文档内容
专题 19.5 一次函数的实际应用问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】................................................................................................1
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】................................................................................................5
【考点三 利用一次函数解决行程问题】........................................................................................................9
【考点四 利用一次函数解决几何问题】......................................................................................................13
【考点五 利用一次函数解决其他问题】......................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都
是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优
惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好
被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方
案，并求出最低的费用．
【变式训练】
1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买
、 两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个 型篮球和2个 型篮球共需340元，购买2个 型篮球和1个 型篮球共需要210元．
（1）求购买一个 型篮球、一个 型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金 元用于购买这两种篮球，设购进的 型篮球为 个，求 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买 型篮球的数量不超过 型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多
少元？
2．某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共
需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足
球一共50件，设购买足球 个，总费用为 元，写出 关于 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用
最少？最少费用是多少元？
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售
价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），
且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多
少？
【变式训练】1．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所
购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元
购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两
种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每
台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值
范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【考点三 利用一次函数解决行程问题】
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从
学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段 表示甲班离开学校的路程 （米）与
甲班步行时间 （分）的函数图像；折线 表示乙班离开学校的路程 （米）与甲班步行
时间 （分）的函数图像，图中 轴， 与 相交于点 ．请根据图像解答下列问题：(1)学校到科技馆的路程为______米；线段 对应的函数表达式为______（ ）；
(2)求线段 对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段 与线段 的交点 的坐标为______，点 坐标表示的实际意义是_________．
【变式训练】
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．
设客车离甲地的距离为 千米，出租车离甲地的距离为 千米，两车行驶的时间为 小时， 、 关于
的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出 、 关于 的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 的
出行市场，现有 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费 （元）与骑行时间 之间的对应关系，其中 品牌收费方式对应 ， 品牌的收费方式对应 ，且超过十分钟时，对应的函数关系式
是 ，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求出图中函数 ， 的图象交点 的坐标；
(2)求 关于 的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行 品牌或 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的
平均行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择___________品牌共享电动车更
省钱．（填“ ”或“ ”）
②当 为何值时，两种品牌共享电动车收费相差 元？
【考点四 利用一次函数解决几何问题】
例题：如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴，且 ， ，
，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 路线向点 运动；动点 从点 出发，以每秒
的速度，沿 路线向点 运动.若 ， 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出 ， ， 三个点的坐标；
(2)当 ， 两点出发 时，求 的面积；(3)设两点运动的时间为 ，用含 的式子表示运动过程中 的面积；
(4)在点 ， 运动过程中，点 被包含在 区域 包含边界 的时长是______
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形 的位置如图所示，等边
三角形的边长为2．
(1)求 点的坐标；
(2)直线 过点 ，求该直线的表达式；
(3)在 轴上找一点 ，使得三角形 为等腰三角形，直接写出点 的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线 与 轴交于点 ，在该直线上找一点 ，使得三角形 的面积
为 ．
【考点五 利用一次函数解决其他问题】
例题：（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个
新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费
用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的 ．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划
燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【变式训练】
1．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力 与斜面高度 关系”的实验装置，A、B是水平面上两
个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面 （斜面足够长）斜向上做
匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 是高度 的
一次函数．
(1)求出 与 之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)若弹簧测力计的最大量程是 ，求装置高度 的取值范围．
2．（2023·河南信阳·三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们
的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余 ，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充
电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余 时开始充电，已知两部手机的
电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段 对应的函数表达式．
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于
途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）
与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形 中，点A的坐标为 ，点C的纵坐标为2，直线 的表达式为 ，交y轴于点E，若 ，则菱形 的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
3．（2024·山西晋城·二模）杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体
质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩
处，提起提纽 ，在秤杆上移动金属秤锤 （质量为 ），当秤杆水平时，金属秤锤 所在的位置对
应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用 （单位：
）表示待测物的质量， （单位： ）表示秤杆水平时秤锤 与提纽 之间的水平距离，则水平距离
与待测物质量 之间的关系如图2所示．
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤 与提纽 之间的水平距离越小
B．当待测物的质量 时，测得的距离 为
C．若秤锤C在水平距离 为 的位置，则秤杆在此处的刻度应为
D．若秤杆长为 ，则杆秤的最大称重质量为
二、填空题
4．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果
二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿
方案是 ．
5．（2024·山东济南·一模）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位 的培训中心参加学习． 图
中 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 （千米） 随时间 （分）变化的函数图象，乙出发
后 分钟追上甲．
6．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于
点A、B，点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，P是x轴上一个动点，则 的值最小时
P点的坐标是 ．
三、解答题
7．（2024·四川成都·模拟预测）2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美
化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，
则需要220元．
(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？
(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（ ）乙种盆栽，总费用
为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．
8．（2024·陕西西安·二模）为了响应“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是某款
新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 （千瓦时）关于已行驶路程 （千米）的函数图象．(1)当 时，每千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为 千米，则 ______；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式，并计算当新能源汽车已行驶180千米时，消耗了多少电
量．
9．（2024·河南许昌·一模）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项
目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量
比打折前多10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100
元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够
用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
10．（2023·河南平顶山·模拟预测）铁棍山药是河南焦作的著名特产之一，其营养价值丰富．近年来，铁
棍山药制品越来越受到人们的喜爱．为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种（铁棍山药粉）和B种
（铁棍山药饮品）铁棍山药制品．两种铁棍山药制品的进货价和销售价如下表：
类别
A种铁棍山药制品 B种铁棍山药制品
价格
进货价（元/件） 60 50
销售价（元/件） 98 78
(1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种铁棍山药制品共100件，求两种铁棍山药制品各购进了多少
件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种铁棍山药制品120件（两种铁棍山药制品的进货价不变），但A种铁棍山药制品的进货量不超过B种铁棍山药制品的 ，应如何设计进货方案
才能获得最大利润，最大利润是多少？
11．（2024·江苏南京·模拟预测）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去
A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的 .如
图是客车、货车离C站的路程 ， 与行驶时间 的函数关系图象.
(1)货车的速度为___________；A、B两地间的路程为___________；
(2)求客车 与x的函数关系式并直接写出货车 与x的函数关系式.
(3)出发后经过___________两车间路程是70km？
12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交A、
B两点，与直线y 相交于点 ．
(1)求m和b的值；(2)若直线 与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设
点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段 上，且 的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使 为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为 （如图1），
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量 （单位： ）与充电时间 （单位：
）的函数图象分别为图2中的线段 ．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求线段 对应的函数表达式：
(2)先用普通充电器充电 后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时 ，通过计算在图2
中画出电量 （单位： ）与充电时间 （单位： ）的函数图象，并标注出 所对应的值．
14．（2024·吉林四平·模拟预测）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始
终以 的速度在离地面 高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P
的正下方．2号机从原点O处沿函数关系式为 的射线 方向爬升，到 高的A处便立刻转为水平
飞行，再过 到达B处开始沿直线 降落，要求 后到达高度为 的点C处．(1)求2号机的爬升速度；
(2)求 的h关于s的函数关系式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离 不超过 的时长是多少．
