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专题 27.1 比例线段【十大题型】
【人教版】
【题型1 由成比例线段直接求值】..........................................................................................................................1
【题型2 比例尺】......................................................................................................................................................3
【题型3 由比例的性质判断结论正误】..................................................................................................................5
【题型4 由比例的性质求参数的值】......................................................................................................................7
【题型5 由比例的性质求代数的值】....................................................................................................................10
【题型6 由比例的性质进行证明】........................................................................................................................12
【题型7 由比例的性质比较大小】........................................................................................................................15
【题型8 比例的应用】............................................................................................................................................17
【题型9 由黄金分割求值】....................................................................................................................................19
【题型10 黄金分割的应用】....................................................................................................................................24
知识点1：成比例线段
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 由成比例线段直接求值】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】A
【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答【详解】解：A．∵2×6=3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
B．∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C．∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
D．∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和
最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据4a=5b，可以组成的比例有（ ）
A．a:b=5:4 B．a:b=4:5 C．a:4=b:5 D．a:5=4:b
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解
答．
【详解】解：∵ 4a=5b，
∴ a:b=5:4，
故选：A．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知a:b=1:2，且a+2b=10．
(1)求a、b的值；
(2)若c是a、b的比例中项，，求c的值．
【答案】(1)a=2，b=4；
(2)c=±2❑√2．
【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．
（1）利用a:b=1:2，可设a=k，b=2k，则k+4k=10，然后解出k的值即可得到a、b的值；
（2）根据比例中项的定义得到c2=ab，即c2=8，然后根据平方根的定义求解；
【详解】（1）解：∵a:b=1:2，
∴设a=k，b=2k，
∵a+2b=10，
∴k+4k=10，
∴k=2，
∴a=2，b=4；
（2）∵c是a、b的比例中项，∴c2=ab=8，
∴c=±2❑√2．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线
段AC，AB，CD，BC是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说
明理由.
AB BC
【答案】线段AC，AB，CD，BC成比例，且 = ，理由见解析
AC CD
1 1
【分析】根据直角三角形的面积公式，得 AB⋅CD= AC⋅BC，整理变形即得答案.
2 2
AB BC AB AC
【详解】解：线段AC，AB，CD，BC成比例，且 = （或 = ）.
AC CD BC CD
验证如下：
1 1 AB BC
根据三角形的面积公式，得 AB⋅CD= AC⋅BC，所以AB⋅CD=AC⋅BC，即 = .
2 2 AC CD
a c
【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若 = ，则ad=bc，反之也成立，即
b d
a c
若ad=bc，则 = .解题的关键是由直角三角形的面积得出AB⋅CD=AC⋅BC.
b d
【题型2 比例尺】
【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春
晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行
的实际路程为2.2km，当地图上比例尺由1∶1000变为1∶500时，则地图上两个校区的路程增加了
cm．
【答案】220
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
图上距离
根据比例尺= 进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
实际距离
【详解】解：实际路程为2.2km=220000cm，220000
当比例尺为1:1000时，图示距离为 =220cm，
1000
220000
当比例尺为1:500时，图上距离为 =440cm，
500
∴440−220=220cm，
故答案为：220 ．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为120cm，该市城区南北
实际长为36km，则该规划图的比例尺是 ．
【答案】1:30000
【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．
【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是120cm:36km=120:3600000=1:30000．
故答案为：1:30000．
【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的
两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米
【答案】A
【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；
【详解】解：∵比例尺为1:50000，实际距离是3千米，
∴图上距离=300000×(1:50000)=6cm，
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m❑ 2，若按比例尺
1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积
【答案】C
【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面
积，即可得出答案．
【详解】设其缩小后的面积为xm❑ 2 ，
则x:667000=(1:2000) ❑ 2，
x=0.16675m❑ 2，
其面积相当于报纸的一个版面的面积.
故选C.【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.
