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专题19.4 函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】函数的图象
1. 函数的图象：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那
么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象.
2. 画函数图象的一般步骤：
（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的
各点.
（3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.
特别提醒：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，甚至可以是不连续的点.
【知识点二】函数的识别方法
对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对
应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数
值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值.
【知识点三】利用函数的图象获取信息
根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：
1. 横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2.关于图象上的某个点，可以过该点分别向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；
3.在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点代表的具体含义.
【知识点四】利用函数的图象解决实际问题
对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、
纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义.
【知识点四】分段函数的应用方法
自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函
数.解决分段函数的有关问题的关键是要弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题.【考点目录】
【考点1】函数图象的识别； 【考点2】从函数图象获取信息；
【考点3】画函数的图象； 【考点4】函数图象中的动点问题；
【考点5】函数图象中的分段函数；
【考点1】函数图象的识别；
【例1】下列各情景分别可以用哪幅图来近似地刻画？
（1）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）；
（2）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；
（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；
（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．
【答案】（1）C；（2）D；（3）A；（4）B
【分析】确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解．
解：（1）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画；
（2）一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以
用D刻画；
（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），球的高度逐步增加然后落地，故可以
用A来刻画；
（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），汽车的速度不变，故可以用B来刻画．
【点拨】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．
【变式1】有一块长方形菜园 ，一边利用足够长的墙，另三边用长度为 的笍色目成，设
长方形的长 为 ，宽 为 ，则下列函数四象能反映 与 关系的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，根据菜园三边的和为 ，进而可得 （ ），进
而可求解，理解题目中的数量关系，得出 与 关系式是解题的关键．
解：根据题意得： ，
即： （ ），
函数图象能反映 与 关系的是A，
故选A．
【变式2】小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；
小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小
明的行为（填序号）．【答案】②
【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可．
解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意；
②由图可知，速度先快后慢，符合题意；
③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意；
④由图可知，速度先慢后快，不符合题意；
故答案为：②．
【点拨】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．
【考点2】从函数图象获取信息；
【例2】如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池 边上进行机器人测试．机器人从点B处
出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段 ，线段 ，线段 ，到点A处停
止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么 的面积 与机器人出发后的时间t（分钟）之间的
关系图像如图2所示．
（1）请求出长方形 的长和宽；
（2）当 时，求S与t之间的关系式；
（3）若沿途在某处让机器人原地做了 分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，
请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程．【答案】（1）长是 ，宽是 ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式：
（1）根据函数图象可得到 ，再根据在 上运动时， 的面积为 ，结合三角形面
积公式得到 ，据此即可求出答案；
（2）根据（1）所求可得机器人的速度为每分钟走 ，则 ，再根据三角形面积公式求解即
可；
（3）根据题意可求出a的值，进而根据路程等于速度乘以时间求出答案．
（1）解：观察图像可知，机器人从B点走到C点用了3分钟，从C点走到走到D点用了6分钟
∵机器人是匀速运动
∴ ，
又从图像可知，
∴ ，
∴长方形 的长是 ，宽是 ．
（2）解：由（1）可知，机器人3分钟走了 的路程，
∴机器人的速度为每分钟走 ，
∴ ，
∴当 时，S与t之间的关系式为：
（3）解：由题意可得
∴机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程为： ．
【变式1】如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．
已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小
烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差 随加水时间 变化的
图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通
过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．根据题意判断出小烧杯、大烧杯的液面
高度 随时间 的变化情况即可．
解： 大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，
小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的 ，
