文档内容
专题 17.1 勾股定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 由勾股定理求线段长度】..........................................................................................................................2
【题型2 由勾股定理求面积】..................................................................................................................................5
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】.................................................................................................7
【题型4 勾股定理的证明方法】............................................................................................................................10
【题型5 由勾股定理证明线段平方关系】...........................................................................................................16
【题型6 以弦图为背景的计算】............................................................................................................................22
【题型7 勾股定理与网格问题的综合运用】.......................................................................................................26
【题型8 勾股树】....................................................................................................................................................29
【题型9 勾股定理与折叠问题的综合运用】.......................................................................................................33
【题型10 勾股定理与分类讨论思想的综合运用】...............................................................................................36
知识点1：勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
如果直角三角形的两条直角
直角三角形两直角
边的平方和等于斜 边长分别为 ，斜边长为
边的平方
，那么 .
【题型1 由勾股定理求线段长度】
【例1】（23-24·山东淄博·八年级期末）如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点P
的一条直线剪一刀，会将这个图形分成面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
3❑√5 4
A． B．2❑√5 C． ❑√10 D．3❑√2
2 3【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，观察图形，找到过点P且将这个图形分成面积相等的两部分的一条直线，
进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
在直线PC的两侧的面积相等，则直线PC将这个图形分成面积相等的两部分,AC即为所求
∵AB=BC=3
∴AC=❑√AB2+BC2=3❑√2，
故选：D．
【变式1-1】（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=20，BC=12．
(1)直接写出AB的长度______．
(2)设点P在AB上，若∠PAC=∠PCA．求AP的长；
【答案】(1)16
25
(2)
2
【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）利用勾股定理AB=❑√AC2−BC2可直接得出结果；
（2）根据条件可证明AP=PC，设AP=PC=x，PB=16−x，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵∠ABC=90°，AC=20，BC=12，
∴在直角三角形ABC中，AB=❑√AC2−BC2=16；
（2）解：∵∠PAC=∠PCA，∴AP=PC，
设AP=PC=x，则PB=16−x，
在直角三角形PBC中，PC2=BC2+PB2
∴(16−x) 2+122=x2，
25
解得：x= ，
2
25
∴AP= ．
2
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建
在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数
学图形，即：如图2，OA=OB，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则
绳索OA的长度为（ ）
A．80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理．先设OA=OB=x米，因为BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，得出
OD=(x−80)米，在Rt△BOD中，利用勾股定理，进行列式OB2=OD2+BD2，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设OA=OB=x米，
∵BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，
∴OD=(x−80)米，
∴在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，
则x2=(x−80) 2+1002，
解得x2=x2−160x+6400+10000，
∴x=102.5，
故选：C．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD是△ABC的中线，AB=15，AD=7，AC=13，
则CD的长度为 ．【答案】2❑√37
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，根据题意，延长AD到E，使得
AD=DE，作BF⊥AE，可证BE=AC，设DF=x，根据勾股定理可得DF，BF的长，在Rt△BDF
中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，延长AD到点E，使得AD=DE，过点B作BF⊥AE于点F，
∵AD是BC的中线，
∴BD=CD，且∠ADC=∠EDB，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴BE=AC=13，AD=ED=7，
设DF=x，则EF=7−x，AF=7+x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2−AF2=152−(7+x) 2，
在Rt△BEF中，BF2=BE2−EF2=132−(7−x) 2，
∴152−(7+x) 2=132−(7−x) 2，
解得，x=2，即DF=2，
∴BF=❑√152−(7+2) 2=12，
在Rt△BDF中，BD=❑√BF2+FD2=❑√122+22=2❑√37，
∴CD=BD=2❑√37，
故答案为： 2❑√37．【题型2 由勾股定理求面积】
【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，△PAB中AB边上
的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且
△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理可求AC2+BC2=AB2，再根据三角形的面积公式即可求
解，解题的关键是能够运用勾股定理证明3个三角形有面积之间的关系．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
1 1 1
∴
AC2+ BC2= AB2
，
2 2 2
∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等
于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，
∴△ACH的面积=10−8=2，
故选：D．
【变式2-1】（23-24八年级·天津·专题练习）在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=13，AB=5，则△ABC
的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积．先根据勾股定理求出AC的长，然后根据直角三角形的面积=
两直角边乘积的一半，代入数据计算即可．
【详解】解：∵∠A=90°，BC=13，AB=5，
∴AC=❑√BC2−AB2=❑√132−52=12，
AB⋅AC 5×12
∴△ABC的面积为： = =30，
2 2
故答案为：30．【变式2-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期中）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，若a+b=12cm，
c=10cm，则Rt△ABC面积为（ ）
A．11cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．36cm2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键．根据勾股定理可得
a2+b2=c2，根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
又a+b=12cm，c=10cm，
∴c2=(a+b) 2−2ab
即2ab=(a+b) 2−c2=122−102=(12+10)(12−10)=44
1
∴Rt△ABC的面积是 ab=11cm2 ，
2
故选：A．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作
正方形，面积分别记为S 、S 、S ．如果S +S −S =24，则阴影部分的面积为 ．
1 2 3 1 2 3
【答案】6
【分析】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到
S =AB2，S =BC2，S =AC2 ，再由勾股定理得到AB2+AC2=BC2，则由已知条件可推出AB2=10
1 2 3
，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，S =AB2，S =BC2，S =AC2 ，
1 2 3在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+AC2=BC2，
∵S +S −S =24，
1 2 3
∴AB2+BC2−AC2=24，
∴AB2+AB2+AC2−AC2=24，
∴AB2=12，
1 1
∴S = AB⋅AB= AB2=6，
阴影 2 2
故答案为：6．
【题型3 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得
BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，然后根据等量
代换即可解答．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴CB2+AD2=BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(AO2+OC2)=CB2+AD2=73.