知识点2：比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
【题型3 由比例的性质判断结论正误】
x 3
【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若 = ，则下列各式中不正确的是（ ）
y 4
x+ y 7 x−y 1 x+2y 11
A． = B． = C．4x=3 y D． =
y 4 y 4 x 3
【答案】B
【分析】设x=3k，y=4k．代入选项计算结果，即可得到答案．
【详解】解：设x=3k，y=4k，
x+ y 3k+4k 7
A． = = ，正确，故A选项不符合题意；
y 4k 4
x−y 3k−4k 1
B． = =− ，原式错误，故B选项符合题意；
y 4k 4
C．4x=4⋅3k=12k=3⋅4k=3 y，正确，故C选项不符合题意；x+2y 3k+2⋅4k 11
D． = = ，正确，故D选项不符合题意；
x 3k 3
故选：B．
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．
【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（ ）
a c a 4
A．若 = ，则 =
4 5 c 5
a−b 1 a 7
B．若 = ，则 =
b 6 b 6
a c 2 a−c 2
C．若 = = （b﹣d≠0），则 =
b d 3 b−d 3
a 3
D．若 = ，则a＝3，b＝4
b 4
【答案】D
【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A正确，利用先化积，再化比例可判定B，利用换元计算可
判断C，设比值，取k=1与k≠1，可判断D．
a c a 4
【详解】解：A、若 = ，则5a=4c，而 = ，5a=4c正确，不合题意；
4 5 c 5
a−b 1 a 7
B、若 = ，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则 = ，正确，不合题意；
b 6 b 6
2 2 2
a c 2 2 2 b− d (b−d)
C、若 = = （b﹣d≠0）a= b，c= d，则a−c 3 3 3 2，正确，不合题意；
b d 3 3 3 = = =
b−d b−d b−d 3
a 3
D、若 = ，设a=3k，b=4k，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，故此选项错
b 4
误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．
a c
【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若 = （a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是
b d
（ ）
a2 c2
A．ad=bc B． =
b2 d2ad c2 a+m c
C． = D． =
b2 ad b+m d
【答案】D
【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．
a c
【详解】A、∵ = ，两边同乘以bd得：ad=bc，故A正确，不合题意；
b d
a c a2 c2
B、∵ = ，两边平方得： = ，故B正确，不合题意；
b d b2 d2
a c a2 c2 d ad c2
C、∵ = ，两边平方得： = ，两边同乘以 得： = ，
b d b2 d2 a b2 ad
故C正确，不合题意；
a c a+m c
D根据 = 不能得出 = ，故D不正确，符合题意；
b d b+m d
故答案为：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断
是否相同即可．
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学
期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变
化，下列叙述何者正确？（ ）
舞蹈社 溜冰社 魔术社
上学期 3 4 5
下学期 4 3 2
A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【答案】D
a b c
【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的 ，乙占全部的 ，丙占全部的 ．
a+b+c a+b+c a+b+c
【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．
【题型4 由比例的性质求参数的值】
2a 2b 2c
【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0
2c
时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k= 计算得出结果．
a+b
【详解】解：分两种情况：
2a+2b+2c
①当a+b+c≠0时，得k= =1；
b+c+a+c+a+b
②当a+b+c=0时，
2c
则a+b=−c，k= =−2；
a+b
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
a+4 b+3 c+8
【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知a，b，c满足 = = 且a+b+c=12，
3 2 4
试求a，b，c的值．
【答案】a=5，b=3，c=4
a+4 b+3 c+8
【分析】本题主要考查了比例的性质，设 = = =k，得出a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8
3 2 4
，根据a+b+c=9k−15=12，求出k=3，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．
a+4 b+3 c+8
【详解】解：设 = = =k，
3 2 4则a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8，
∴a+b+c=9k−15=12，
解得：k=3，
∴a=5，b=3，c=4．
【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，
a b c
= = ．
3 4 5
(1)求线段a，b，c的长；
a x
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即 = ），求线段x的长．
x b
【答案】(1)a=9，b=12，c=15
(2)x=6❑√3
