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专题 15.2 分式的运算【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知分式恒等式确定分子或分母】.........................................................................................................2
【题型2 比较分式的大小】......................................................................................................................................2
【题型3 负整数指数幂】..........................................................................................................................................3
【题型4 利用科学记数法表示小数】......................................................................................................................4
【题型5 分式的混合运算】......................................................................................................................................4
【题型6 分式的化简求值】......................................................................................................................................5
【题型7 分式加减的应用】......................................................................................................................................5
【题型8 分式运算的规律探究】..............................................................................................................................6
【题型9 分式中的新定义问题】..............................................................................................................................8
【题型10 分式中的阅读理解类问题】......................................................................................................................9
【知识点1 分式的运算】
分式的乘除法法则：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。 a n=an
（ ）
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.
分式的加减法则：
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 已知分式恒等式确定分子或分母】
【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10x Ax+B Cx+D ，其中 ， ，
= + A B
x4+x2+1 x2+x+1 x2-x+1
C，D为常数，则A+B+C+D= ．
3x-4 K 2K
【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若 = + ，则K＝ ．
(x-1)(x-2) x-1 x-2
【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如
3x2-7x+2 a b
=3+ + 是恒等式，请分别求的a、b的值．
(x-1)(x+1) x-1 x+1
【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：
1-3x A B
若 = + ，试求A、B的值
x2-1 x+1 x-1
解：等式右边通分，得
A(x-1)+B(x+1) (A+B)x+(-A+B)
=
(x+1)(x-1) x2-1
根据题意，得¿，解之得¿．
仿照以上解法，解答下题．
x+6 M N
(1)已知 = - （其中M、N为常数）求M、N的值；
(x+1)(2x-3) x+1 2x-3
1 a b
(2)若 = - 对任意自然数n都成立，则a=_________，b=_________．
(2n-1)(2n+1) 2n-1 2n+1
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ =_________．
1×3 3×5 5×7 2019×2021
【题型2 比较分式的大小】
【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到
“作差法”：
如果a-b>0，那么a>b；
如果a-b=0，那么a=b；
如果a-b<0，那么a<b．
x x+1
（1）已知2x>y>0，且A= ，B= ，试用“作差法”比较A、B的大小，并说明理由；
y y+219991998 19991999
（2）比较两数 和 的大小；
20212020 20212022
x x+1
（3）对于正x，y，A= ，B= ，如果A=B，则x、y满足的关系是______．
y y+2
4x
【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知：P=x+1，Q= ．
x+1
(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
3 Q
(2)设y= - ，若x是整数，求y的整数值．
P 2
【变式2-2】（2023上·湖南常德·八年级常德市第七中学校考期中）(1)若a、b为正数，且a<b，直接判断
1 1
与 的大小；
a b
b a
(2)若a、b为正数，且a≠b，试比较 + 与2的大小，并说明理由；
a b
1 1 b a
(3)若 + =1，试比较 + 与ab的大小，并说明理由．
a b a b
【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）已知b＞a＞0．
a a+1
(1)比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）；
b b+1
a a+c
(2)若c＞0，比较 与 的大小；
b b+c
(3)下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
m+2 m
①若n＞m＞0，则 ＜ ；
n+2 n
m-2 m
②若n＞m＞2，则 ＜ ；
n-2 n
m-2 m+1
③若n＞m＞2，则 ＞ ；
n-2 n+1
m+2022 m-2021
④若n＞m＞2021，则 ＞ ．
n+2022 n-2021
【知识点2 整数指数幂的运算】
1
1.整数负指数幂：a-n=
.
an
2.若am=an，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则am=an。据此，可解决某些条件求值问题.【题型3 负整数指数幂】
【例3】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）已知x=1+7n，y=1+7-n，则用x表示y的结果正确的是
（ ）
x+1 x+1 x
A． B． C． D．7-x
x-1 x+1 x-1
【变式3-1】（2023下·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期中）若a=(0.3) 2，b=-3-2，c= ( - 1) -2 ，则a，
3
b，c的大小关系为 （用“＜”连接）．
【变式3-2】（2023上·陕西·八年级校考阶段练习）已知x=3-q，y-1=21-p，z=4p27-q，用x，y表示z的
代数式为 ．
1
【变式3-3】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若x2-12x+1=0，则x4+
的个位数字是 ．
x4
【题型4 利用科学记数法表示小数】
【例4】（2023·河北邯郸·校考一模）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，则a+n为
（ ）
A．2.58 B．5.58 C．-0.58 D．-0.42
【变式4-1】（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）某种细胞的直径是5×10－4毫米，这
个数是（ ）
A．0.05毫米 B．0.005毫米 C．0.0005毫米 D．0.00005毫米
【变式4-2】（2023上·重庆渝中·八年级统考期末）人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国
某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其
结果用科学记数法表示为 ．
【变式4-3】（2023下·江苏镇江·八年级校考期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布
引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto-10-27，此前，
国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺-10-24．一个光子的质量约为1.1×10-23幺克．换算后约为 ronto克．
【题型5 分式的混合运算】
