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专题 17.1 勾股定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 由勾股定理求线段长度】..........................................................................................................................1
【题型2 由勾股定理求面积】..................................................................................................................................2
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】.................................................................................................3
【题型4 勾股定理的证明方法】..............................................................................................................................4
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】..............................................................................................................6
【题型6 以弦图为背景的计算】..............................................................................................................................7
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】.........................................................................................................8
【题型8 勾股树】....................................................................................................................................................10
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】........................................................................................................11
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】...............................................................................................12
知识点1：勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
如果直角三角形的两条直角
直角三角形两直角
边的和等于的平方 边长分别为 ，斜边长为
，那么
【题型1 由勾股定理求线段长度】
【例1】（23-24·山东淄博·八年级期末）如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点P
的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
3❑√5 4
A． B．2❑√5 C． ❑√10 D．3❑√2
2 3【变式1-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=20，BC=12．
(1)直接写出AB的长度______．
(2)设点P在AB上，若∠PAC=∠PCA．求AP的长；
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建
在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数
学图形，即：如图2，OA=OB，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则
绳索OA的长度为（ ）
A．80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD是△ABC的中线，AB=15，AD=7，AC=13，
则CD的长度为 ．
【题型2 由勾股定理求面积】
【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，△PAB中AB边上
的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且
△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2【变式2-1】（23-24八年级·天津·专题练习）在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=13，AB=5，则△ABC
的面积为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期中）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，若a+b=12cm，
c=10cm，则Rt△ABC面积为（ ）
A．11cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．36cm2
【变式2-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作
正方形，面积分别记为S 、S 、S ．如果S +S −S =24，则阴影部分的面积为 ．
1 2 3 1 2 3
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则
2AB2+AC2+BC2=（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为
D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．5
【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=
2
，CE=CD=3，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，则AE2+AD2的值为 ．
【题型4 勾股定理的证明方法】
【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB=DE，AB
，DE交于点F，且AB⊥DE．
(1)判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理．
【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边
上，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：△EBF≌△HAE；
(2)四边形EFGH的形状是 ；
(3)若AH=a，AE=b，EH=c，请借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2=c2．
【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（JamesAbramGarfield）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，
AC=DF=b（a<b），AB=DE=c）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在AC
边上，连接BD，CD）
解：用两种方法计算四边形ABCD的面积，
方法1：四边形ABCD的面积=S +S =_______，
△ABD △BCD
方法2：四边形ABCD的面积=S +S =_______，
△ABC △ACD
因为这两种方法都表示四边形ABCD的面积，可得等式：_______．
化简可得：a2+b2=c2．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图
形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）阅读材料，解决问题．
材料一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的的一半．如图1，四边形GHKT中，若
1
GK⊥HT，则有S = HT⋅GK．
CHKJ 2
材料二：教材中介绍了可以通过“拼图”的方法证明勾股定理；通过下面的方法，也可以证明勾股定理．
已知Rt△ABC≌ Rt△≝¿，将它们按如图2所示那样摆放，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB
与斜边ED交于点M，连接AD，BD．
结合材料给出的信息解决下面问题：
(1)求证：AB⊥ED；(2)若BC=a，AC=b，请用含有a或b的代数式分别表示图2中△ACD和△BCD的面积；
(3)在（2）的条件下，若AB=c，请结合材料信息，证明勾股定理．
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】
【例5】（23-24八年级·四川南充·期末）如图，E是等腰直角三角形ABC斜边上一点，将△BCE旋转到
△ACF的位置，作CD⊥EF，与AB交于D．
(1)求∠DCE的度数；
(2)线段DE,DF相等吗？线段AD,DE,BE有无确定的数量关系？请说明你判断的理由．
【变式5-1】（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，其中
∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
(1)试判断AD与BE的大小关系，并说明理由；
(2)试说明AD2,BD2,DE2三者之间的关系．
【变式5-2】（23-24·河北廊坊·八年级期末）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∠AOB=∠MON=90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM≌△BON：(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=M N2．
【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，△BAD和△CAE中，点D在CE上，
∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB交CB的延长线于点F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)请直接写出CD、DE和BD之间的数量关系_____；
(3)求证：CD=2BF+DE．
【题型6 以弦图为背景的计算】
【例6】（23-24八年级·浙江金华·期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记
图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S ，S ，S ．若S =12，则S +S 的值
1 2 3 2 1 3
为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积
是34，小正方形的面积是4，设直角三角形中较长直角边为b，较短直角边为a，则a+b的值是 ．【变式6-2】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一
倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．80 B．78 C．76 D．72
【变式6-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写
出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将
它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝
5，求EF的值．【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】
【例7】（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，甲每个网格
边长均为a，乙每个网格边长均为b，若正方形ABCD,EFGH的面积均为S且各顶点均在甲、乙两个网格
线的交点上．以下结论中正确的是（ ）
A．S=20a B．S=18b C．3a=❑√10b D．3b=❑√10a
【变式7-1】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点
A、B、C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
❑√15 3 ❑√10 9
A． B． C． D．
2 2 2 5
【变式7-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则∠ABC
等于 °．
【变式7-3】（23-24八年级·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形
称为邻等四边形．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四
边形ABCD是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边AD的长为 ．【题型8 勾股树】
【例8】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以
该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似
一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作
图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的
面积为 ．
【变式8-2】（23-24八年级·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，
再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状
好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图
原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）A．31 B．63 C．65 D．67
【变式8-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之
为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家
赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为S ，S ，S ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S +S =S 的有________个．
1 2 3 1 2 3
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
S ，S ，直角三角形面积为S ，也满足S +S =S 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S ，S ，S 的
1 2 3 1 2 3 1 2 3数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=__________．
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】
【例9】（23-24·山东烟台·八年级期末）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿
AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（ ）
13 5 7 6
A． B． C． D．
6 6 6 5
【变式9-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边
AC=6，BC=8，将△ABC折叠，顶点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为 ．
【变式9-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿
CE折叠，使点B落在AD边上的F处，已知AD=5，AB=3，则BE的长为 ．
【变式9-3】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在
AB边的中点C′上．若AB=4，BC=6，求BF的长．【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】
【例10】（23-24八年级·山东潍坊·阶段练习）在△ABC中，AB=25，AC=30，BC边上的高AD为
24，，则△ABC面积为 ．
【变式10-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为
钝角三角形，则底边长为 ．
【变式10-2】（23-24·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片ABCD，AB=5，BC=4，点P在边BC
上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当
△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为 ．
【变式10-3】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E、F分别是边
BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE= 时，△AEC′
是以AE为腰的等腰三角形．
