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专题 19.1 函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别函数的相关概念】..............................................................................................................................1
【题型2 根据实际问题列函数关系式】..................................................................................................................2
【题型3 确定自变量的取值范围】..........................................................................................................................3
【题型4 函数图象上点的坐标特征】......................................................................................................................3
【题型5 列表法表示函数关系】..............................................................................................................................4
【题型6 解析法表示函数关系】..............................................................................................................................5
【题型7 描点法作函数图象】..................................................................................................................................7
【题型8 图象法表示函数关系】..............................................................................................................................9
【题型9 函数图象的识别】....................................................................................................................................11
【题型10 动点问题的函数图象】............................................................................................................................13
知识点1：函数的相关概念
1. 常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量 ；数值始终不变的量叫做常量。
2. 函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
【题型1 辨别函数的相关概念】
【例1】（24-25八年级·贵州毕节·期末）一个长方体的长为12，宽为b(b<12)，高为1，体积为V，体积
V随着宽b的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．b，V都是因变量 B．b是因变量，V是自变量
C．b，V都是自变量 D．b是自变量，V是因变量
【变式1-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ）A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25八年级·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示
牌，其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价
【变式1-3】（24-25八年级·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
1
A．|y)=x B．y=− x
2
6
C．y=3x+1 D．y=
x
【题型2 根据实际问题列函数关系式】
【例2】（24-25八年级·福建厦门·期中）一个弹簧，不挂物体时长6cm，挂上物体后，所挂物体质量每增
加1kg，弹簧就伸长0.25cm，但总质量不得超过10kg，则弹簧的总长度y（单位：cm）与所挂物体质量x
（单位：kg）之间的函数解析式是 ，其中自变量x的取值范围是 ．
【变式2-1】（24-25八年级·全国·课后作业）某种储蓄月利率是0.36%，今存入本金100元，则本息和y
（元）与所存月数x（个）之间的函数解析式是 .
【变式2-2】（24-25八年级·山东济南·期末）出租车的收费标准为：5km以内（含5km）起步价为8元，
超过5km后每1km收1.5元，如果用s(s≥5km)表示出租车行驶的路程，y表示的是出租车应收的车费，
请你表示y与s之间的表达式 .
【变式2-3】（24-25八年级·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，
能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=x(100−x) B．y=x(100−6x)
C．y=(100−x)(15+x) D．y=(100−6x)(15+x)
【题型3 确定自变量的取值范围】
x
【例3】（24-25八年级·河南周口·期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x+5
A．x≠−5 B．x≠5 C．x>−5 D．x<−5
【变式3-1】（24-25·湖南长沙·二模）在函数y=❑√x−2024，自变量x的取值范围是 ．
【变式3-2】（24-25八年级·安徽亳州·期末）函数y=−2x2+4中，自变量x的取值范围是（ ）．
A．x≠0 B．x<0 C．x>0 D．一切实数
1
【变式3-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）函数y= 自变量x的取值范围是 ．
√3 x+1
知识点2：求函数的值
(1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多
个．
(2) 函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，
即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型4 函数图象上点的坐标特征】
【例4】（24-25八年级·广东湛江·期末）下列函数中，经过点(−2，3)的是（ ）
2
A．y=−x2+7 B．y=4−2x C．y= +2 D．y=x−1
x
【变式4-1】（24-25八年级·北京朝阳·期末）若函数y={x2+2(x≤2))，则当函数值y＝8时，自变量x的
2x(x>2)
值等于 ．
【变式4-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7
时，输出的y值相等，则b等于( )【变式4-3】（24-25八年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x=n时，函数
1 2
值分别是N 和N ，若存在正数n，使得N +N =1，则称函数y 和y 是“正和谐函数”．下列函数y 和
1 2 1 2 1 2 1
y 是“正和谐函数”的是（ ）
2
A．y =2x+1和y =3x+2 B．y =−x+3和y =2x−1
1 2 1 2
C．y =−x−1和y =3x−2 D．y =−x+1和y =2x+3
1 2 1 2
知识点3：函数的三种表示形式
（1）列表法
（2）图象法
（3）解析式法
【题型5 列表法表示函数关系】
【例5】（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围
内，其关系如表所示，下列说法错误的是（ ）
温度/℃ −20 −10 0 10 20 30
传播速度/
318 324 330 336 342 348
(m/s)
A．传播速度是自变量，温度是传播速度的函数
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s
【变式5-1】（24-25八年级·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为
人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该
材料导热率K（W/m⋅K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为
0.55W/m⋅K，则温度为 ．
温度T（℃） 100 150 200 25 3000
导热率K（W/m⋅K
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
）
【变式5-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）一个蓄水池有水60m3，打开放水阀门匀速放水，水池中的水
量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（min） 2 3 5 8 …
5
水池中的水量（m3） 54 45 36 …
1
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数
B．每分钟放水3m3
C．放水30min后，水池中的水全部放完
D．放水10min后，水池中还有水30m3
【变式5-3】（24-25八年级·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方
米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存
水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
85 70
游泳池的存水/立方米 780 546
8 2
(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米，写出Q与t的函数关系式．（不要求写自变量范围）
【题型6 解析法表示函数关系】