a b c
【分析】（1）设 = = =k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的
3 4 5
值，即可求出线段a，b，c的长；
9 x
（2）由题意可直接得出 = ，解出x的值（舍去负值）即可．
x 12
a b c
【详解】（1）由题意可设 = = =k，则a=3k，b=4k，c=5k，
3 4 5
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
解得：k=3，
∴a=9，b=12，c=15；
a x
（2）∵ = ，
x b
9 x
∴ = ，
x 12
整理，得：x2=108，
解得：x=6❑√3（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
a c e
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果 = = =k(b+d+f ≠0)，且a+c+e=3(b+d+f)，那
b d f么k的值是（ ）
1 1
A．2 B．3 C． D．
3 2
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得
a=bk,c=dk,e=fk，代入a+c+e=3(b+d+f)，即可求解．
a c e
【详解】解：∵ = = =k，
b d f
∴a=bk,c=dk,e=fk，
∵ a+c+e=3(b+d+f)．
∴bk+dk+fk=3(b+d+f)，
∴k=3，
故选：B．选D．
【题型5 由比例的性质求代数的值】
x+3 y−1 z−2
【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果 = = ，且x+ y+z=18，则2x−y−z的
2 3 4
值为 ．
【答案】−15
x+3 y−1 z−2
【分析】此题考查了比例的性质，设 = = =k，得出x=2k−3，y=3k+1，z=4k+2，再
2 3 4
根据x+ y+z=18，求出k的值，从而得出x，y，z的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
x+3 y−1 z−2
【详解】解：设 = = =k，
2 3 4
则x=2k−3，y=3k+1，z=4k+2，
∵x+ y+z=18，
∴2k−3+3k+1+4k+2=18，
∴k=2，
∴x=1，y=7，z=10，
∴2x−y−z=2−7−10=−15；
故答案为−15．
a c 2 a+2c
【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知 = = (b+2d≠0)，则 的值为
b d 5 b+2d
．2
【答案】 /0.4
5
2c 2 a
【分析】先求出 = = ，再根据比例的性质即可得．
2d 5 b
a c 2
【详解】解：∵ = = (b+2d≠0)，
b d 5
2c 2 a
∴ = = ，
2d 5 b
a+2c 2
∴ = ，
b+2d 5
2
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
5 3 2
【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知 = = ．
a b c
a+b
(1)求 的值；
c
(2)若a+b−2c=9，求2a−b+c的值．
【答案】(1)4
81
(2)
4
5 3 2
【分析】本题主要考查了比例的性质，通过 = = ，设出a=5k，b=3k，c=2k(k≠0)是解题的关
a b c
键．
a+b 5k+3k
（1）设a=5k，b=3k，c=2k(k≠0)，则 = ，据此可得答案；
c 2k
9
（2）设a=5k，b=3k，c=2k(k≠0)，由a+b−2c=9得到5k+3k−4k=9，解方程求出k= ，则
4
81
2a−b+c=10k−3k+2k=9k= ．
4
5 3 2
【详解】（1）解：∵ = = ，
a b c
∴可设a=5k，b=3k，c=2k(k≠0)a+b 5k+3k
∴ = =4；
c 2k
5 3 2
（2）∵ = = ，
a b c
∴可设a=5k，b=3k，c=2k(k≠0)，
∵a+b−2c=9
∴5k+3k−4k=9．
9
∴k= ，
4
81
∴2a−b+c=10k−3k+2k=9k= ．
4
a−1 b+1 c−2
【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足 = = ，试求a2+b2−c2的
2 3 4
最大值 ．
【答案】25
a−1 b+1 c−2
【分析】设 = = =k，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
2 3 4
a−1 b+1 c−2
【详解】解：设 = = =k，
2 3 4
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2−c2的最大值为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．
【题型6 由比例的性质进行证明】
【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
a a+b a−b
(1)如果 =3，求 与 的值；
b b a+ba c a c
(2)如果 = (a≠b,c≠d)，求证 = ；
b d b−a d−c
a+c a a c
(3)如果 = ，求证 = ．
b+d b b d
a+b a−b 1
【答案】(1) =4， =
b a+b 2
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：
a+b a a−b
（1）先根据已知条件得到 = +1=4，a=3b，再把a=3b代入 中进行求解即可；
b b a+b
a c a c
（2）设 = =k，则a=kb，c=kd，再分别计算出 和 的值即可证明结论；
b d b−a d−c
a c
（3）求出bc=ad，进而可得 = 。
b d
a
【详解】（1）解：∵ =3，
b
a+b a
∴ = +1=4，a=3b，
b b
a−b 3b−b 1
∴ = = ；
a+b 3b+b 2
a c
（2）证明：设 = =k，则a=kb，c=kd，
b d
a kb k c kd k
∴ = = ， = = ，
b−a b−kb 1−k d−c d−kd 1−k
a c
∴ = ；
b−a d−c
a+c a
（3）证明：∵ = ，
b+d b
∴ab+bc=ab+ad，
∴bc=ad，
a c
∴ = ．
b d
1 1 1
【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知ax=by=cz，且 + + =1.求证：
x y z.
