文档文本内容
专题 21.7 配方法的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用配方法求字母的值】..........................................................................................................................1
【题型2 利用配方法求代数式的值】......................................................................................................................2
【题型3 利用配方法比较大小】..............................................................................................................................3
【题型4 利用配方法进行证明】..............................................................................................................................4
【题型5 利用配方法求最值】..................................................................................................................................5
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】.....................................................................................................5
【题型7 利用配方法确定三角形形状】..................................................................................................................5
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】.........................................................................................................6
知识点：配方法
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 利用配方法求字母的值】
【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2−2x+3配方成
，发现当 取任意一对互为相反数的数时，多项式 的值是相等的．例如：当
(x−1) 2+2 x−1 x2−2x+3
x−1=±2时，即x=3或−1时，x2−2x+3的值均为6；当x−1=±3时，即x=4或−2时，x2−2x+3的值
均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相
等，就称该多项式关于x=t对偶，例如x2−2x+3关于x=1对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式x2−8x+10关于 对偶；
(2)当x=m或9−m时，关于x的多项式x2+2bx+c的值相等，求b的值；
(3)若整式 关于 对偶，求n的值．
(x2+8x+16)(x2−4x+4) x=n
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0可以通过配方写成
的形式，那么下列关于 的值正确的是（ ）
(x−n) 2=0 m,n
A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100,n=10 D．m=20,n=−5
1
【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣ x2+3x+m的值都为负
2
数，则常数m的取值范围是（ ）
9 9
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
2 2
【题型2 利用配方法求代数式的值】
【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于x的多项式ax2−2bx+c(a≠0)，当x=a时，该多项式的
值为c−a，则多项式a2+b2+3的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为
．
【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将
代数式配成完全平方式．例如：
，
x2−8x+17=x2−8x+16+1=(x−4) 2+1
∵
(x−4) 2≥0
∴
(x−4) 2+1≥1
∴x2−8x+17≥1
试利用“配方法”解决下列问题：
{4a2+6a+1=b+c
)
(1)如果
4b2+6b+1=c+a ,
，那么
a+b+c
的值为 ．
4c2+6c+1=a+b
(2)已知x2+8x+ y2+2y+17=0，求x+ y的值；
【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+9=0，
我们可以求出m，n的值．
解法是：∵ ，∴ ，
m2−2mn+2n2−6n+9=0 (m2−2mn+n2)+(n2−6n+9)=0
即 ，∴ ， ，∴ ．
(m−n) 2+(n−3) 2=0 m−n=0 n−3=0 m=n=3
根据这样的解法，完成：
(1)若x2+ y2+8x−2y+17=0，求x+3 y的值；
(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11<3a+ab+6c，求a+b+c的值．
【题型3 利用配方法比较大小】
【例3】（23-24·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 m2+4的大小， 填“>” “<”或“=”：
①当m=3时， 4m m2+4；
②当m=2时， 4m m2+4；
③当m=−3时， 4m m2+4；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系?试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．x2+2与2x2+4x+6的大小．
11 15
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期中）已知P＝ m−2，Q＝m2− m（m为任意实数），则P、
13 13
Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法判断
【变式3-2】（23-24·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则
a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b
【变式3-3】（23-24九年级·全国·专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
a2+2a−4=a2+2a+1−1−4=(a+1) 2−5
∵ ，
(a+1) 2≥0
∴ ，
a2+2a−4=(a+1) 2−5≥−5因此，代数式a2+2a−4有最小值−5
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式a2−2a+2的最小值为 ；
(2)试比较a2+b2+11与6a−2b的大小关系，并说明理由；
(3)已知：a−b=2，ab+c2−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【题型4 利用配方法进行证明】
【例4】（23-24九年级·四川宜宾·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其
他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．
解： ；
x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1) 2+2
∵无论 取何实数，都有 ，∴ ，即 的最小值为2．
x （x+1) 2≥0 （x+1) 2+2≥2 x2+2x+3
请利用上述知识解决以下问题：
(1)求代数式2x2+4x+10的最小值．
(2)证明：无论 取何实数，二次根式 都有意义．
x ❑√x2+x+2
【变式4-1】（23-24九年级·浙江·专题练习）用配方法说明，无论x取何值，代数式−2x2+8x−12的值总
小于0．
【变式4-2】（23-24·湖南·模拟预测）已知整式A=4x2+4x−24．
