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专题 21.7 配方法的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用配方法求字母的值】..........................................................................................................................1
【题型2 利用配方法求代数式的值】......................................................................................................................2
【题型3 利用配方法比较大小】..............................................................................................................................3
【题型4 利用配方法进行证明】..............................................................................................................................4
【题型5 利用配方法求最值】..................................................................................................................................5
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】.....................................................................................................5
【题型7 利用配方法确定三角形形状】..................................................................................................................5
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】.........................................................................................................6
知识点：配方法
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 利用配方法求字母的值】
【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2−2x+3配方成
，发现当 取任意一对互为相反数的数时，多项式 的值是相等的．例如：当
(x−1) 2+2 x−1 x2−2x+3
x−1=±2时，即x=3或−1时，x2−2x+3的值均为6；当x−1=±3时，即x=4或−2时，x2−2x+3的值
均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相
等，就称该多项式关于x=t对偶，例如x2−2x+3关于x=1对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式x2−8x+10关于 对偶；
(2)当x=m或9−m时，关于x的多项式x2+2bx+c的值相等，求b的值；
(3)若整式 关于 对偶，求n的值．
(x2+8x+16)(x2−4x+4) x=n
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0可以通过配方写成
的形式，那么下列关于 的值正确的是（ ）
(x−n) 2=0 m,n
A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100,n=10 D．m=20,n=−5
1
【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣ x2+3x+m的值都为负
2
数，则常数m的取值范围是（ ）
9 9
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
2 2
【题型2 利用配方法求代数式的值】
【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于x的多项式ax2−2bx+c(a≠0)，当x=a时，该多项式的
值为c−a，则多项式a2+b2+3的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为
．
【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将
代数式配成完全平方式．例如：
，
x2−8x+17=x2−8x+16+1=(x−4) 2+1
∵
(x−4) 2≥0
∴
(x−4) 2+1≥1
∴x2−8x+17≥1
试利用“配方法”解决下列问题：
{4a2+6a+1=b+c
)
(1)如果
4b2+6b+1=c+a ,
，那么
a+b+c
的值为 ．
4c2+6c+1=a+b
(2)已知x2+8x+ y2+2y+17=0，求x+ y的值；
【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+9=0，
我们可以求出m，n的值．
解法是：∵ ，∴ ，
m2−2mn+2n2−6n+9=0 (m2−2mn+n2)+(n2−6n+9)=0
即 ，∴ ， ，∴ ．
(m−n) 2+(n−3) 2=0 m−n=0 n−3=0 m=n=3
根据这样的解法，完成：
(1)若x2+ y2+8x−2y+17=0，求x+3 y的值；
(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11<3a+ab+6c，求a+b+c的值．
【题型3 利用配方法比较大小】
【例3】（23-24·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 m2+4的大小， 填“>” “<”或“=”：
①当m=3时， 4m m2+4；
②当m=2时， 4m m2+4；
③当m=−3时， 4m m2+4；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系?试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．x2+2与2x2+4x+6的大小．
11 15
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期中）已知P＝ m−2，Q＝m2− m（m为任意实数），则P、
13 13
Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法判断
【变式3-2】（23-24·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则
a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 a+b≥2❑√ab
当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
1
(1)当x>0时，则x+ 的最小值为______；
x
x2+7x+11
(2)）若y= (x>−2)，求y的最小值．
x+2
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形
ABCD面积的最小值．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）配方
(1)若 ，则 _____， _____
x2−6x+7=(x+m) 2+n≥n m= n=
(2)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速
度移动，动点Q从点B开始沿边BC以4cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时
停止运动．设动点运动时间为t(0