a3x2+b3y2+c3z2=(a+b+c) 3
【答案】见解析
【分析】根据已知设ax=by=cz=k，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出
k k k
【详解】设ax=by=cz=k，从而a= ，b= ，c= ，
x y z
1 1 1
于是a+b+c=k（ + + ），
x y z
1 1 1
又因为 + + =1，所以a+b+c=k；
x y z
a3x2+b3y2+c3z2=k2(a+b+c)=(a+b+c) 3.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k
的值是解题的关键
a a−nc
【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证： = ．
b b−nd
【答案】见解析
【分析】由a:b=c:d得到ad=bc，则利用等式的基本性质得到adn=bcn，ab−adn=ab−bcn，则
a(b−nd)=b(a−nc)，利用比例的基本性质即可得到结论．
【详解】解：∵a:b=c:d，
∴ad=bc，
∴adn=bcn，
∴ab−adn=ab−bcn，
∴a(b−nd)=b(a−nc)，
a a−nc
∴ =
b b−nd
【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x
y+z z+x x+ y
，y，z满足 = = =k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了
x y z
三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
y+z z+x x+ y
解；设 = = =k，则有：
x y zy+z=kx，z+x=ky，x+ y=kz，
将以上三个等式相加，得2(x+k+z)=k(x+ y+z).
∵ x，y，z都为正数，
y+z
∴ k=2，即 =2，.
x
∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
x y z
（1）若正数x，y，z满足 = = =k，求k的值；
2y+z 2z+x 2x+ y
a+b b+c c+a
（2）已知 = = ，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
a−b 2(b−c) 3(c−a)
1
【答案】（1）k= ；（2）见解析．
3
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
x y z
【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足 = = =k，
2y+z 2z+x 2x+ y
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
1
∴k= ；
3
a+b b+c c+a
（2）证明：设 = = =k，
a−b 2(b−c) 3(c−a)
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
1
故答案为（1）k= ；（2）见解析．
3
【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【题型7 由比例的性质比较大小】
x y z y x+z x+ y−z
【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若 = = ，设A= ，B= ，C= ，则A、
2 7 5 x+ y+z y xB、C的大小顺序为（ ）
A．A>B>C B．AA>B D．Ab+c C．ay>x
a b c
【详解】设 = = =k（k≠0），
2 7 5
∴a=2k，b=7k，c=5k，b 7k 1
∴x= = = ，
a+b+c 14k 2
a+c 7k
y= = =1，
b 7k
a+b−c 4k
z= = =2，
a 2k
∴z>y>x.
【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
a c b d a b
（1）若 =2， =2，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
b d a c c d
a c b d
（2）若 = ,请判断 和 的大小关系，并证明；
b d a+b c+d
a b 2a+c 3b+d
（3）令 = =t,若分式 − +2的值为3，求t的值.
c d a−c b−d
b d 1
【答案】（1）=；=；（2） = ，理由见解析；（3）
a+b c+d 2
a c
【分析】（1）由 =2， =2，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；
b d
a c
（2）设 =t，则 =t，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；
b d
（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
a c
【详解】（1）∵ =2， =2，
b d
∴a=2b，c=2d，
b d 1 b 2a a
∴ = = ， = = .
a c 2 d 2c c
故答案为：=；
b d
（2） = .理由如下：
a+b c+d
a c
设 =t，则 =t，
b d
∴a=bt，c=dt，
b b 1
∴ = = ，
a+b bt+b t+1
d d 1
= = ，
c+d dt+d t+1b d
∴ = ；
a+b c+d
a b
（3）∵ = =t，
c d
∴a=ct，b=dt.
2a+c 3b+d
∵ − +2=3，
a−c b−d
2t+1 3t+1
∴ − =1.
t−1 t−1
1
解得：t= .
2
1
经检验：t= 是原方程的解.
2
【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.
