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专题 27.1 比例线段【九大题型】
【人教版】
【题型1 成比例线段的概念辨析】..........................................................................................................................1
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】..................................................................................................................2
【题型3 成比例线段的实际应用】..........................................................................................................................2
【题型4 利用比例的性质求字母的值】..................................................................................................................4
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】..............................................................................................................4
【题型6 利用比例的性质进行证明】......................................................................................................................4
【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】.........................................................................................................5
【题型8 黄金分割的概念辨析】..............................................................................................................................7
【题型9 黄金分割的实际应用】..............................................................................................................................7
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念辨析】
a
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足 =2，且a+2b=28．
b
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们
是成比例线段，则x的值为 .【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，
a b c
= = ．
3 4 5
(1)求线段a，b，c的长；
a x
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即 = ），求线段x的长．
x b
【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c
等于（ ）
A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】
【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是
2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千
米．
【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是
1：1000000，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米
【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，
一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：
400000的地图上的距离是 厘米．
【题型3 成比例线段的实际应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为
该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团
的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）
文学社 篮球社 动漫社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变
C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少
【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部
（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为
2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m
A．-1-√5 B．-1±√5 C．√5+1 D．√5-1
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB-CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中
所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的
长.
【知识点2 比例的性质】
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
【题型4 利用比例的性质求字母的值】
【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足
a+b-c a-b+c -a+b+c
= = =k，则k的值为 ．
c b a
x y z
【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知 = = ，且3 y=2z+6，求x，y的值．
3 5 6
【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，
a b c
= = ．
3 4 5
(1)求线段a，b，c的长；
a x
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即 = ），求线段x的长．
x b
y+z x+z x+ y
【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知 = = =k，则k2= ．
x y z
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】
a+b b+c c+a (a+b)(b+c)(c+a)
【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若 = = ，则 的值为
c a b abc
．
a c e 1 3a-2c+e
【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若 = = = ，则 的值为（ ）
b d f 3 3b-2d+f
1
A． B．1 C．1.5 D．3
3
a b
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A= ，B= ，
b+c a+c
c
C= ，下列结论：
a+b
2
①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B= ；
33
②若A=B=C，则A+B+C= ；
2
1 1 1
③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则 + + =-2019；
A B C
④若a<b<c，则A<B<C；其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
x y z x- y+z
【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若 = = ，求 的值；
3 5 7 x+ y-z
a+2 b c+5
（2）若 = = ，且2a-b+3c=21，求a:b:c．
3 4 6
【题型6 利用比例的性质进行证明】
a a-nc
【例6】（2023春·九年级单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证： = ．
b b-nd
a 2
【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知 =
b 3
a
(1)求：
a+2b
a b
(2)求证： =
a+2b 3a+2b
【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求
证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
1 1 1
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知ax=by=cz，且 + + =1.求证：
x y z
.
a3x2+b3y2+c3z2=(a+b+c) 3
【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正
y+z z+x x+ y
数x，y，z满足 = = =k，求2x- y-z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为
x y z
了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
y+z z+x x+ y
解；设 = = =k，则有：
x y z
y+z=kx，z+x=ky，x+ y=kz，
将以上三个等式相加，得2(x+k+z)=k(x+ y+z).∵ x，y，z都为正数，
y+z
∴ k=2，即 =2，.
x
∴ 2x- y-z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
x y z
（1）若正数x，y，z满足 = = =k，求k的值；
2y+z 2z+x 2x+ y
a+b b+c c+a
（2）已知 = = ，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
a-b 2(b-c) 3(c-a)
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = （a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
a-b b-c c-a
x y z
解：设 = = =k，
a-b b-c c-a
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，
依照上述方法解答下列问题：
y+z z+x x+ y x- y-z
已知： = = （x+y+z≠0），求 的值．
x y z x+ y+z
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：
a c a+b c+d
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 = ，求证： = ．
b d b d
a c
证明：∵ = ，
b d
a c
∴ +1= +1．
b d
a+b c+d
∴ = ．
b d
根据以上方法，解答下列问题：
a 3 a+b
（1）若 = ，求 的值；
b 5 b
a c a-b c-d
（2）若 = ，且a≠b，c≠d，证明 = ．
b d a+b c+d
【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三
角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边 与 ，连结第三个顶点 并延长交 于 ，则S CE．
△ABC △ABD DC AB E △ABC =
S DE
△ABD
【问题解决】
如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．
（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm2？，分别求出这些“共边三角
形”的面积；
1
（2）求证：AF= AC；
3
（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3”，则AF:CF=______．
【知识点3 黄金分割】
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中
项（即 ），则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型8 黄金分割的概念辨析】
√5-1
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于 的矩形称为黄金矩形．如图，
2
BE
在黄金矩形ABCD（AB<BC）的边BC上取一点E，使得CE=AB，连接AE，则 的值为（ ）
AB√2 √5-1 3-√5 √5+1
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，下
列选项错误的是（ ）
BC 3-√5
A． ≈0.618 B．BC= AC
AB 2
AC √5-1
C．BC2=AB⋅AC D． =
BC 2
【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB=2，若C，D是AB的两个黄金分割点，
则CD长为 ．
【变式8-3】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点
， 是线段 的黄金分割点 ， 是线段 的黄金分割点，以此类推，则
(AC>BC) C AC C (AC >C C) C AC
1 1 1 1 2 1
AC = ．
m
【题型9 黄金分割的实际应用】
【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，
即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确
到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含
着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为
cm．（结果保留根号）【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是
黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）
【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最
自然得体．若舞台长为，则主持人站在离点 处最自然得体．（结果精确到）