(1)将整式A分解因式；
(2)求证：若x取整数，则A能被4整除．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将
一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式
的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2−2x+3进行配方．
解： ．
x2−2x+3=x2−2x+1+2=(x2−2x+1)+2=(x−1) 2+2
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅
美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为 .再如， （ ， 是整
5=22+12 M=x2+2xy+2y2=(x+ y) 2+ y2 x y
数），所以M也是“雅美数”．(1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______．
(2)若二次三项式 （ 是整数）是“雅美数”，可配方成 （ ， 为常数），则 的
x2−6x+13 x (x−m) 2+n m n mn
值为______；
3
(3)[问题探究]已知S=x2+4 y2+8x−12y+k（x，y是整数，k是常数且x≠−4，y≠ ），要使S为“雅
2
美数”，试求出符合条件的k值．
(4)[问题拓展]已知实数M，N是“雅美数”，求证：M⋅N是“雅美数”．
【题型5 利用配方法求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江宁波·期中）新定义：关于 的一元二次方程 与
x a (x−c) 2+k=0
1
称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”，
a (x−c) 2+k=0 5(x−6) 2+7=0 6(x−6) 2+7=0
2
现有关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式
x (m+2)x2+(n−4)x+8=0 2(x−1) 2+1=0
的mx2+nx+2029最小值是 ．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知实数x，y满足2x+ y=4，则代数式
xy−2x+2y−4的最大值为 ．
【变式5-2】（23-24·河北石家庄·一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是
（ ）
A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
【变式5-3】（23-24九年级·湖北黄冈·自主招生）设实数x，y，z满足x+ y+z=1，则M=xy+2yz+3zx
的最大值为 ．
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例6】（23-24九年级·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：x2+6x−5= ．
【变式6-1】（23-24九年级·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解：2x2−6x+1= ．
【变式6-2】（23-24九年级·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：2x2−4xy−5 y2
1
【变式6-3】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解：2x2− xy−y2
2【题型7 利用配方法确定三角形形状】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的
ax2+bx+c(a≠0)
过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方： ；②选取二次项和常数项配方：
x2−4x+2=(x−2) 2−2
或 ；③选取一次项和常数项配方：
x2−4x+2=(x−❑√2) 2+(2❑√2−4)x x2−4x+2=(x+❑√2) 2 −(4+2❑√2)x
．
x2−4x+2=(❑√2x−❑√2) 2 −x2
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方．
（2）已知x2+ y2+xy−3 y+3=0，求xy的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足 ，试判断a、b、c能否围成三角形，
14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2
并说明理由．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏·单元测试）已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2−4b=7，
b2−4c=−6， c2−6a=−18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【变式7-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知a，b，c是 ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－
8b＋❑√c−5＋25＝0，则 ABC是 三角形；若a△，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则
ABC是 三角形△．
△【变式7-3】（23-24九年级·全国·单元测试）先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2 −6n+9=0，
求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2 −6n+9=0，
∴(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴n=3，m=−3．
(1)若x2+2y2 −2xy+4 y+4=0，求xy的值；
(2)已知ΔABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2 −6a−6b+18+|3− c|=0，请问ΔABC是怎
样形状的三角形？
(3)根据以上的方法是说明代数式：x2+4x+ y2 −8y+21的值一定是一个正数．【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】
【例8】（23-24九年级·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公
式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅
a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 a+b≥2❑√ab
当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
1
(1)当x>0时，则x+ 的最小值为______；
x
x2+7x+11
(2)）若y= (x>−2)，求y的最小值．
x+2
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形
ABCD面积的最小值．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）配方
(1)若 ，则 _____， _____
x2−6x+7=(x+m) 2+n≥n m= n=
(2)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速
度移动，动点Q从点B开始沿边BC以4cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时
停止运动．设动点运动时间为t(0<t≤6)，当t为何值时，△PBQ的面积最大?求该最大值．
(3)式子 的最大值为_____
3−❑√x2+4x+7
【变式8-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其
余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB=x米．(1)请用含x的代数式表示BC的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最
值等．如：求代数式的最值： ，在 时，取最小值1
x2+2x+2=(x+1) 2+1 x=−1
（1）求代数式x2−4x的最小值．
（2）−2x2−4x+5有最大还最小值，求出其最值．
1
（3）求x2+
的最小值．
x2
（4）a2+b2+ab−6b+14的最小值．
（5）三角和三角形的面积分别为4和9，求四边形的面积最小值．
