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专题 27.7 相似三角形的八大经典模型
【人教版】
【题型1 A字型】....................................................................................................................................................2
【题型2 “8”字形】....................................................................................................................................................3
【题型3 AX字型】...................................................................................................................................................4
【题型4 子母型】......................................................................................................................................................6
【题型5 双垂直型】..................................................................................................................................................8
【题型6 一线三等角型】........................................................................................................................................10
【题型7 手拉手型】................................................................................................................................................13
【题型8 三角形内接矩形型】................................................................................................................................16
【基本模型1-A字型】
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ ．
【题型1 A字型】
【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作
OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则
OM-EF值为（ ）
7 12 3 2
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AD=DE=EB，
AF=FG=GC．已知△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 ．
【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB
上的动点，且
BF=BD=EC=2
，连接
FE
， S
△DEF =
；
S
△ABC【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，
AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H，则CH长为
．
【基本模型2-“8”字形】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ ．【题型2 “8”字形】
【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，
BG
连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则 的值为（ ）
GF
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若
AD=2，AB=3，AC=6，则AE= ．
【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，
AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G．求FG的长．
【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直
EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=（ ）10 5
A． B．5 C． D．6
3 3
【基本模型3-AX字型】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX字型】
【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线
BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．
(1)图中相似三角形有______对；
(2)若AD2=AC⋅CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度数．
【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，
DE∥AC，若S :S =2:3，则S :S = ．
△BDE △CDE △DOE △AOC
【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交
AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则AE的长为 ．1
【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在 ▱ABCD中，点E在AB上，AE= AB，
3
ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
(1)求FG:AE的值．
(2)若AB:AC=√3:2，
①求证：∠AEF=∠ACB．
②求证：DF2=DG⋅DA．
【基本模型4-子母型】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．【题型4 子母型】
【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且
△
AB AD
= ，∠BAD＝∠ECA．
AC CE
（1）求证：AC2＝BC•CD；
CE
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
AC
△
【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在 ABC中，D为BC边上的一点，且AC=2√6
，CD＝4，BD＝2，求证： ACD∽△BCA． △
△
【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的
中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）求证：AE=2EF；
（3）若FH=√3，求BC的长．
【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针
旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求证：AC∥FB；
AB
(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求 的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
BC
【基本模型5-双垂直型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见
的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
在
（1） 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内均有射影定理模
型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【题型5 双垂直型】
【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边
BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则
AP+QE的最小值为 ．
【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角
形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和
斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明
定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作
CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=√10，求OF的长．
【变式5-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A. B．2 C. D．2【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数
学活动．
(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交
于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE
于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做
匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度
的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）【基本模型6一线三等角型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
【题型6 一线三等角型】
【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩
形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两
矩形的相似比的是（ ）
AB BD CD CE
A． B． C． D．
AC CD CH EH【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形ABC的边长为4．
(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：
△ABP∽△PCD；
(2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；
(3)在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D'，求△D' AP的面积．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在
AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，
∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请
用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保
留作图痕迹；
(2)如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角
∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP:PB＝1:2，BF=√2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中
点，F为BC上一点，BF
