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专题 14.4 因式分解【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用因式分解求值】..................................................................................................................................1
【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】.........................................................................................................2
【题型3 利用因式分解确定整除问题】..................................................................................................................2
【题型4 利用添项进行因式分解】..........................................................................................................................3
【题型5 利用拆项进行因式分解】..........................................................................................................................5
【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】.........................................................................................................6
【题型7 利用因式分解求最值】..............................................................................................................................6
【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】.........................................................................................................6
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】..............................................................................................................8
【知识点 因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分
解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1 利用因式分解求值】
【例1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）将 因式分解后得 ，那么
(2x) n-81 (4x2+9)(2x+3)(2x-3)
n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-1】（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）把多项式x3+ax分解因式得
( 1)
x x- (x+b)，求a、b的值．
2
【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）已知三次四项式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一个因式是x-3，
试求k的值及另一个因式．
【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）若2x2-6 y2+xy+kx+6能分解成两个一次因式的积，则整数k=
.
【题型2 因式分解在有理数简算中的应用】
【例2】（2023春·八年级课时练习）利用因式分解计算：
(1) ；
(-2) 101+(-2) 100
(2)32021-32020；
(3)121×0.13+12.1×0.9-12×1.21；
(4)2022+982+202×196．
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：2020×512－2020×492的结果是 ．
1 1 1 1 1
【变式2-2】（2023春·八年级单元测试）计算：（1）(1- )×(1- )×(1- )×…×(1- )×(1- )
22 32 42 92 102
；
（2）20212-2021×4040+20202
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）利用因式分解计算：
（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
（2）
1+24(52+1)(54+1)(58+1)⋅…⋅(532+1)
（3）2n+4-2(2n)
2(2n+2)
【题型3 利用因式分解确定整除问题】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数abc表示百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c（a，b，c为0－9之间的整数，且
a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍数（设a+b+c=3t，t为正整数），那么abc能被
3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数ab（a，b为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数
字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数ab．
【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）利用因式分解说明：当n为自然数时，
(n+7) 2-(n-5) 2
能被24整除．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）已知432-1可以被10到20之间的某两个整数整除，
则这两个数是（ ）
A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17
【变式3-3】（2023·河北衡水·统考三模）某数学兴趣小组研究如下等式：
38×32=1216，
53×57=3021，
71×79=5609，
84×86=7224．
观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．
(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52=___________；752=___________．
(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b>0），
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换
为83×23）．若分别记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m-n能被99整除．
【题型4 利用添项进行因式分解】
【例4】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4
的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和 的形式，要使用公式就必须添一项 ，随即
(x2) 2 +22 4x2
将此项4x2减去，即可得
，人们为了纪念苏
x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2) 2 -4x2=(x2+2) 2 -(2x) 2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)
菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：
(1)4x4+ y4；
(2)a2-4am-n2+4mn．
【变式4-1】（2023春·广东佛山·八年级专题练习）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式
a2-1可以用如下方法分解因式：
①a2-1=a2-a+a-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1)；
又比如多项式a3-1可以这样分解：
② ；
a3-1=a3-a2+a2-a+a-1=a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a2+a+1)
仿照以上方法，分解多项式a5-1的结果是 ．
【变式4-2】（2023春·湖南常德·八年级统考期中）阅读与思考
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方
法称之为“添项法”．
例如：a4+4=a4+4+4a2-4a2=(a4+4a2+4)-4a2=(a2+2) 2 -(2a) 2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)．
参照上述方法，我们可以对a3+b3因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=(a3+a2b)-(a2b-b3)=(a+b)⋅a2-(a+b)⋅b(a-b)=⋅⋅⋅
任务：
(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．
(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．
【变式4-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作
用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
1
解：原式＝ (3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
2
1
＝ (32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
2
1
＝ (34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
2
……
364-1
＝
2
例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
1 1 1 1 1
(1)计算：(1+ )(1+ )(1+ )(1+ )⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+ )；
2 22 24 28 2512
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算
(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)
，通过思考，他发现
(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)
计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规
律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：
(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)
.