【题型8 比例的应用】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍OA所受的重力为G．根据杠杆原理，在A
处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为3:7，OD=6cm，则
CD的长为 ．
【答案】8cm
OD F 3
【分析】根据杠杆平衡原理可得G×OD=F×OC，则 = = ，求得OC，即可得到CD的长．
OC G 7
【详解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，
根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC，
OD F 3
∴ = = ，
OC G 7
7 7
解得OC= OD= ×6=14 (cm)，
3 3
∴CD=OC−OD=8(cm)，故答案为：8cm
【点睛】本题考查了比例的基本性质、杠杆平衡原理，正确列式和计算是解题的关键．
【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长
为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为_______．
【答案】16米
【解析】【分析】
本题考查的是比例线段的应用有关知识，本根据同一时刻物高与影长成比例可得，同学身高∶同学影长=
综合楼高∶综合楼影长．
【解答】
解：设综合楼高为x米，
1.6 x
即 =
0.6 6
解得x=16．
答：综合楼高为16米．
【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，
如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？
【答案】解：设改用边长4分米的方砖，需要x块，
4×4×x=5×5×80
16x=2000
x=125．
答：改用边长4分米的方砖，需要125块．
【解析】此时考查比例性质，此题的关键是明白房子的地面面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比．
房子的地面面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比，据此可列比例解答即可．
【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）国家会展中心(上海)坐落于虹桥商务区核心区
西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目
前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心(上海)距离虹桥机场的直线
距离为0.5厘米，而量得国家会展中心(上海)与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心(上海)
与浦东机场的实际直线距离有多少公里？(运用比例解答
【答案】解：设国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有：
2.5：0.5=x：9.7，
解得x=48.5．答：国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有48.5公里．
【解析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心(上海)与浦东机场的
实际直线距离有多少公里．
图上距离
此题主要考查了比例线段，掌握比例尺= 是本题的关键，注意单位的统一．
实际距离
知识点3：黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中
项（即 ），则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型9 由黄金分割求值】
【例9】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A
、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①∠A=36°
❑√5−1 3−❑√5 3−❑√5
，②PB= PE，③PA= AD，④PT= PA．
2 2 2
请填写你认为正确的结论序号： ．
【答案】①②③
【分析】先讨论顶角为36°和108°的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为
36°和108°的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄
金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键．
【详解】解：如图1，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36° ∠C=∠BDC=72°
， ，
∴△ABC和△BCD为相似的等腰三角形，
设AC=1，AD=BD=BC=x，
∴CD=1−x，
1−x x
由相似得： = ，
x 1
❑√5−1
∴x= （负值舍去），
2
∴点D是线段AC的黄金分割点，
CD AD ❑√5−1 CD 3−❑√5
即： = = ， = ，
AD AC 2 AD 2
∵BC=AD，
BC ❑√5−1
∴ = ；
AC 2
如图2，△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠C=36° ∠CAD=∠CDA=72°
， ，
∴△ABD和△ABC为相似的等腰三角形，
设BC=1，CD=AC=AB=x，则BD=AD=1−x，
1−x x
由相似得： = ，
x 1
❑√5−1
∴x= （负值舍去），
2∴点D是线段BC的黄金分割点，
BD CD ❑√5−1 BD 3−❑√5
即： = = ， = ，
CD BC 2 BC 2
∵CD=AB，
AB ❑√5−1
∴ = ；
BC 2
如图，连接AB、BC、CD、DE、AE，
∴ ABCDE ∠ABC=∠BAE=∠AED=108°
五边形 为正五边形， ，
∵AB=BC=AE=DE，
∴∠BAC=∠EAD=36°，
∴∠CAD=36°，故①正确；
易证：∠ABP=∠BAP=36°，∠EAP=∠EPA=72°，
∴△ABP和△ABE为相似的等腰三角形，
PB ❑√5−1
由图2得： = ，
PE 2
❑√5−1
∴PB= PE，故②正确；
2
