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专题 27.3 相似三角形的判定与性质（一）【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用相似三角形的性质求面积】..............................................................................................................2
【题型2 添加条件使两三角形相似】......................................................................................................................3
【题型3 根据图形数据判断两三角形相似】.........................................................................................................4
【题型4 坐标系中确定坐标使两三角形相似】.....................................................................................................5
【题型5 确定相似三角形的对数】..........................................................................................................................7
【题型6 相似三角形的证明】..................................................................................................................................8
【题型7 找格点中的相似三角形】..........................................................................................................................9
【题型8 由图形相似求线段长度】........................................................................................................................10
【知识点1 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．
如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比
例，都等于相似比．
如图， ∽ ， 和 是 中 边上
的中线、高线和角平分线， 、 和 是 中
边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图， ∽ ，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有【题型1 利用相似三角形的性质求面积】
【例1】（2023春·辽宁沈阳·九年级校考期中）如图，△OAB∽△OCD，且
OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB与△OCD的面积分别是S 和S ，△OAB与△OCD的周长分别是
1 2
C 和C ，则一定成立的等式是（ ）
1 2
A．OB 6 B．α 6 C．S 6 D．C 6
= = 1= 1=
CD 5 β 5 S 5 C 5
2 2
【变式1-1】（2023春·九年级上海市民办文绮中学校考期中）两个相似三角形的面积之差为3cm2，周长比
是2：3，那么较小的三角形面积是 cm2．
【变式1-2】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边
长均为1，若ΔABC∽ΔDCE，则ΔDCE的面积是 ．
【变式1-3】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F
在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=3√3cm，AF=2√3cm．
（1）求DE的长；
（2）求平行四边形ABCD的面积．【知识点2 相似三角形的判定】
判定定理
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
判定定理1：
如图，如果 ， ，则
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角
对应相等，那么这两个三角形相似． ．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个
如图，如果 ，则
三角形相似．
．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相
判定定理3：
似．如图，如果 ， ，则
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的
夹角相等，那么这两个三角形相似．
．
【题型2 添加条件使两三角形相似】
【例2】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的
一动点，下列条件中，不能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）
AB BP
A． = B．P是BC的中点
CE CP
C．∠BAP=∠EPC D．AB:BP=3:2
【变式2-1】（2023春·北京石景山·九年级校考期中）如图，标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如
果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
【变式2-2】（2023春·四川雅安·九年级雅安中学校考期中）根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△ABC
1 1 1
的是（ ）A．∠B＝∠B＝60°，∠C＝50°，∠A＝70°
1 1
B．∠C＝∠C ＝90°，AB＝10，AC＝6，AB＝5，AC ＝3
1 1 1 1 1
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A＝40°，AB＝4，AC ＝5
1 1 1 1 1
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，AB＝8，AC ＝16，BC ＝10
1 1 1 1 1 1
【变式2-3】（2023春·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）如图，在△ABC中，P为AB上一
点，下列四个条件中：①AC2=AP⋅AB；②AB⋅CP=AP⋅CB；③∠APC=∠ACB﹔④
∠ACP=∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【题型3 根据图形数据判断两三角形相似】
【例3】（2023春·河北保定·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将
△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
【变式3-1】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）如图，已知△MNP．下列四个三角形，与△MNP相似
的是（ ）
A． B． C． D．【变式3-2】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面
四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春·河南商丘·九年级统考期末）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标
注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）
A．都相似 B．都不相似
C．只有①相似 D．只有②相似
【题型4 坐标系中确定坐标使两三角形相似】
【例4】（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，
1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【变式4-1】（2023春·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶
点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是(1,1)，则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是 ．
【变式4-2】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A(1,0)，B(2,0)，C(0,1)，在
坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．
1
【变式4-3】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）平面直角坐标系中，直线y=- x+2和x、y轴交于
2
A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型5 确定相似三角形的对数】
【例5】（2023·安徽淮南·统考模拟预测）如图，把ΔABC绕点A旋转到ΔADE，当点D刚好落在BC上时，
连结CE，设AC,DE，相交于点F，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-1】（2023春·河北石家庄·九年级统考期末）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE
交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【变式5-2】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）如图，AB与CD相交于点O，且
OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为 ．
∠
【变式5-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一
点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D．)4【题型6 相似三角形的证明】
【例6】（2023春·九年级课时练习）如图，已知∠B=∠E=90°，
AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．
(1)求CE的长；
(2)求证：△ABC∽△DEF．
【变式6-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是
AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.
【变式6-2】（2013·广西河池·中考真题）请在图中补全坐标系及缺失的部分，并在横线上写恰当的内容．
图中各点坐标如下：A(1，0)，B(6，0)，C(1，3)，D(6，2)．线段AB上有一点M，使
△ACM∽△BDM，且相似比不等于1．求出点M的坐标并证明你的结论．
解：M（ ， ）
证明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAM=∠DBM= 度．∵CA=AM=3，DB=BM=2，
∴∠ACM=∠AMC（ ），∠BDM=∠BMD（同理），
1
∴ ∠ACM= (180°- )＝45°． ∠BDM＝45°（同理）．
2
∴∠ACM＝∠BDM．
在△ACM与△BDM中，¿，
∴△ACM∽△BDM（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
似）．
【题型7 找格点中的相似三角形】
【例7】（2023春·山西临汾·九年级统考期末）如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与
△ABC相似的是（ ）
A．△FBE B．△BED C．△DFE D．△ABE
【变式7-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形
（阴影部分）与△ABC相似的是 ．
【变式7-2】（2023·上海·九年级假期作业）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方
形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格
点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形
分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”．
如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自
相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型8 由图形相似求线段长度】
【例8】（2023春·安徽·九年级专题练习）矩形ABCD对角线的交点为O，点E在边AB上，点F在AD的延
长线上，连接EF，EO，FO，∠EOF=90°．试探究：
(1)如图1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，则AE的长为 ；
(2)如图2，若BE=3，FD=1，则EF的长为 ．
【变式8-1】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，BD 3
∠ADE=60°，若AD=4, = ，则DE的长度为（ ）
CE 2
4 8
A．1 B． C．2 D．
3 3
【变式8-2】（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连
接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
(1)如图1，当DE=DA时，求证：AF=EF；
DE
(2)如图2，点E在运动过程中 的值是否发生变化？请说明理由；
EF
(3)如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF
于点K，当AD=2，CD=2√3时，求KH的长．
【变式8-3】（2023春·广东深圳·九年级校联考阶段练习）（1）如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长．
（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC=14，BC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，
∠EDB=∠ACB=60°，DE=2，求AD的长．
（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，延长
DE，BC交于点F，AD=4，DE=5，EF=6， 求BD=______．
