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专题 20.1 数据的分析【十大题型】
【人教版】
【题型1 求一组数据的平均数】..............................................................................................................................1
【题型2 根据平均数求参数的值】..........................................................................................................................2
【题型3 求一组数据的中位数、众数】..................................................................................................................3
【题型4 根据中位数、众数求参数的值】..............................................................................................................3
【题型5 根据中位数、众数解决实际问题】.........................................................................................................4
【题型6 根据方差求值】..........................................................................................................................................5
【题型7 根据方差判断稳定性】..............................................................................................................................5
【题型8 四种统计量的选择】..................................................................................................................................7
【题型9 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】.....................................................................................8
【题型10 统计量的综合应用】..................................................................................................................................8
【知识点1 平均数】
算术平均数：
x k +x k +⋯+x k
x= 1 1 2 2 n n
k +k +⋯+k x x x k k k
加权平均数： 1 2 n （ 1、 2… n的权分别是 1、 2… n）
x=x'+a
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： 。
x' =x −a x' =x −a x' =x −a
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， 1 1 ， 2 2 ，…， n n
1
x'= (x' +x' +⋯+x' )
n 1 2 n x ,x ,⋯,x , x' ,x' ,⋯,x' ,
。 是新数据的平均数（通常把 1 2 n 叫做原数据， 1 2 n 叫做
新数据）。
【题型1 求一组数据的平均数】
【例1】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）某校组织学生进行绘画比赛，对参赛作品按A，B，C，D四个等级进行评定，四个等级的分数分别为A级5分，B级4分，C级2分，D级1分．现随机抽取部分学
生绘画作品的评定结果进行分析，并根据各等级的人数绘制了如图所示的条形图和不完整的扇形图，条形
图不小心被撕掉了一块，则被调查学生的平均分数为（ ）
A．3分 B．3.1分 C．3.2分 D．3.3分
【变式1-1】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，
结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为 ．
【变式1-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）在2，4，6，8中再添加一个数，使得添加前、后两
组数据的平均数相同，则添加的数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-3】（2023秋·贵州贵阳·八年级统考期末）某学校规定，学生的学期学业成绩由三部分组成：平时
成绩占10%，期中成绩占30%，期末成绩占60%，李明的平时、期中、期末成绩分别为90分，90分，80
分，则李明本学期的学业成绩为（ ）
A．90分 B．88分 C．86分 D．84分
【题型2 根据平均数求参数的值】
【例2】（2023春·湖北宜昌·八年级统考期末）国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月全国
居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在全国居民消费价格指数构成
中，城市的权重为 ．（百分比）
【变式2-1】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）若n个数的平均数是2n，则这n个数的总和为
．
【变式2-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，x，3，5的平均数是x−1，则这
组数据的平均数为 ．
【变式2-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）已知A组的数据2，3，0，x，y的平均数为0，B组数
据1，2，−y，2x，0的平均数为1，现将A、B两组数据合成一组数据C，求C组数据的平均数和方差．
【知识点2 众数与中位数】
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位
置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
【题型3 求一组数据的中位数、众数】
【例3】（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）某小组6名同学积极参加班级组织的为灾区捐款活
动，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，30，50，50，40，70．这组数据的中位数和众数分别是
（ ）
A．40，50 B．45，50 C．50，50 D．50，70
【变式3-1】（2023春·云南红河·八年级统考期末）某市五月连续10天的最高气温统计如下：
气温 27°C 28°C 29°C 30°C 31°C
天数 2 2 4 1 1
则最高气温的中位数和众数分别是（ ）．
A．28°C，29°C B．29°C，28°C C．28.5°C，28°C D．29°C，29°C
【变式3-2】（2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图
（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（ ）
组
A B C D E F 平均成绩 众数 中位数
员
得 8
77 81 ■ 80 79 80 ■ ■
分 2
A．81，81 B．80，81 C．81，80.5 D．80，81.5
【变式3-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
若将这两组数据合并为一组数据，那么构成的这组数据的众数和中位数是（ ）
A．6，8 B．8，6 C．6，6 D．8，7
【题型4 根据中位数、众数求参数的值】
【例4】（2023春·河北衡水·八年级校考期中）七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，
4，3（单位：本），小明该月阅读了x本课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x
可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）五名同学进行投篮练习，规定每人投20次，统计他们
每人投中的次数，得到5个数据，若这5个数据的中位数是6，唯一众数是7.设另外两个数据分别是a，b，
则a+b的值不可能是（ ）
A．1 B．5 C．9 D．10【变式4-2】（2023秋·广东深圳·八年级校考期中）有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c，已知这个
样本的众数为4，则这组数据的中位数为 ．
【变式4-3】（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）当五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的
唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（ ）
A．39 B．40 C．41 D．42
【题型5 根据中位数、众数解决实际问题】
【例5】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中
的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的
百分率可能是（ ）
A．40% B．56% C．60% D．62%
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有38人，
且众数为50分，中位数为60分，则x2−y之值为 ．
成绩
20 30 40 50 60 70 80 90
（分）
次数
2 3 5 x 6 y 3 4
（人）
【变式5-2】（2023春·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考期末）小明统计了某校八年级（3）班五位
同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，
第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每
周课外阅读时间是（ ）
A．5小时 B．8小时 C．5或8小时 D．5或8或10小时