由题得△AET和△AED为相似的等腰三角形，
AT 3−❑√5
由图2得： = ，
AD 2
3−❑√5
∴AT= AD，
2
∵PA=AT，
3−❑√5
∴AP= AD，故③正确；
2
在△APT中，∠PAT=36°，AT=AT，PT ❑√5−1
由图1得： = ，
PA 2
❑√5−1
即：PT= PA，故④错误，
2
故答案为：①②③．
【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果CD=4
，那么AB的长度是（ ）
A．2❑√5−2 B．6−2❑√5 C．8+4❑√5 D．2+❑√5
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到
❑√5−1 ❑√5−1
AD= AB，BC= AB，再由CD=4，AD+BC−CD=AB列出方程求解即可．
2 2
【详解】解：∵点C，D都是线段AB的黄金分割点，
∴不妨设点C靠近A，点D靠近B，
❑√5−1 ❑√5−1
∴AD= AB，BC= AB，
2 2
∵CD=4，AD+BC−CD=AB，
❑√5−1 ❑√5−1
∴ AB+ AB−4=AB，
2 2
解得AB=8+4❑√5，
故选：C．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如
图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E
，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE=4，则AB= ．
【答案】2+2❑√5/2❑√5+2
【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设AB=x，根据正方形的性质可得AB=BC=x，则
AB ❑√5−1 x ❑√5−1
BE=x+4，然后根据黄金矩形的定义可得 = ，从而可得 = ，最后进行计算即可解
BE 2 x+4 2
答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设AB=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=x，
∵CE=4，
∴BE=BC+CE=x+4，
∵四边形ABEF是黄金矩形，
AB ❑√5−1
∴ = ，
BE 2
x ❑√5−1
∴ = ，
x+4 2
解得：x=2❑√5+2，
经检验：x=2❑√5+2是原方程的解，
∴AB=2❑√5+2，
故答案为：2❑√5+2．
【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段AB=2，经过点B作BD⊥AB，使
1
BD= AB，连接AD，在AD上截取DE=BD；在AB上截取AC=AE，则AC:AB= ．
2
❑√5−1
【答案】
2
【分析】先求得BD=1，再根据所给作图步骤，分别求出出AC和AB即可解决问题．本题主要考查了黄金
分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．
1
【详解】解：∵BD= AB，AB=2，
2
∴BD=1，在Rt△ABD中，
AD=❑√12+22=❑√5．
因为DE=DB=1，
所以AE=AD−DE=❑√5−1，
所以AC=AE=❑√5−1，
❑√5−1
所以AC:AB= ．
2
❑√5−1
故答案为：
2
【题型10 黄金分割的应用】
【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚
❑√5−1 ❑√5−1
脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便
2 2
❑√5−1
是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个
2
黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【答案】B
【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得
m−105 ❑√5−1 26+n ❑√5−1
> ≈0.618，解得m>169.890，根据 = ≈0.618得到m<178.218，由此
105 2 m−(n+26) 2
得到答案.
【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得
m−105 ❑√5−1
> ≈0.618，解得m>169.890.
105 2
由头顶至脖子下端的长度为26cm，26 ❑√5−1
可得 > ≈0.618，
n 2
解得n<42.071.
26+n ❑√5−1
由已知可得 = ≈0.618，
m−(n+26) 2
解得m<178.218.
综上，此人身高m满足169.890BC)，AC长度为15cm，则AB的长度 cm；(结果用根号表示)
15❑√5−15
【答案】
2
【分析】设AB的长度为xcm，根据黄金分割的意义列出比例式，整理出关于x的一元二次方程，解方程可
得答案．
【详解】解：设AB的长度为xcm，
∵AC长度为15cm，
∴BC=15−AB=15−x，又∵图2中点B为AC的黄金分割点（AB>BC)，
BC AB 15−x x
∴ = ，即 = ，
AB AC x 15
整理得：x2+15x−225=0，
15❑√5−15 −15❑√5−15
解得：x = ，x = （舍去），
1 2 2 2
15❑√5−15
即AB的长度为 cm．
2
15❑√5−15
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，正确理解黄金分割的意义是解题的关键．
【变式10-3】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径
和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP>BP），
若线段AB的长为10cm，则BP的长为 cm．（结果保留根号）
【答案】15−5❑√5
【分析】根据黄金分割的定义，得PA2=BP⋅AB，构建方程计算求解．
【详解】解：根据题意，PA2=BP⋅AB；
∴(10−BP) 2=10BP
BP2−30BP+100=0
1
∴BP= (30±❑√900−400)=15±5❑√5
2
∵ BP=15+5❑√5>10,故舍去；
∴BP=15−5❑√5,
故答案为：15−5❑√5【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．
