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专题 27.1 比例线段【九大题型】
【人教版】
【题型1 成比例线段的概念辨析】..........................................................................................................................1
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】..................................................................................................................2
【题型3 成比例线段的实际应用】..........................................................................................................................2
【题型4 利用比例的性质求字母的值】..................................................................................................................4
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】..............................................................................................................4
【题型6 利用比例的性质进行证明】......................................................................................................................4
【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】.........................................................................................................5
【题型8 黄金分割的概念辨析】..............................................................................................................................7
【题型9 黄金分割的实际应用】..............................................................................................................................7
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念辨析】
a
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足 =2，且a+2b=28．
b
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们
是成比例线段，则x的值为 .【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，
a b c
= = ．
3 4 5
(1)求线段a，b，c的长；
a x
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即 = ），求线段x的长．
x b
【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c
等于（ ）
A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】
【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是
2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千
米．
【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是
1：1000000，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米
【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，
一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：
400000的地图上的距离是 厘米．
【题型3 成比例线段的实际应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为
该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团
的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）
文学社 篮球社 动漫社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变
C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少
【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部
（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为
2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m
A．-1-√5 B．-1±√5 C．√5+1 D．√5-1
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB-CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中
所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的
长.
【知识点2 比例的性质】
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
【题型4 利用比例的性质求字母的值】
【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足
a+b-c a-b+c -a+b+c
= = =k，则k的值为 ．
c b a
x y z
【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知 = = ，且3 y=2z+6，求x，y的值．
3 5 6
【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，
a b c
= = ．
3 4 5
(1)求线段a，b，c的长；
a x
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即 = ），求线段x的长．
x b
y+z x+z x+ y
【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知 = = =k，则k2= ．
x y z
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】
a+b b+c c+a (a+b)(b+c)(c+a)
【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若 = = ，则 的值为
c a b abc
．
a c e 1 3a-2c+e
【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若 = = = ，则 的值为（ ）
b d f 3 3b-2d+f
1
A． B．1 C．1.5 D．3
3
a b
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A= ，B= ，
b+c a+c
c
C= ，下列结论：
a+b
2
①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B= ；
33
②若A=B=C，则A+B+C= ；
2
1 1 1
③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则 + + =-2019；
A B C
④若aBC) C AC C (AC >C C) C AC
1 1 1 1 2 1
AC = ．
m
【题型9 黄金分割的实际应用】
【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，
即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确
到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含
着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为
cm．（结果保留根号）【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是
黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）
【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最
自然得体．若舞台长为，则主持人站在离点 处最自然得体．（结果精确到）
