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专题 19.1 函数基础知识【九大题型】
【人教版】
【题型1 常量与变量的确定】...............................................................................................................................1
【题型2 函数的概念】...........................................................................................................................................2
【题型3 用描点法画函数的图像】.......................................................................................................................3
【题型4 自变量取值范围的确定】.......................................................................................................................6
【题型5 函数的解析式的确定】...........................................................................................................................6
【题型7 函数图像的识别】...................................................................................................................................8
【题型8 从函数的图像获取信息】.....................................................................................................................10
【题型9 动点问题的函数图象】.........................................................................................................................12
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我
们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的
值是否对应唯一确定的y值．
【知识点2 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多
个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即
给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型1 常量与变量的确定】
【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是
，因变量是 ．
【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：
数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 …
上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ．
【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：
项目 月基本服务费 月免费通话时间 超出后每分收费
标准 40元 150分 0.6元
则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y { 40(0≤x≤150) ，在这个关系式中，
=
0.6x−50(x＞150)
14．变量x，y之间的对应关系如下表所示：
X ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 10 5 2 1 2 5 10
请你判断y是x的函数吗？x是y的函数吗？说说你的理由．
【题型2 函数的概念】
【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量 x和y，其
中y不是x的函数的选项是（ ）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、
函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
① ②
气温x 1 2 0 1
日期y 1 2 3 4
③ ④
y＝kx+b y＝|x|
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝
8x．其中y是x的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出
它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型3 用描点法画函数的图像】
1 x+1
【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y= + 的图象与性质进行了探究，探究
x−1 2
过程如下，请补充完整．
1 x+1
（1）函数y= + 的自变量x的取值范围是 ；
x−1 2
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
2
y … 5 5 1 1 5
− − − − −
4 6 2 2 4x 3 2 3 4 5 …
2
y 13 5 5 m 13 …
4 2 2 4
则表格中的m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出
该函数的图象，试写出该函数的一条性质．
【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．
造纸时间/时 1 2 3 4 ……
造纸吨数/吨 1.5 ① ② ③ ……
（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．
（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？
x 2
【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y= + 的图象进行了探究．下面
2 x
是小奥的探究过程，请补充完整：x 2
（1）函数y= + 的自变量x的取值范围是 ；
2 x
（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为 ，n的值为 ；
x … ﹣5 m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 1 1 2 3 4 5 …
−
2 2
y … 29 5 13 ﹣2 5 17 17 5 2 n 5 29 …
− − − − −
10 2 6 2 4 4 2 2 10
（3）描点、连线
在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横
坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．
【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：
1
问题情境：有这样一个问题：探究函数 y= +1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数 y
x
1
= +1的图象与性质进行了探究．
x
问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：
1
（1）函数y= +1的自变量x的取值范围是 ；
x
（2）表是y与x的几组对应值．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣m m 1 2 3 4 …
y … 3 2 1 0 ﹣1 3 2 3 4 5 …
4 3 2 2 3 4求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函
数的图象．
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．
【题型4 自变量取值范围的确定】
√ 1
【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
x+3
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3
2x
【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−1
A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0
√x
【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y= 自变量的取值范围是 x ＞ 0 ．
x
1
【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=− −√−x的图象上，那么点P应在平面直角
x2
坐标系中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型5 函数的解析式的确定】
【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的
弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：
①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 cm；
②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？
③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？
【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示
根据图象解答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？
（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间
的关系式．
【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用
水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是
小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：
月份 1 2 3 4
用水量（m3） 6 8 10 12
费用（元） 9 12 18 24
小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是
．
【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作
为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为 y和x，则因变量y与自变量x的函数关系
式为y＝ ．【题型6 求自变量的值或函数值】
【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某
个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数
据如下表所示，则其中的m，n分别是（ ）
x/℃ 1 2 4 m 9 10
y/km 55 n 160 230 335 370
A．m＝7，n＝70 B．m＝6，n＝70 C．m＝7，n＝90 D．m＝6，n＝90
2x−1
【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y= 中，当x＝a时的函数值为1，试求a的值为
x+2
．
【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数 {2x+1(x≥0)，当x＝﹣2时，函数值y为 ．
y=
4x(x＜0)
mn
【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+ ，
9
且f （6）＝3，那么f （5）＝ ．
【题型7 函数图像的识别】
【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容
器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容
器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽
车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，
然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力
计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的
中点，点F为
正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 从函数的图像获取信息】
【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：
张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，
y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（ ）
50
A．张强从家到体育场的速度是 km/ℎ
3
B．体育场离文具店4千米
C．张强在文具店逗留了15分
3
D．张强从文具店回家的平均速度是 千米/分
70【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随
时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（ ）
A．4点时气温达最低
B．14点到24点之间气温持续下降
C．0点到14点之间气温持续上升
D．14点时气温达最高是8℃
【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀
速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信
息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上
了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所
示，下列结论正确的是（ ）
A．爷爷比小强先出发20分钟B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l 表示的是爷爷爬山的情况，l 表示的是小强爬山的情况
1 2
D．山的高度是480米
【题型9 动点问题的函数图象】
【例 9】（2022 春•洪江市期末）如图 1，矩形 ABCD 中，动点 E 从点 C 出发，速度为 2cm/s，沿
C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函
数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2
【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动
至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如
图2所示，则矩形PQMN的面积为（ ）
A．16 B．20 C．36 D．45
【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，
沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的
图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动
至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则
当x＝7时，点P应运动到（ ）
A．点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处
