的周长是 ．
【变式7-2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图1，在 ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的
速度沿C—A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度△ y随时间x变化的关系图象，其中M为曲
线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则 ABC的面积是（ ）
△A．5 B．6 C．7 D．8
【变式7-3】（2023春·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图1
的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积y(cm2)与时间x（秒）之间的关
系如图2中的图象所示．其中AB=4cm，则c= ，当x= 时，△ABP的面积是
10cm2；
【题型8 判断函数的大致图象】
【例8】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图所示，半径为2的圆和边长为5的正方形在同一水
平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，圆与正方形重叠部分(阴影部分)的面
积为S，则S与t的函数关系式的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）一组管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，
O是AC的中点，管道由AB，BC，CD，DA，OA，OB，OC，OD组成，在BC的中点M处放置了一台
定位仪器．一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测．设机器人行进的时间为x，机器人与定位仪
器之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图像大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为（ ）A．A→O→D B．B→O→D C．A→D→O D．A→B→O
【变式8-2】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图，点E为平行四边形ABCD边上的一个动点，并沿
A→B→C→D的路径移动到点D停止，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反
映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级校考期中）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆
柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h(cm)与注水时
间t(min)的函数图象大致为（ ）A． B．
C． D．