(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)
【题型5 利用拆项进行因式分解】
【例5】（2023春·八年级课时练习）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．
反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成
两项或多项（拆项）．
例：分解因式：x2＋4x＋3
解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6
【变式5-1】（2023春·黑龙江鸡西·八年级校考期末）利用拆项法，分解因式：x2﹣6x﹣7；
【变式5-2】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）利用拆项法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2-6x+5；
(2)分解因式：a2+4ab-5b2．
【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把x3-3x2+4分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系
数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成
1和3，原式就变成 ，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
(x3+1)-(3x2-3)
原式
=x3+1-(3x2-3)=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)
=(x+1)(x2-x+1-3x+3)=(x+1)(x-2) 2
公式： ，
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
根据上述论法和解法，
（1）因式分解：x3+x2-2；
（2）因式分解：x3-7x+6；
（3）因式分解：x4+x2+1．
【题型6 利用因式分解确定三角形的形状】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则
△ABC为 三角形．
【变式6-1】（2023春·河南郑州·八年级校联考期中）若△ABC三边a、b、c满足a2-ab-ac+bc=0，则
△ABC是 三角形．
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足
．求证：这个三角形是等边三角形．
(a+b+c) 2=3(a2+b2+c2)
【变式6-3】（2023春·八年级统考课时练习）已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足
a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有 个．
【题型7 利用因式分解求最值】
【例7】（2023春·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a<b<c），若
△ABC的周长为30，那么c2+18a+18b-446的最小值为 ．
【变式7-1】（2023春·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回
答下列问题：
(1)因式分解：x2-4x+4=__________．
(2)填空：当x=__________时，代数式x2-6x+9=0；(3)阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．
x2-2x+3=x2-2x+12-12+3=(x-1) 2+2
因为 ，所以 ，所以当 时，原式的最小值为2．
(x-1) 2≥0 (x-1) 2+2≥2 x=1
①代数式x2+10x+2的最小值是__________；
②拓展与应用：求代数式a2+b2-4a-6b+15的最小值（模仿示例详细说明）．
【变式7-2】（2023春·八年级课时练习）已知A为多项式，且A=-2x2- y2+12x+4 y+1，则A有
（ ）
A．最大值23 B．最小值23 C．最大值-23 D．最小值-23
【变式7-3】（2023·安徽亳州·八年级专题练习）求x2-6xy+10 y2-4 y+10的最小值 ．
【题型8 因式分解在新定义问题中的运用】
【例8】（2023春·全国·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a(b+c+d)=ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到
ab+ac+ad=a(b+c+d)，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如 、 是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到
(a±b) 2=a2±2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
、 ，这是运用公式法把多项式因式分解．
a2±2ab+b2=(a±b) 2 a2-b2=(a+b)(a-b)
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2-xy+4x-4 y
（分成两组）
=(x2-xy)+(4x-4 y)
=x(x- y)+4(x- y)（分别提公因式）
=(x- y)(x+4)
乙：a2-b2-c2+2bc
（分成两组）
=a2-(b2+c2-2bc)
（运用公式）
=a2-(b-c) 2
=(a+b-c)(a-b+c)
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解问题一：因式分解：
（1）m3-2m2-4m+8；
（2）x2-2xy+ y2-9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F(x,y)=(mx+ny)(3x- y)（其中m，n均为非零常数）．当x2≠ y2
时，F(x,y)=F(y,x)对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
【变式8-1】定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意
数”.
（1）若a=2，b=-1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a=m-4，b=-m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数” c≤0；
（3）已知 ，且 ， 的“如意数”为 ，请用含 的式子表示 .
a=x2 (x≠0) a b c=x4+4x2+2 x b
【变式8-2】（2023春·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算： ．
m⊗n=(m-n) 2
下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
m⊗n=n⊗m (m⊗n) 2=m2 ⊗n2
C．(m⊗n)⊗p=m⊗(n⊗p) D．m⊗(n-p)=(m⊗n)-(m⊗p)
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则
称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并
说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】
【例9】（2023春·八年级统考期末）（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如
x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成
(x+m)(x+n)．
例如：（1）x2+4x+3=(x+1)(x+3)；（2）x2-4x-12=(x-6)(x+2)．根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)x2-6x+8；
(2)x2-2x-15；
(3)(x-4)(x+7)+18．
【变式9-1】（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式子从右到左使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式
分解：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两
数之积，一次项系数为这两数之和．
材料 ：因式分解： ，将“ ”看成一个整体，令 ，则原式
2 (x+ y) 2+2(x+ y)+1 x+ y x+ y=A
，再将“ ”还原得：原式 ．
=A2+2A+1=(A+1) 2 A =(x+ y+1) 2
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+8x+7因式分解；
(2)根据材料 将 因式分解；
2 (x- y) 2-12(x- y)+36
(3)结合材料 和材料 ，将 因式分解．
1 2 (m2-4m)(m2-4m+2)-8
【变式9-2】（2023春·全国·八年级期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多
项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运用多
a(x+m) 2+n ax2+bx+c(a≠0)
项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
x2+4x-5=x2+2⋅x⋅
4
+
(4) 2
-
(4) 2
-5
2 2 2
=(x+2) 2-9
=(x+2+3)(x+2-3)
=(x+5)(x-1)
即：x2+4x-5=(x+5)(x-1)．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)把下列多项式因式分解：
①x2+2x-8；
②x2-3x-18；(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【变式9-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）[阅读材料]分解因式：x2+x-2．
解：把x=1代入x2+x-2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x-2中有因式x-1，可设
x2+x-2=(x-1)(x+m)（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种
分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：
x2+x-2=__________；2x2-5x-7=__________．
(2)请你用“试根法”分解因式：x3+3x2-4；
(3)①若多项式 （ ， 为常数）分解因式后，有一个因式是 ，求代数式9m的值；
x2+mx-n m n (x-2)
3n
②若多项式x4+mx3+nx-16含有因式(x-2)和(x+1)，求mn的值．
