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专题 14.3 乘法公式【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】..................................................................................................................2
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】..................................................................................................................2
【题型3 由完全平分式求字母的值】......................................................................................................................2
【题型4 平方差公式的几何背景】..........................................................................................................................3
【题型5 完全平方公式的几何背景】......................................................................................................................4
【题型6 乘法公式的应用】......................................................................................................................................6
【题型7 乘法公式的证明】......................................................................................................................................7
【题型8 由乘法公式求最值】..................................................................................................................................9
【题型9 乘法公式的规律探究】..............................................................................................................................9
【题型10 乘法公式中的新定义问题】....................................................................................................................10
知识点：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公
式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公
式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边
都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2
倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】
【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502−49×51= ．
【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：
(1)99×101；
(2)20012−1．
2019
【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算： = .
20192−2020×2018
【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：
1012÷ {( 1− 1 )( 1− 1 )( 1− 1 ) … ( 1− 1 )( 1− 1 )) = ．
22 32 42 20222 20232
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】
【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4 y2=36，则xy= ．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果 ，那么代数式 的值为
a2−2a=1 a(a−2)+(a−1) 2
（ ）
A．−1 B．1 C．3 D．2
( 1)
【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足(a2+1)(b2+4)=8ab，则a b+ = ．
b
【题型3 由完全平分式求字母的值】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单
项式Q是 ．
【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2−kx+36是一个完全平方式，则k= ．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2(k+1)x+16是一个完全平方式，则k的值为
（ ）
A．2 B．3或−5 C．1 D．±2
【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+x4+ 是一个完全平方.（请在
横线上填上所以的适当的单项式.）【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个
形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b
．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2−4b2 B．4ab C．a2−b2 D．ab
【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪
掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，
图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+2m)(a−2m)，
Q=(a+m)(a−m)，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体
挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒
等式．【变式4-3】（23-24八年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方
形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形
的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：① ；
(x−2)(x+2)(x2+4)
②( 1)( 1 )( 1 )( 1 ) 1 ．
1+ 1+ 1+ 1+ +
2 22 24 28 215
【拓展】
直接写出 结果的个位数字．
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)+1
【题型5 完全平方公式的几何背景】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．
例如：如图1 得到 ，基于此，请回答下列问题．
(a+b) 2=a2+2ab+b2(1)【直接应用】
若x+ y=3，x2+ y2=5，则xy= ______．
(2)【类比应用】
若 ，则 ______．
x(3−x)=1 x2+(3−x) 2=
(3)【知识迁移】
两块完全一样的直角三角板(∠AOB=∠COD=90°) 如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接
AC，BD．若AD=16，△AOC和△BOD的面积和S +S =68，求四边形ABCD的面积．
△AOC △BOD
【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，
已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之
和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24 B．29 C．41 D．45
【变式5-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片
（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结
论中，不正确的有（ ）A． ； B．
(a−b) 2=28 ab=26
C．a2+b2=80 D．a2−b2=64
【变式5-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等
式(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为(2a+b)(a+b)，
各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2．
(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
(2)已知等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，请你画出一个相应的几何图形；
(3)请你设计一个几何图形，并解释：(a+b)(a−b)=a2−b2．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（23-24八年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼
池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的
清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为(a−2b)m的正方形．(0<2b<a)
(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？
【变式6-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一
个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边
长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；
(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的
值．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中
边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0<b<a）．阴影部分作为入户花
园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园，如图3所
示，设户型一与户型二的主房面积之差为M，入户花园的面积之差为N．请计算M−N．
【题型7 乘法公式的证明】
【例7】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面
积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【变式7-1】（23-24八年级·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进
行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．
(1)利用这个图形可以证明的数学公式是 ；
(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？
(3)请你写出完整的证明过程．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏南京·期末）（1）求证： ．
(a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd) 2+(ad+bc) 2
（2）已知41×53=2173，证明2173是两个正整数的平方之和．
【变式7-3】（23-24八年级·山东聊城·期末） 如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边
分别记为a、b、C.实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.
（1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 ，正方形IJKL的面积可表示为 (用含a，b的式子表示)
（2）请结合图2，用面积法说明 ， ， 三者之间的等量关系.
(a+b) 2 ab (a−b) 2
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、
c的等式，整理后发现，a2+b2=c2．
（3）请你用面积法证明：a2+b2=c2．
【题型8 由乘法公式求最值】
【例8】（23-24·江苏南通·二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2=1，若p=ab+2a+2b，则p的最小值为
．
1 1
【变式8-1】（23-24八年级·山东威海·期中）当多项式−x2− x+ 存在最大值时，x的值为 ．
2 4
【变式8-2】（23-24八年级·江苏常州·期末）已知：x+y＝12，则代数式3x2+y2的最小值为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·全国·竞赛）已知实数a,b满足a2−2a+6b=5，则a+3b的最大值为
．
【题型9 乘法公式的规律探究】
【例9】（23-24八年级·宁夏银川·期末）观察下列等式，并回答问题．
4×1=22−02，
4×2=32−12，
4×3=42−22，
4×4=52−32，
……
(1)将2024写成两整数平方差的形式：
2024=4×______=______−______
(2)用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．
(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．
【变式9-1】（23-24·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）
个图形多用了72个小正方形，则n的值是 .【变式9-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律：
(1)(a−b)(a+b)=a2−b2；
；
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
．
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4
① ______（其中 为正整数，且 ）；
(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)= n n≥2
②(2−1)×(2+1)=______；
③ ______；
(2−1)×(22+2+1)=
④ ______；
(2−1)×(23+22+2+1)=
⑤ ______；
(2−1)×(2n−1+2n−2+…+2+1)=
(2)根据上述规律求22023+22022+⋯+2+1的值；
(3)根据上述规律：29−28+27−⋯+23−22+2的值为______．
【变式9-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）观察下列各式：152=225，252=625，352=1225，⋯
(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律?
(2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数），请你借助代数式解释（1）中
的规律．
(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算5952，
要求写清计算过程及结果．
【题型10 乘法公式中的新定义问题】
【例10】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：x+a，x+b，x+c(a，b，c都是非零
常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项
式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式x+1，x+2，x+4，因为，所以 ， ， 是一组和谐多项式，和谐值为 .
[(x+2)²−(x+1)(x+4)]÷x=−1 x+1 x+2 x+4 −1
(1)小明发现多项式x+3，x+6，x+12是一组和谐多项式，求其和谐值；
(2)若多项式x−2，x+3，x+p (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．
【变式10-1】（23-24·四川泸州·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫
做“幸福数”，如32−12=8，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．502 B．520 C．525 D．205
【变式10-2】（23-24八年级·安徽六安·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称
该正整数为“和谐数”如（8=32−12，16=52−32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2024的正整
数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．257048 B．257024 C．255048 D．255024
【变式10-3】（23-24八年级·山东威海·期末）问题提出：
（1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子：
a=(2+1)(22+1)(24+1)⋯(22048+1)
小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：
，
a=1×(2+1)(22+1)(24+1)⋯(22048+1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(22048+1)
求出a= ．
问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出b的值．
b=(3+1)(32+1)(34+1)⋯(31024+1)
迁移应用：定义一种新运算：i2=−1．
（3）(2+3i)(2−3i)= ．
（4）求的值．
