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专题 27.1 比例线段【十大题型】
【人教版】
【题型1 由成比例线段直接求值】..........................................................................................................................1
【题型2 比例尺】......................................................................................................................................................2
【题型3 由比例的性质判断结论正误】..................................................................................................................3
【题型4 由比例的性质求参数的值】......................................................................................................................4
【题型5 由比例的性质求代数的值】......................................................................................................................4
【题型6 由比例的性质进行证明】..........................................................................................................................5
【题型7 由比例的性质比较大小】..........................................................................................................................5
【题型8 比例的应用】..............................................................................................................................................6
【题型9 由黄金分割求值】......................................................................................................................................7
【题型10 黄金分割的应用】......................................................................................................................................8
知识点1：成比例线段
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 由成比例线段直接求值】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据4a=5b，可以组成的比例有（ ）
A．a:b=5:4 B．a:b=4:5 C．a:4=b:5 D．a:5=4:b【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知a:b=1:2，且a+2b=10．
(1)求a、b的值；
(2)若c是a、b的比例中项，，求c的值．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线
段AC，AB，CD，BC是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说
明理由.
【题型2 比例尺】
【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春
晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行
的实际路程为2.2km，当地图上比例尺由1∶1000变为1∶500时，则地图上两个校区的路程增加了
cm．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为120cm，该市城区南北
实际长为36km，则该规划图的比例尺是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的
两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m 2，若按比例尺
❑
1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积
知识点2：比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或 或（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
【题型3 由比例的性质判断结论正误】
x 3
【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若 = ，则下列各式中不正确的是（ ）
y 4
x+ y 7 x−y 1 x+2y 11
A． = B． = C．4x=3 y D． =
y 4 y 4 x 3
【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（ ）
a c a 4
A．若 = ，则 =
4 5 c 5
a−b 1 a 7
B．若 = ，则 =
b 6 b 6
a c 2 a−c 2
C．若 = = （b﹣d≠0），则 =
b d 3 b−d 3
a 3
D．若 = ，则a＝3，b＝4
b 4
a c
【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若 = （a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是
b d
（ ）
A． B．a2 c2
ad=bc =
b2 d2
C．ad c2 D．a+m c
= =
b2 ad b+m d【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学
期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变
化，下列叙述何者正确？（ ）
舞蹈社 溜冰社 魔术社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【题型4 由比例的性质求参数的值】
2a 2b 2c
【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
a+4 b+3 c+8
【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知a，b，c满足 = = 且a+b+c=12，
3 2 4
试求a，b，c的值．
【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，
a b c
= = ．
3 4 5
(1)求线段a，b，c的长；
a x
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即 = ），求线段x的长．
x b
a c e
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果 = = =k(b+d+f ≠0)，且a+c+e=3(b+d+f)，那
b d f
么k的值是（ ）
1 1
A．2 B．3 C． D．
3 2
【题型5 由比例的性质求代数的值】
x+3 y−1 z−2
【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果 = = ，且x+ y+z=18，则2x−y−z的
2 3 4
值为 ．
a c 2 a+2c
【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知 = = (b+2d≠0)，则 的值为
b d 5 b+2d．
5 3 2
【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知 = = ．
a b c
a+b
(1)求 的值；
c
(2)若a+b−2c=9，求2a−b+c的值．
a−1 b+1 c−2
【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足 = = ，试求a2+b2−c2的
2 3 4
最大值 ．
【题型6 由比例的性质进行证明】
【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
a a+b a−b
(1)如果 =3，求 与 的值；
b b a+b
a c a c
(2)如果 = (a≠b,c≠d)，求证 = ；
b d b−a d−c
a+c a a c
(3)如果 = ，求证 = ．
b+d b b d
1 1 1
【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知ax=by=cz，且 + + =1.求证：
x y z
.
a3x2+b3y2+c3z2=(a+b+c) 3
a a−nc
【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证： = ．
b b−nd
【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x
y+z z+x x+ y
，y，z满足 = = =k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了
x y z
三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
y+z z+x x+ y
解；设 = = =k，则有：
x y z
y+z=kx，z+x=ky，x+ y=kz，
将以上三个等式相加，得2(x+k+z)=k(x+ y+z).
∵ x，y，z都为正数，
y+z
∴ k=2，即 =2，.
x∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
x y z
（1）若正数x，y，z满足 = = =k，求k的值；
2y+z 2z+x 2x+ y
a+b b+c c+a
（2）已知 = = ，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
a−b 2(b−c) 3(c−a)
【题型7 由比例的性质比较大小】
x y z y x+z x+ y−z
【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若 = = ，设A= ，B= ，C= ，则A、
2 7 5 x+ y+z y x
B、C的大小顺序为（ ）
A．A>B>C B．A<B<C C．C>A>B D．A<C<B
b c ❑√5−1
【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果a，b，c满足 = = ，则a，b，c之间的关系是
a b 2
（ ）
A．a=b+c B．a>b+c C．a<b+c D．a2=b2+c2
a b c 1 a+c
【变式7-2】（2024九年级·北京西城·专题练习）已知 ＝ ＝ ≠0，设x＝ ，y＝ ，z＝
2 7 5 a+b+c b
a+b−c
，
a
试判断x，y，z的大小关系．
【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
a c b d a b
（1）若 =2， =2，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
b d a c c d
a c b d
（2）若 = ,请判断 和 的大小关系，并证明；
b d a+b c+d
a b 2a+c 3b+d
（3）令 = =t,若分式 − +2的值为3，求t的值.
c d a−c b−d
【题型8 比例的应用】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍OA所受的重力为G．根据杠杆原理，在A
处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为3:7，OD=6cm，则
CD的长为 ．【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长
为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为_______．
【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，
如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？
【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）国家会展中心(上海)坐落于虹桥商务区核心区
西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目
前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心(上海)距离虹桥机场的直线
距离为0.5厘米，而量得国家会展中心(上海)与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心(上海)
与浦东机场的实际直线距离有多少公里？(运用比例解答
知识点3：黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中
项（即 ），则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型9 由黄金分割求值】
【例9】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A
、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①∠A=36°
❑√5−1 3−❑√5 3−❑√5
，②PB= PE，③PA= AD，④PT= PA．
2 2 2请填写你认为正确的结论序号： ．
【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果CD=4
，那么AB的长度是（ ）
A．2❑√5−2 B．6−2❑√5 C．8+4❑√5 D．2+❑√5
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如
图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E
，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE=4，则AB= ．
【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段AB=2，经过点B作BD⊥AB，使
1
BD= AB，连接AD，在AD上截取DE=BD；在AB上截取AC=AE，则AC:AB= ．
2
【题型10 黄金分割的应用】
【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚❑√5−1 ❑√5−1
脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便
2 2
❑√5−1
是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个
2
黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【变式10-1】（2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就
需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖
直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为
❑√5−1
a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比 ；
2
（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾
的距离为2cm，则眼梢到鼻翼的距离为 cm．（❑√5≈2.236，结果保留两位小数）
【变式10-2】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）如图1在线段AC上找一个点B，B把AC分成AB和BC
两段，其中AB是较小的一段，满足AB：BC=BC：AC，则B为线段AC的黄金分割点．黄金分割广泛
存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B为AC的黄金分割点（
AB>BC)，AC长度为15cm，则AB的长度 cm；(结果用根号表示)【变式10-3】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径
和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP>BP），
若线段AB的长为10cm，则BP的长为 cm．（结果保留根号）