注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的 ，
小烧杯、大烧杯内水面的高度差 随加水时间 变化的图象可能是选项C．
故选：C
【变式2】甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段
时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组
挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲组单独工作时30天的时间一共挖掘90米，求
出甲每天挖掘的长度，进而求出甲组挖掘的总长度，再求出乙组挖掘的总长度即可得到答案．解：由题意得，甲组单独每天可挖掘 ，
∴甲组一共挖掘了 ，
∴乙组一共挖掘了 ，
∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 ，
故答案为： ．
【考点3】画函数的图象；
【例3】在同一直角坐标系中画下列函数的图象：
（1） ． （2） ． （3） ．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析．
【分析】（1）先列表，再描点，再进行连线即可；
（2）先列表，再描点，再进行连线即可；
（3）先列表，再描点，再进行连线即可．
（1）解： ，
列表得：
x 0 1 2
y 0
函数图象如图所示；
（2）解： ，
列表得：
x 0 1
y 0 4 8
函数图象如图所示；
（3）解： ，
列表得：x 0 1 2
y 6 3 0
函数图象如图所示；
【点拨】本题考查了绘制函数图象，根据列表、描点和连线的步骤进行绘制即可．
【变式1】函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可．
解：∵函数 的图像大致是
，
故选C．
【点拨】本题考查了图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键．
【变式2】李玲用“描点法”画二次函数 的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数 当 时， ．
【答案】1
【分析】观察表格中的x，y值，找到对称点确定对称轴，在找x=3的对称点的y值，即可求出
解：由上表可知函数图象经过点（0，-2）和点（2，-2），
∴对称轴为x= =1，
∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值，
∵当x=-1时，y=1，
∴当x=3时，y=1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关键，另外
本题也可以求出二次函数解析式，然后求值
【考点4】函数图象中的动点问题；
【例4】如图①，在矩形 中，点 从 边的中点 出发，沿着 匀速运动，速度为
每秒 个单位长度，到达点 后停止运动，点 是 上的点， ，设 的面积为 ，点 运动的
时间为 秒， 与 的函数关系如图②所示．
（1）图①中 ， ，图②中 ．
（2）点 在运动过程中，将矩形沿 所在直线折叠，则 为何值时，折叠后顶点 的对应点 落在
矩形的 边上？
【答案】（1） ， ， ；（2） 或
【分析】（1）根据函数图象由 时， ，得出 ， ，则 时，，当 时，点 在 处， 的面积；
（2）分点在 边上， 落在 边上时，点 在 边上时，根据折叠的性质以及勾股定理进行计
算即可求解．
（1）解： 点 从 边的中点 出发，速度为每秒 个单位长度，
，
由图象得： 时， ，
， ，
时， ，
当 时，点 在 处， 的面积 ，
故答案为： ， ， ；
（2）①当点 在 边上， 落在 边上时，连接 ，如图所示：
由折叠的性质得： ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
又 ，
，解得： ；
②当点 在 边上时，如图，， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
由折叠的性质得， ， ， ，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得， ，
解得 ．
综上，当 为 或 时，折叠后顶点 的对应点 落在矩形的一边上．
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理与折叠问题，数形结合是解题的关
键．
【变式1】如图（1），点P是 边上一动点，沿 的路径移动，设点P经过的
路径长为x， 的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则 与 间的距离是
（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据点P运动，可得 ，再根据三角形的面积公式可得出结
论．解：根据点P运动，可得 ，
设 与 间的距离是d，
当点P在 上时， ，
解得 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点P运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题
关键．
【变式2】已知动点P以每秒 的速度沿图甲的边框按从 的路径移动，
相应的 的面积 与时间t（秒）之间的关系如图乙中的图象所示．其中 ．则 ．
【答案】17
【分析】根据路程 速度 时间算出 、 、 、 ，从而得到 ，即可得到答案；
解：动点P在 上运动时，对应的时间为0到4秒，得： ；
动点P在 上运动时，对应的时间为4到6秒，得： ；
动点P在 上运动时，对应的时间为6到9秒，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 上运动时间为： 秒，
∵ ，
∴ 上运动时间为： 秒，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题考查函数图象的性质，解题的关键是看懂函数图象结合路程 速度 时间进行计算．
【考点5】函数图象中的分段函数；
【例5】在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．
如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.（当点P与点A或D重合时，y＝0）
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）画出此函数的图像．
【答案】见分析.
【分析】（1）分以下三种情况：点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动，分别根据
三角形的面积公式可得；
（2）根据（1）中函数关系式即可得,点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达
式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．
解：①当点P在边AB上运动，即0≤x＜3时，
y＝ ×4x＝2x；
②当点P在边BC上运动，即3≤x＜7时，
y＝ ×4×3＝6；
③当点P在边CD上运动，即7≤x≤10时，
y＝ ×4（10－x）＝－2x＋20.
所以y与x之间的函数表达式为：y＝
（2）函数图象如图所示．【点拨】本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想.根
据点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，
再画出相应的函数图象．
【变式1】如图，在矩形 中， ， ，动点 沿折线 从点 开始运动到点 ．
设运动的路程为 ， 的面积为 ，那么 与 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意当 时， ，当 时， ，由此即可判断．
解：由题意当 时， ，
当 时， ，
故选D．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．
【变式2】如图，长方形 中， ， ，点 从点 出发，沿长方形 的边做逆
时针运动，设点 运动的距离为 ， 的面积为 ，如果 ，那么 关于 的函数关系式是
.
【答案】
【分析】找出当5＜x＜8时，点P的位置，根据AB、AD的长度可找出PC的长度，再根据三角形的面
积公式即可找出y关于x的函数关系式．
解：当5＜x＜8时，点P在线段BC上，PC=8-x，
∴y= PC•AB=- x+20．
故答案为：y=- x+20．
【点拨】本题考查了函数关系式，找出当5＜x＜8时点P的位置是解题的关键．
