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专题 11.5 多边形及其内角和【八大题型】
【人教版】
【题型1 多边形对角线的有关计算】......................................................................................................................1
【题型2 求不规则图形的内角和】..........................................................................................................................2
【题型3 求多边形的外角】......................................................................................................................................3
【题型4 多边形的割角问题】..................................................................................................................................4
【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】.................................................................................5
【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】.............................................................................6
【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】.....................................................................................................7
【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】.....................................................................................................8
【知识点1 多边形的相关概念】
（1）平面内，由一些线段 首尾顺次相接 所 组成的封闭图形，叫做多边形.
（2）各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个
1
三角形，共有 n（n﹣3）条对角线
2
【题型1 多边形对角线的有关计算】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条
对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为
mn+1
48，求代数式 的值．
t
【变式1-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，
并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n= ．
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11
个三角形，则经过这一点的对角线的条数是 条．
【变式1-3】（2023春·山东聊城·八年级校联考期末）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形(n>3)共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形的一个顶点出
1 2 ______ … ______
发
_____
多边形对角线的总条数 2 ______ … ______
_
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若
能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【知识点2 多边形的内角和与外角和】
（1）n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
（2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等
于360°，它与边数的多少无关.
【题型2 求不规则图形的内角和】
【例2】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．无法计算
【变式2-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度．
【变式2-2】（2023春·江苏·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六
边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为 ．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式
叠放在一起，则∠EAG的度数为 °．
【题型3 求多边形的外角】
【例3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而
成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．39° B．40° C．41° D．42°
【变式3-1】（2023春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 ．
【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，
若∠ABC ，∠BCD ，∠CDE ，∠DEF 的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校考开学考试）凸n边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形
边数n的最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【题型4 多边形的割角问题】
【例4】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和
是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那
么这个多边形的内角和是 ．
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个
内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【变式4-3】（2023春·新疆·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两
部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【题型5 多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用】
【例5】（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC'F，
恰好使C'E∥AB，C'F∥AD，若∠B+∠D=220°，则∠A= ．
【变式5-1】（2023春·广东汕尾·八年级校考期中）如图，直线l ,l 分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、
1 2
B，且l ∥l ，若∠1＝α，则∠2＝ ．（用含α的代数式表示）
1 2
【变式5-2】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形
有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝ °．
【变式5-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、
∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么?(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
【题型6 多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用】
【例6】（2023春·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC
的平分线交于点P，∠ABC、∠DCE的平分线交于点Q，若∠P-∠Q=25°，则∠ABC+∠BCD=
°．
【变式6-1】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B=104°，∠C=120°，AO、
DO分别平分∠BAD和∠CDA，EO⊥AO，则∠EOD＝
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的
平分线分别交直线CD、AB于点E、F．
(1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥DF；
(2)如图2，若线段DF、EB交于点P，∠BPF=20°，求∠C的度数．
【变式6-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系
呢？如图1，在五边形ABCDE中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°．下面是
该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF,DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若
∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度数；
2 2
(3)拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°,∠ABH= ∠ABF,∠GFH= ∠BFG，∠H=140°，则
3 3
∠D=_______．
【题型7 多边形内角和与外角和的综合应用】
【例7】（2023春·河南周口·八年级校联考期中）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形？
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的和为1080°，
且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
【变式7-2】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）一多边形的每一个内角都等于它相邻
外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360° B．900° C．1440° D．1800°
【变式7-3】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：(1)“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【题型8 多边形内角和与外角和的实际应用】
【例8】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，奇奇先从点A出发前进4m，向右转15°，再前进4m，
又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．24m B．48m C．64m D．96m
【变式8-1】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径
画圆，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，图1是一盏可折叠台灯，图2为其平面示意图，
底座AO⊥OE于点O，支架AB,BC为固定支撑杆，∠BAO是∠CBA的两倍，灯体CD可绕点C旋转调
节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD'置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD'所在的直线恰好垂直
支架AB，且∠BCD-∠DCD'=123°，则∠DCD'= ．【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针
方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场ABCDE的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，
且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