【例6】（24-25八年级·黑龙江大庆·开学考试）对于关系式y=3x−5，下列说法：①x是自变量，y是因
变量，5是常量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间
的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤【变式6-1】（24-25八年级·陕西渭南·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：
y=0.3x+6(0≤x≤5)，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数 D．当x=1时，y=6.3
【变式6-2】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：
y=0.3x+6(0≤x≤5)，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量
B．y是变量，它的值与x有关
C．当y=7.2时，x=4.5
D．当x=1时，y=6.3
【变式6-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，梯形上底的长为8，下底长为x，高为10，梯形的面积
为y，则下列说法不正确的是（ ）
A．梯形面积y与下底长x之间的关系式为y=5x+40
B．当y=40时，x=0，此时它表示三角形面积
C．当x每增加1时，y增加5
D．当x从15变到8时，y的值从105变化到80
知识点4：函数的图象
1. 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它
的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
2. 用描点法画函数的图象的一般步骤
a、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
b、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对
应的各点。
c、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
【题型7 描点法作函数图象】
【例7】（24-25八年级·全国·课后作业）画出函数y=−2x+1的图象．(1)列表：
x … −1 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点A(−3,−5)，B(2，3)，C(3,−5)是否在函数y=−2x+1的图象上；
(4)若点P(m，9)在函数y=−2x+1的图象上，求出m的值．
【变式7-1】（24-25八年级·天津津南·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数y=−x的图象．
(1)列表：
x ... −2 −1 0 1 2 ...
y ... ...
(2)描点并连线．
【变式7-2】（24-25八年级·福建三明·期中）问题：探究函数y=|x)−1的图象与性质．请按下面的探究过
程，补充完整：
(1)函数y=|x)−1的自变量x的取值范围是________；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 …
y … 3 2 m 0 −1 0 1 2 …
m的值为________；
(3)在如图网格中，建立平面百角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．【变式7-3】（24-25八年级·河南焦作·期末）如图，P是A´B与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是
A´B上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，
请补充完整：
(1)对于点C在A´B上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自
变量的函数；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
1
(3)结合函数图象，解决问题：当PD= PC时，AD的长度约为 cm．（保留一位小数）
2【题型8 图象法表示函数关系】
【例8】（24-25八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）
与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ）
A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是6min
C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54mD．摩天轮的半径是35m
【变式8-1】（24-25八年级·陕西铜川·期末）张华上午8点骑自行车外出办事，中途休息了一段时间，然
后加速到达目的地，办完事情后按原路匀速返回，如图表示他离家的距离S（千米）与所用时间t（时）之
间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
(1)在这个过程中自变量是__________，因变量是__________；
(2)张华何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
(3)张华何时返回？何时到家？返回的速度是多少？
【变式8-2】（24-25八年级·广东深圳·期末）深圳地铁14号线，也称“深圳地铁东部快线”，它起于福田
区岗厦北交通枢纽，途至坪山区沙田，采用自动化无人驾驶技术，全长50.34km，最高运行速度可达
120km/h．如图，为地铁14号线从黄木岗站到罗湖北站行驶的速度−时间图象，根据图象，下列分析错误的是（ ）
A．自变量是行驶时间，因变量是行驶速度
B．地铁加速用时比减速用时长
C．地铁匀速前进的时长为2.5min
D．在这段时间内地铁的最高运行速度为90km/h
【变式8-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上骑行到目的
地B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示．根据图中
提供的信息，有下列说法：
①他们都骑行了18千米，但不是同时到达目的地．
②甲在中途停留了0.5小时．
③乙比甲晚出发了0.5小时，却早到了0.5小时．
④相遇后甲的速度大于乙的速度．
其中不符合图象描述的说法是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【题型9 函数图象的识别】
【例9】（24-25八年级·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：
第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：
第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系；
第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通
话时间的关系．
用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3）
C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1）
【变式9-1】（24-25·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息
了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.s表示离家路程，t表示骑行时间，下列函数图
象能表达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（24-25八年级·全国·竞赛）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A悬于盛有水
的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高
度，则下图中能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系
的大致图象是（ ）．A． B．
C． D．
【变式9-3】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯
的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y(cm)与注水时间x(s)
之间的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【题型10 动点问题的函数图象】
【例10】（24-25八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着
N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x,ΔMNR的面积为y，如果y关于x的函数
图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A．MN=5 B．长方形MNPQ的周长是18
C．当x=6时，y=10 D．当y=8时，x=10
【变式10-1】（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．
动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S
与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，写出
①AB= ；
②CD= （提示：过A作CD的垂线）；
③BC= ．
【变式10-2】（24-25八年级·广东深圳·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从
B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若AB=6cm，试回答下列问题．
(1)此题的自变量是 ，因变量是 ．
(2)如图甲，BC的长是 cm；图甲图形面积是 cm．
(3)如图乙，图中的a是 ，b是 ．
【变式10-3】（24-25八年级·河南漯河·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的
速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车
相遇．在此过程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．下列说法：①
乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是(7,80)；④n=7.4．其中说法正确的是
（填写序号）．
