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专题 17.1 勾股定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 由勾股定理求线段长度】..........................................................................................................................1
【题型2 由勾股定理求面积】..................................................................................................................................2
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】.................................................................................................3
【题型4 勾股定理的证明方法】..............................................................................................................................4
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】..............................................................................................................6
【题型6 以弦图为背景的计算】..............................................................................................................................7
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】.........................................................................................................8
【题型8 勾股树】....................................................................................................................................................10
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】........................................................................................................11
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】...............................................................................................12
知识点1：勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
如果直角三角形的两条直角
直角三角形两直角
边的和等于的平方 边长分别为 ，斜边长为
，那么
【题型1 由勾股定理求线段长度】
【例1】（23-24·山东淄博·八年级期末）如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点P
的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
3❑√5 4
A． B．2❑√5 C． ❑√10 D．3❑√2
2 3【变式1-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=20，BC=12．
(1)直接写出AB的长度______．
(2)设点P在AB上，若∠PAC=∠PCA．求AP的长；
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建
在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数
学图形，即：如图2，OA=OB，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则
绳索OA的长度为（ ）
A．80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD是△ABC的中线，AB=15，AD=7，AC=13，
则CD的长度为 ．
【题型2 由勾股定理求面积】
【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，△PAB中AB边上
的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且
△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2【变式2-1】（23-24八年级·天津·专题练习）在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=13，AB=5，则△ABC
的面积为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期中）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，若a+b=12cm，
c=10cm，则Rt△ABC面积为（ ）
A．11cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．36cm2
【变式2-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作
正方形，面积分别记为S 、S 、S ．如果S +S −S =24，则阴影部分的面积为 ．
1 2 3 1 2 3
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则
2AB2+AC2+BC2=（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为
D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．5
【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=
2
，CE=CD=3，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，则AE2+AD2的值为 ．
【题型4 勾股定理的证明方法】
【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB=DE，AB
，DE交于点F，且AB⊥DE．
(1)判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理．
【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边
上，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：△EBF≌△HAE；
(2)四边形EFGH的形状是 ；
(3)若AH=a，AE=b，EH=c，请借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2=c2．
【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（JamesAbramGarfield）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，
AC=DF=b（a
