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专题 17. 3 勾股定理的应用【十二大题型】
【人教版】
【题型1 求梯子滑落高度】......................................................................................................................................1
【题型2 求旗杆高度】..............................................................................................................................................3
【题型3 求小鸟飞行距离】......................................................................................................................................4
【题型4 求大树折断前的高度】..............................................................................................................................5
【题型5 解一元一次不等式组】..............................................................................................................................7
【题型6 解决水杯中筷子问题】..............................................................................................................................8
【题型7 解决航海问题】..........................................................................................................................................9
【题型8 求河宽】....................................................................................................................................................10
【题型9 求台阶上地毯长度】................................................................................................................................12
【题型10 判断汽车是否超速】................................................................................................................................13
【题型11 选址使到两地距离相等】........................................................................................................................14
【题型12 求最短路径】............................................................................................................................................15
【题型1 求梯子滑落高度】
【例1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救
人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云
梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，
这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在
DE上，OE的长即为消防车的高3m）
【变式1-1】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿
斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1
米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【变式1-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，
一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理
由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不
等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出
行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆
形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱
体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．【题型2 求旗杆高度】
【例2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．
爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB
的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的
高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．
【变式2-1】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满
了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制
的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶
到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园
林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，
为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．
【变式2-3】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从
点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25
米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【题型3 求小鸟飞行距离】
【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度
AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达
D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小
鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-2】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距
离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如
果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【变式3-3】（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图，
他们从A点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千
米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
【题型4 求大树折断前的高度】
【例4】（2023春·八年级课时练习）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵树
AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，
AC=√18m．(1)求这两棵树的水平距离CF；
(2)求树AB的高度．
【变式4-1】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华
南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一
次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度
为（ ）
A．10m B．15m C．18m D．20m
【变式4-2】（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问
题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，
算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将
它向前水平推送10尺时，即P'C=10尺，秋千踏板离地的距离P'B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始
终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 ．
【变式4-3】（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折
断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.
（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆
从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【题型5 判断是否受台风影响】
【例5】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，
公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在
铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 秒．
【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移
动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为
300m，宣讲车P周围500m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿MN方向行驶．
(1)村庄能否听到广播宣传？请说明理由．
(2)已知宣讲车的速度是50m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在
开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的
距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，
公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【变式5-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km
的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影
响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？
【题型6 解决水杯中筷子问题】
【例6】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面
中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不
计）范围是（ ）
A．4”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．
【题型9 求台阶上地毯长度】
【例9】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，
AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65m2 B．85m2 C．90m2 D．150m2
【变式9-1】（2023春·八年级课时练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为
12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【变式9-2】（2023春·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的
长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B
点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式9-3】（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地
段，若防撞地毯每平方米售价为40元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．【题型10 判断汽车是否超速】
【例10】（2023春·山西忻州·八年级统考期中）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千
米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，
过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理
由．
【变式10-1】（2023春·江苏扬州·八年级校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车
在城市街道上的行驶速度不得超过60千米／时．这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶，某一时刻刚
好行驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了8秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间的
距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【变式10-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上
周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的
距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为
3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
【变式10-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长
度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该
如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A
中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超
速，并说明理由．
【题型11 选址使到两地距离相等】
【例11】（2023春·八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，
CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D
两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【变式11-1】（2023春·辽宁丹东·八年级校考阶段练习）如图，在一颗树上10米高的D处有两只猴子，其
中一只猴子沿树爬下，走到离树20米处的池塘B处，另一只猴子爬到树顶A处直跃向池塘的B处，如果两
只猴子所经过的路程相等，试问这颗树有多高?【变式11-2】（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作
推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线AB上，新建一
所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知
AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km求该幼儿园E应该建在距点A为多少km处，可以使两个小区到幼
儿园的距离相等．
【变式11-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，
到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离
相等，求商店C与公交站D之间的距离（结果保留整数）．
【题型12 求最短路径】
【例12】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A
出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（ ）
A．√14 B．√18 C．√20 D．√26
【变式12-1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面
ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=AB=10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点
B，它的最短行程是（ ）米．A．20 B．8√5 C．24 D．6√10
【变式12-2】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在
外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm点F处有一苍蝇，急于捕获苍
蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）
A．20cm B．8√3cm C．√433cm D．24cm
【变式12-3】（2023春·河南郑州·八年级校联考期末）在一张长AB=13 cm，宽AD=8 cm的长方形纸片
上，如图放置一根直棱柱的木块，它的底面为正方形，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，一只蚂蚁从点
A处到点C处走的最短路程是17cm，则该四棱柱的底面边长是 cm．
