文档内容
专题 14.3 乘法公式【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】..................................................................................................................2
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】..................................................................................................................2
【题型3 由完全平分式求字母的值】......................................................................................................................2
【题型4 平方差公式的几何背景】..........................................................................................................................3
【题型5 完全平方公式的几何背景】......................................................................................................................4
【题型6 乘法公式的应用】......................................................................................................................................6
【题型7 乘法公式的证明】......................................................................................................................................7
【题型8 由乘法公式求最值】..................................................................................................................................9
【题型9 乘法公式的规律探究】..............................................................................................................................9
【题型10 乘法公式中的新定义问题】....................................................................................................................10
知识点：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公
式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公
式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边
都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2
倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】
【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502−49×51= ．
【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：
(1)99×101；
(2)20012−1．
2019
【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算： = .
20192−2020×2018
【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：
1012÷ {( 1− 1 )( 1− 1 )( 1− 1 ) … ( 1− 1 )( 1− 1 )) = ．
22 32 42 20222 20232
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】
【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4 y2=36，则xy= ．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果 ，那么代数式 的值为
a2−2a=1 a(a−2)+(a−1) 2
（ ）
A．−1 B．1 C．3 D．2
( 1)
【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足(a2+1)(b2+4)=8ab，则a b+ = ．
b
【题型3 由完全平分式求字母的值】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单
项式Q是 ．
【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2−kx+36是一个完全平方式，则k= ．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2(k+1)x+16是一个完全平方式，则k的值为
（ ）
A．2 B．3或−5 C．1 D．±2
【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+x4+ 是一个完全平方.（请在
横线上填上所以的适当的单项式.）【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个
形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b
．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2−4b2 B．4ab C．a2−b2 D．ab
【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪
掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，
图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+2m)(a−2m)，
Q=(a+m)(a−m)，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体
挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒
等式．【变式4-3】（23-24八年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方
形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形
的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：① ；
(x−2)(x+2)(x2+4)
②( 1)( 1 )( 1 )( 1 ) 1 ．
1+ 1+ 1+ 1+ +
2 22 24 28 215
【拓展】
直接写出 结果的个位数字．
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)+1
【题型5 完全平方公式的几何背景】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．
例如：如图1 得到 ，基于此，请回答下列问题．
(a+b) 2=a2+2ab+b2(1)【直接应用】
若x+ y=3，x2+ y2=5，则xy= ______．
(2)【类比应用】
若 ，则 ______．
x(3−x)=1 x2+(3−x) 2=
(3)【知识迁移】
两块完全一样的直角三角板(∠AOB=∠COD=90°) 如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接
AC，BD．若AD=16，△AOC和△BOD的面积和S +S =68，求四边形ABCD的面积．
△AOC △BOD
【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，
已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之
和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24 B．29 C．41 D．45
【变式5-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片
（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结
论中，不正确的有（ ）A． ； B．
(a−b) 2=28 ab=26
C．a2+b2=80 D．a2−b2=64
【变式5-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等
式(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为(2a+b)(a+b)，
各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2．
(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
(2)已知等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，请你画出一个相应的几何图形；
(3)请你设计一个几何图形，并解释：(a+b)(a−b)=a2−b2．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（23-24八年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼
池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的
清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为(a−2b)m的正方形．(0<2b