【变式5-3】（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）为了弘扬中华民族传统文化，八年级（1）
班12月份开展诵读经典名著活动．全班27名学生该月阅读经典名著数量的条形统计图如图所示，但被撕
了一块儿．已知该月阅读经典名著数量的中位数是4本，则下列哪一选项中的人数是无法确定的？（ ）
A．3本以下 B．4本以下 C．5本以下 D．6本以下【知识点3 方差】
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +…+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
【题型6 根据方差求值】
【例6】（2023春·河北沧州·八年级统考期末）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据
25，26，27，28，29的方差相等，则x的值为( )
A．1 B．6 C．1或6 D．5或6
【变式6-1】（2023秋·河北张家口·八年级张家口市实验中学校考期末）在对一组样本数据进行分析时，小
(2−x) 2+(3−x) 2+(3−x) 2+(4−x) 2
华列出了方差的计算公式s2= ，由公式提供的信息，则下列说法错误
n
的是（ ）
A．样本的容量是4B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是
6，则a= ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
【变式6-3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电
的充电时长数据如下表：
已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝ ．
【题型7 根据方差判断稳定性】
【例7】（2023春·浙江衢州·八年级统考期末）如图是我市某天早上和晚上各四个整点时的气温折线统计
图．请根据统计图判断该天早上和晚上的气温更稳定的是 ．（填“早上”“晚上”）【变式7-1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图是甲，乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的
折线统计图．根据统计图可知甲，乙平均成绩均为 环，则甲，乙的 次射击成绩的方差 ， 的大
8.5 10 S2 S2
甲 乙
小关系是 ．
【变式7-2】（2023春·北京·八年级统考期末）2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：
根据统计图提供的信息，有下列三个结论：①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；
②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为 ，中旬
s2
1(11日至20日)的最高气温的方差为 ，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为 ，则 ．其中
s2 s2 s2<s2<s2
2 3 2 3 1
所有正确结论的序号是 ．
【变式7-3】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内
合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各
选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol⋅m−2 ⋅s−1），结果统计如下：
品 第三 第五
第一株 第二株 第四株 平均数
种 株 株
甲 35 30 23 17 20 25
乙 27 25 26 24 23 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【题型8 四种统计量的选择】
【例8】（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）为庆祝神舟十六号发射成功，学校开展航天知识竞赛活
动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，
四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示，若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应
该选（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式8-1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）奥林匹克官方旗舰店最近一段时间各款“冰墩墩”销售
记录如下表，厂家决定多生产20cm高的“冰墩墩”，依据的统计量是（ ）
“冰墩墩”高度 2
15 22 25
（cm） 0
8
销量（个） 56 67 68
7
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【变式8-2】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）某校欲招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四位候选人进
行了面试和笔试，他们的成绩如下表：
候选人 甲 乙 丙 丁面 9
86 90 83
试 2
测试成绩（百分制）
笔 8
90 83 92
试 3
根据面试成绩和笔试成绩分别赋予6和4的权后的平均成绩进行录用，学校将录用（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式8-3】（2023春·山东德州·八年级统考期末）在庆祝中国共产党成立一百周年的校园歌唱比赛中，7
名同学的成绩各不相同．按照成绩取前3名进入决赛，如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入
决赛，小明需要知道这7名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【题型9 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】
【例9】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）已知数据x ,x ,x ,x ,x 的平均数是2，方差是3，则
1 2 3 4 5
2x +1，2x +1，2x +1，2x +1，2x +1的平均数和方差分别是 ， ．
1 2 3 4 5
【变式9-1】（2023秋·山东烟台·八年级统考期中）将一组数据中的每一数减去40后，所得新的一组数据
的平均数是2，则原来那组数据的平均数 ．
【变式9-2】（2023春·广西玉林·八年级统考期末）已知：x，x，x...x 的平均数是a,x ，x ，x ...x 的平
1 2 3 10 11 12 13 50
均数是b,则x，x，x...x 的平均数是（ ）
1 2 3 50
a+b 10a+50b 10a+40b
A．a＋b B． C． D．
2 60 50
【变式9-3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知数据x ，x ，⋯，x 的平均数为m，方差为s2，
1 2 n
则数据kx +b，kx +b，⋯，kx +b的平均数为 ，方差为 ，标准差为
1 2 n
．
【题型10 统计量的综合应用】
【例10】（2023秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十
大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七．八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进
行整理．描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x<85；B.85≤x<90；C.90≤x<95；D.95≤x<100．
八年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差八年级 92 b c 52
八年级 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定．
(2)直接写出图表中a，b，c的值：a= ，b= ，c= •
(3)该校八年级共180人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人
数是多少？
【变式10-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同
学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出
了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越
高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是哪一位？
(3)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对谁的评价更一致？
【变式10-2】（2023秋·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）某学校在八年级开设了文明礼仪校
本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试．整理测试成绩，得到如下频数分布
表和频数分布直方图：
成绩（分） 频数 频率
A组：
6 0.15
75<x≤80
B组：
a 0.2
80<x≤85
C组：
16 0.4
85<x≤90
D组：
6 0.15
90<x≤95
E组：
4 b
95<x≤100
5%
其中最低分为76分，满分率为 ，C组成绩为89，89，86，88，
89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87，回答下列问题：
(1)学校共抽取了__________名同学进行测试，他们的成绩众数为__________；
(2)其中频数分布表中a=__________，b=__________，并补全频数分布直方图；
(3)若成绩大于85分为优秀，估计该校八年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级校考期中）西安高新一中初中校区八年级有2000名学生，在体育
中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关
信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；
（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计我校八年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
