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专题 14.1 幂的运算【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】.........................................................................................................1
【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】..............................................................................................................2
【题型3 利用幂的运算法则比较大小】..................................................................................................................2
【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】.........................................................................................................3
【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】..............................................................................................................3
【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】..............................................................................................................3
【题型7 幂的混合运算】..........................................................................................................................................4
【题型8 新定义下的幂的运算】..............................................................................................................................4
【知识点1 幂的运算】
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】
【例1】（2023春·河北保定·八年级校联考期末）用简便方法计算：
(1)
(4) 2019
×(-1.25) 2020 ；
5
(2)(-9) 3× ( - 2) 3 × (1) 3 ．
3 3
【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算 ( - 5) 2023 ×(-0.8) 2022 的结果是（ ）
4
5 5
A．1 B．-1 C． D．-
4 4
2 5
【变式1-2】（2023春·上海杨浦·八年级统考期中）用简便方法计算：-35×(- ) ×(-5) 6
3
【变式1-3】（2023春·上海·八年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：2
(1)3 ×202.3+87%×2023-21×20.23；
5
2 2023
(2)(-1.5) 2024×( )
3
【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】
【例2】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）若xm=2，xn=5，则x3m-2n= ．
【变式2-1】（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a-2b+1
的值为 ．
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求
的值．
(x2m) 3 +(ym) 6 -(x2y) 3m ⋅ym
【变式2-3】（2023春·浙江温州·八年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足
a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ．
【题型3 利用幂的运算法则比较大小】
【例3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）如 999， 119，是比较 ， 大小（ ）
A= B= A B
999 990
A．A>B B．A23，55>45．
在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，
解： ，
2710=(33
)
10=330
∵30>25，
∴330>325．
∴2710>325．
(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ）
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)类比解答：比较254，1253的大小．
(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为
a15=(a3) 5 =25=32
，
b15=(b5) 3 =33=27
，32>27，所以
a15>b15
，所以
a>b
．已知
x5=2
，
y7=3
，则
x
，
y
的
大小关系是x y（填“<”或“>”）．
【变式3-3】（2023春·河北张家口·八年级统考阶段练习）阅读：已知正整数a,b,c，对于同底数，不同指
数的两个幂 和 ，若 ，则 ；对于同指数，不同底数的两个幂 和 ，若 ，则
ab ac (a≠1) b>c ab>ac ab cb a>c
ab>cb．根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：28 82（填“>”“<”或“=”）；
(2)比较233与322的大小（写出具体过程）；
(3)比较9913×10210与9910×10213的大小（写出具体过程）．
【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】
【例4】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）若 ，则 的值为
a+b+c=1 (-2) a-1×(-2) 3b+2×(-2) 2a+3c
.
【变式4-1】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）已知2x+ y=1，则4x·2y的值为 ．
【变式4-2】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知2x+4 y-3=0，则
4x ⋅16y-8的值为（ ）
A．3 B．8 C．0 D．4
【变式4-3】（2023春·广西崇左·八年级统考期中）若2a+3b-4c-2=0，则9a×27b÷81c的值为
．
【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】
【例5】（2023春·上海浦东新·八年级统考期中）已知42x ⋅52x+1-42x+1 ⋅52x=203x-4，求x的值；
【变式5-1】（2023春·河北邯郸·八年级校考期中）计算：
(1)已知2⋅8n ⋅32n=225，求 n 的值；
(2)已知 n 是正整数，且 ，求 的值．
x3n=2 (3x3n ) 2+(-2x2n ) 3
【变式5-2】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）若2a=3，2b=7，2c=m，且a+b=c，则此时m值为
．
【变式5-3】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）若52×5m=510，9n÷3n=3，则m+n= ．【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】
【例6】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）若x=2m+1，y=4m-1．
(1)当m=2时，分别求x，y的值．
(2)用只含x的代数式表示y．
【变式6-1】（2023春·福建漳州·八年级漳州三中校考期中）已知2x-4=m，用含m的代数式表示2x正确的
是（ ）
m
A．16m B．8m C．m+4 D．
4
【变式6-2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+ y之间关
系是 ．
【变式6-3】（2023春·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）若 且 ， 、 是正整
am=an (a>0 a≠l m n
数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果8x=25，求x的值；
(2)如果2x+2+2x+1=24，求x的值；
(3)若x=5m-3，y=4-25m，用含x的代数式表示y．
【题型7 幂的混合运算】
【例7】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）计算：
(1) ；
a4+(-2a2
)
3-a8÷a4
(2) ．
2a2b⋅5ab2-3ab⋅(ab) 2
【变式7-1】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）计算：
(1) ；
2x3y2 ⋅(-2x y2z) 2
(2) ．
(-2x2
)
3+x2 ⋅x4-(-3x3
)
2
【变式7-2】（2023春·上海青浦·八年级校考期中）计算： ( - 1 x y2) 2 ⋅8x4 y2-(2x2y2) 3 ．
2
【变式7-3】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）计算：
an-5(an+1b3m-2) 2 +(an-1bm-2) 3 (-b3m+2)
．
【题型8 新定义下的幂的运算】
【例8】（2023春·上海徐汇·八年级上海市第四中学校考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a…，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 8（即log 8＝3）．
2 2
一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为log b（即log b=n．如
a a
34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 81（即log 81=4）．
3 3
(1)计算以下各对数的值：log 4＝_____，log 16＝_____，log 64＝_____．
2 2 2
(2)写出（1）log 4、log 16、log 64之间满足的关系式______．
2 2 2
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log M+log N=_____（a>0且a≠1，M>0，
a a
N>0）．
(4)设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
3xyz
【变式8-1】（2023春·广东揭阳·八年级校考期中）若定义 表示 ， 表示
-2abcd
，则运算 的结果为（ ）
A．-12m3n4 B．-6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4
【变式8-2】（2023春·江苏淮安·八年级期中）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运
算规则解决下列问题：
(1)22⊕23的值为 ；
(2)若2p=3,2q=5,3q=7，求2p⊕2q的值；
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b．我们
叫(a,b)为“雅对”．
例如：因为23=8，所以(2,8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立．证明
如下：
设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5，故3m ⋅3n=3m+n=3×5=15，
则(3,15)=m+n，即(3,3)+(3,5)=(3,15)．
(1)根据上述规定，填空：(2,4)=_________；(5,1)=_________；(3,27)=_________．
(2)计算(5,2)+(5,7)=___________，并说明理由．
(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立．
