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专题 14.3 乘法公式【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】..............................................................................................................1
【题型2 利用完全平方式确定系数】......................................................................................................................2
【题型3 乘法公式的计算】......................................................................................................................................2
【题型4 利用乘法公式求值】..................................................................................................................................2
【题型5 利用面积法验证乘法公式】......................................................................................................................3
【题型6 乘法公式的应用】......................................................................................................................................4
【题型7 平方差公式的几何背景】..........................................................................................................................6
【题型8 完全平方公式的几何背景】......................................................................................................................8
【题型9 乘法公式中的新定义问题】....................................................................................................................10
【题型10 乘法公式的规律探究】............................................................................................................................11
【知识点 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做
平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上
(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）计算(x- y+3)(x+ y-3)时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
[(x- y)+3][(x+ y)-3] [(x+3)- y][(x-3)+ y]
C． D．
[x-(y+3)][x+(y-3)] [x-(y-3)][x+(y-3)]
【变式1-2】（2023春·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的
是（ ）
A．(x+ y)(x- y) B．(-x+ y)(x+ y)
C．(-x- y)(-x+ y) D．(x- y)(-x+ y)
【变式1-3】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．1
A．x2-4x-4 B． +m2+m C．a2+2ab+b2 D．t2+4t+4
4
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若将多项式4a2-2a+1加上一个单项式成为一个完全平方
式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【变式2-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）若 是完全平方式， 与 的乘积
x2+2(m-3)x+1 x+n x+2
中不含x的一次项，则nm的值为 ．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若9x2-(k-1)xy+25y2是关于x的完全平方式，则k=
．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知B是含字母x的单项式，要使
1
x2+B+ 是完全平方式，那么B= ．
4
【题型3 乘法公式的计算】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：
(1)(2m-n+3p)(2m+3p+n)；
1
(2)化简求值：(x-3)(x+3)-(x2-2x+1)，其中x= ．
2
【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．
(1)1002-98×102；
(2)(a+b+3)(a+b-3)；
(3)(-2m+3)(-2m-3)；
(1 ) 2
(4) x-2y ．
2
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 ) ．
1- 1- 1- ... 1- =
22 32 42 142
【变式3-3】（2023春·江西抚州·八年级校联考期中）运用乘法公式计算：
(1)
(2m-3n)(-2m-3n)-(2m-3n) 2
(2)1002-992+982-972+…+22-12．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023春·山东济南·八年级统考期末）设 a=x-2022，b=x-2024，c=x-2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式4-1】（2023春·广西贵港·八年级校考期末）若x- y-7=0，则代数式x2- y2-14 y的值为 ．
1 1
【变式4-2】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）（1）已知a+ =3，求a2+ 的值；
a a2
（2）已知 ， ，求 的值．
(a-b) 2=9 ab=18 a2+b2
【变式4-3】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足 ．
(3m-2015) 2+(2014-3m) 2=5
(1)求(2015-3m)(2014-3m)的值．
(2)求6m-4029的值．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正
方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平
方差公式的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②都不能
【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证
的图形是（ ）
(a+b) 2=(a-b) 2+4ab
A． B．C． D．
【变式5-2】（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（
）
A．
(a+b) 2=a2+2ab+b2
B．(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc
C．
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
D．(a+b)(a-b)=a2-b2
【变式5-3】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，
应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
①已知x+ y=5，xy=-1，求x2+ y2的值；
②求20222-2021×2023的值．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空
地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和
HKCS总周长为14米，则m-n的值为（ ）
A．4米 B．7米 C．5米 D．3.5米
【变式6-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）我们知道，将完全平方公式 适当
(a±b) 2=a2±2ab+b2
的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：
(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；
(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰
性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在
两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四
个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为(a-2b)m的正方形．(0<2bb)，把图①中L形的纸片按图②
剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为： ．
【应用探究】
（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；
（4）计算：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )．
1- × 1- × 1- ×…× 1- × 1-
22 32 42 20212 20222
【知识迁移】
（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去
掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式
为：a3-b3= ．（结果不需要化简）
【题型8 完全平方公式的几何背景】
【例8】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用
剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式 ， ， 之间的等量关系是 ；
(m+n) 2 (m-n) 2 mn
11
(3)若x+ y=-6，xy= ，则x- y= ；（直接写出答案）
4
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）完全平方公式： 适当的变形，可以解决很
(a±b) 2=a2±2ab+b2
多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为 ，所以 ，即： ，
a+b=3 (a+b) 2=9 a2+2ab+b2=9
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+ y=8，x2+ y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若 ，则 ______．
(4-x)x=3 (4-x) 2+x2=
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，
分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为
160，求图中阴影部分的面积和．
【变式8-2】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b)．把
余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部
分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－
b)；
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按
图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是 ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的
体积也可写出一个代数恒等式： ．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一
个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法
计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到 三者之间的等量关系式：
(a-b) 2、(a+b) 2、ab________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ．
(a+b) 3=a3+b3+3ab(a+b)
利用上面所得的结论解答下列问题：
11
（1）已知x+ y=6,xy= ，求(x- y) 2的值；
4
（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．
【题型9 乘法公式中的新定义问题】
【例9】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称
a是“4倍数”．
验证：嘉嘉说：232-212是“4倍数”，琪琪说：122-6×12+9也是“4倍数”，判断 说得对
（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）．
【变式9-1】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两
倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：22+32+2×2×3=25，其中
“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个 B．15个 C．26个 D．60个
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·八年级校联考期中）现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：
m⊕n=mn(m-n)，如：1⊕2=1×2(1-2)=-2，则(a+b)⊕(a-b)的值是 ．
【变式9-3】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
[a c]
=a2+b2-cd．
b d
[ 1 2]
(1) =______；
-1 3[x k ]
(2)对于有理数x、y，若 是一个完全平方式，则k______；
y xy
(3)对于有理数x、y，若x+ y=10，xy=22．
[2x- y 3x- y]
①求 的值；
y x- y
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边
CD上，连接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG= y，EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
【题型10 乘法公式的规律探究】
【例10】（2023·上海·八年级假期作业）杨辉是我国南宋时著名的数学家，他发现了著名的三角系数表，
它的其中一个作用是指导按规律写出形如 （其中 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中
(a+b) n n
的规律，填出 展开式中所缺的系数．
(a+b) 4
=a3+3a2(-b)+3a(-b) 2+(-b) 3
(a+b) 1=a+b (a-b) 1=a-b
=
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2+2a(-b)+(-b) 2 a2-2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b) 3=a3+3a2(-b)+3a(-b) 2+(-b) 3(1)仔细观察上边的图和下边的式子，写出 =___________；
(a-b) 3
(2)直接在横线上填数字： +___________ +___________ +___________ +___________
(a+b) 4=a4 a3b a2b2 ab3
b4；
(3)请根据你找到的规律写出下列式子的结果：
___________；
(x- y) 5=
___________．
(2x- y) 5=
【变式10-1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：1×2+1=22-1；第2个等式：
2×3+2=32-1；第3个等式：3×4+3=42-1；第4个等式：4×5+4=52-1；…按照以上规律，解决
下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示，n≥1，且n为整数），并加以证明．
【变式10-2】（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）观察下列等式：
32-12 42-22 52-32 62-42 72-52
① =1+1；② =1+2；③ =1+3；④ =1+4；⑤ =1+5……
4 4 4 4 4
(1)请按以上规律写出第⑥个等式______；
(2)猜想并写出第n个等式______；并证明猜想的正确性
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