故答案为：73．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则
2AB2+AC2+BC2=（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400【答案】C
【分析】根据题意∠C=90°，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2，那么原式则
为3AB2，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，且∠C=90°，
∴AB为Rt△ABC的斜边，
∴根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴2AB2+AC2+BC2=3AB2=3×102=300，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为
D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
【答案】69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及
CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2
和MB2．
5
【变式3-3】（23-24八年级·山西大同·期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=
2
，CE=CD=3，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，则AE2+AD2的值为 ．
【答案】8
【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
5
因为△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB= ，CE=CD=3
2
∴∠ACB=∠ECD,∠E=∠ADC=∠CAB=∠ABC=45°
∵∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB−ACD=∠ECD−ACD
即∠ACE=∠BCD
∵AC=BC,EC=DC
∴△ACE≌△BCD
∴AE=BD,∠AEC=∠BDC=45°
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°
故AE2+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+BC2=2×
(5) 2
=
25
2 25
故答案为：
2
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．
【题型4 勾股定理的证明方法】
【例4】（23-24八年级·广东河源·期末）如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB=DE，AB
，DE交于点F，且AB⊥DE．
(1)判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1)DA=CE+BC．理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，
（1）根据AAS证明△ABC≌△DEA，可得答案；
（2）根据S =S +S ，可得答案．
四边形ADBE △ADE △BDE
【详解】（1）解：DA=CE+BC．
理由如下：
如图，
∵AC⊥BC AC⊥AD
， ，
∴∠DAE=∠ACB=90°．
又∵AB⊥DE，
∴∠DFA=∠EFA=90°．
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．
在△ABC和△DEA中，
{∠ACB=∠DAE
)
∠1=∠3 ，
AB=DE
∴△ABC≌△DEA(AAS)．
∴AC=DA，BC=EA．
又∵AC=CE+EA，
∴DA=CE+EA=CE+BC．
1 1 1 1
（2）∵ S =S +S = DE⋅AF+ DE⋅BF= DE⋅AB= c2 ，
四边形ADBE △ADE △BDE 2 2 2 2
1 1
S =S +S = a2+ b2 ，
四边形ADBE △ABE △ABD 2 2
1 1 1
∴
a2+ b2= c2
，
2 2 2
∴a2+b2=c2．
【变式4-1】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边
上，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：△EBF≌△HAE；
(2)四边形EFGH的形状是 ；
(3)若AH=a，AE=b，EH=c，请借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2=c2．
【答案】(1)见解析
(2)正方形
(3)见解析
【分析】（1）在正方形ABCD中，由AE=BF=CG=DH可得：AH=BE=CF=DG，即可求证；（2）由（1）可用同样的方法证得△EBF≌△FCG，△FCG≌△GDH，可得到△FCG≌△GDH，然后
证明∠HEF=90°，即可得证；
（3）根据大正方形的面积等于4个直角三角形和一个小正方形的面积和，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=90°．
又∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
∴△AHE≌△BEF(SAS)；
（2）解：四边形EFGH的形状是正方形，
证明：由（1）得，△AHE≌△BEF，
同理，△EBF≌△FCG，△FCG≌△GDH，
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠BFE，
∵∠B=90°，
∴∠EFB+∠FEB=90°，
∴∠AEH+∠FEB=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为正方形；
故答案为：正方形；
（3）证明：∵AH=a，AE=b，
∴大正方形的面积为：(a+b) 2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，
1
则其面积为：
ab×4+c2=2ab+c2
，
2
∴(a+b) 2=2ab+c2，
整理得a2+b2=c2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，三角全等的判断和性质，勾股定理的证明，熟练掌握并会
灵活应用相应知识点是解题的关键．
【变式4-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（JamesAbramGarfield）利用图1验证了勾股定理，你能利用它
验证勾股定理吗？(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，
AC=DF=b（a