【例5】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：
3 6 x+5
(1) - -
x 1-x x2-x(2) x- y x2- y2 2y
÷ -
x+3 y x2+6xy+9 y2 x+ y
a2
【变式5-1】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）计算 -a-b的结果是 ．
a-b
【变式5-2】（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当x分别取
1 1 1 1 1
-2023，-2022，-2021，…，-2，-1，0，1， ， ，…， ， ， 时，计算分式
2 3 2021 2022 2023
x2-1的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
x2+1
A．-1 B．1 C．0 D．2023
【变式5-3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完
成相应任务．
x2-9 2x+1，
-
x2+6x+9 2x+6
(x+3)(x-3) 2x+1 …第一步，
= -
(x+3) 2 2(x+3)
x-3 2x+1
= - …第二步，
x+3 2(x+3)
2x-6 2x+1
= - …第三步，
2(x+3) 2(x+3)
2x-6-(2x+1)
= …第四步，
2(x+3)
2x-6-2x+1
= …第五步，
2(x+3)
5
=- …第六步．
2x+6
任务一：填空：
以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 或填为： ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 ；任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算： 1 a+2 a2-2a+1．
- ⋅
a+1 a2-1 a2+4a+4
【题型6 分式的化简求值】
【例6】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求
1 1 1
+ + 的值．
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3
3x-3 3x 1
【变式6-1】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）已知x2-x-2=0求代数式 ÷ - 的值．
x2-1 x+1 x-1
【变式6-2】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则
1 1 1
+ + = ．
ab+c-1 bc+a-1 ac+b-1
【变式6-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且
(x2-1)(y2-1) (y2-1)(z2-1) (z2-1)(x2-1) 1 1 1
+ + =4．求 + + 的值为 ．
xy yz zx xy yz zx
【题型7 分式加减的应用】
【例7】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米(m>1)的
正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m-1)米
的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量
分别为P千克/米 2和Q千克/米 2．下列说法：
❑ ❑
m-1
①P>Q；②P=Q；③P<Q；④P是Q的 倍．其中正确的个数有（ ）
m+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-1】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千
米/小时，下山速度为b千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（ ）a+b ab a+b 2ab
A． B． C． D．
2 2 2ab a+b
【变式7-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的
糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓
b
度（即糖的质量与糖水的质量比）为 ．
a
(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，
由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为
____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
c a b
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证： + + <2．
a+b b+c a+c
【变式7-3】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接
A，B两个港口，两条航线的路程都是150km，已知货轮在静水中的最大航速为v(v>5)．
(1)若该货轮在水流速度为5km/h的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；
(2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航
线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为5km/h，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速
度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．
【题型8 分式运算的规律探究】
【例8】（2023上·辽宁大连·八年级期末）观察下列式子：
1 5 4 2 -3 9 8 -2
+ =2， + =2， + =2， + =2，……
1-3 5-3 4-3 2-3 -3-3 9-3 8-3 -2-3
按照上面式子的规律，完成下列问题：
(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：① ，② ；
x ()
(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为 = ＝（ ）（不必写出字母的取值范围）；
() ()
(3)验证这个规律．
【变式8-1】（2023·安徽·校联考三模）观察以下等式：
2 ( 1-4) 2
第1个等式： × 2- = ；
32-4 1 1
4 ( 2-4) 2
第2个等式： × 2- = ；
42-4 2 26 ( 3-4) 2
第3个等式： × 2- = ；
52-4 3 3
8 ( 4-4) 2
第4个等式： × 2- = ；
62-4 4 4
10 ( 5-4) 2
第5个等式： × 2- = ；……
72-4 5 5
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【变式8-2】（2023下·湖南永州·八年级校考期中）阅读理解：阅读下列过程
2 2 2 2
因为2× =4，2+ =4，所以2× =2+
1 1 1 1
3 9 3 9 3 3
因为3× = ，3+ = ，所以3× =3+
2 2 2 2 2 2
4 16 4 16 4 4
因为4× = ，4+ = ，所以4× =4+
3 3 3 3 3 3
5 25 5 25 5 5
因为5× = ，5+ = ，所以5× =5+
4 4 4 4 4 4
…………………………………………………．．
8
(1)根据上面规律填空， 8× = ____
7
(2)根据你观察的特点，用含n的公式表示上面的规律为______________
(3)证明你得到的公式是否正确．
【变式8-3】（2023·安徽合肥·统考三模）观察以下等式：
1 1 9
第1个等式： +1= × ，
2 4-1 2
1 1 1
第2－个等式： + = ×8，
2 2 9-1
1 1 1 25
第3个等式： + = × ，
2 3 16-1 2
1 1 1
第4个等式： + = ×18，
2 4 25-1
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【题型9 分式中的新定义问题】
【例9】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB，
则称分式B是分式A“友好分式”．
1 1 1 1 1 1 1 1
如 与 ，因为 - = ， × = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1
所以 是 的“友好分式”．
x+2 x+1
2 2
(1)分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
2y+5 2y+3
1
(2)小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“友好分式”为N，则 -N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
∴( 1 ) 1 ，
+1 N=
x2+ y2 x2+ y2
1
∴N= ．
x2+ y2+1
x
请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”．
x-3
b
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”：______．
ax+b
n+2 m-1
②若 是 的“友好分式”，则m+n的值为______．
mx+m2+n mx+n2
【变式9-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则
x 1 x 1
称A是B的“n 分式”．例如： - =1，则称分式 是分式 的“1 分式”．根据以上
x-1 x-1 x-1 x-1
定义，下列选项中说法错误的是（ ）
4x+3 x-3
A． 是 的“3 分式”
x+2 x+2
12+x ax+6
B．若a的值为-3，则 是 的“2 分式”
3+2x 3+2x
2ab a
C．若 是 的“1 分式”，则a2=3b2
a2-4b2 a-2b5a -5b
D．若a与b互为倒数，则 是 的“5 分式”
a+b2 a2+b
【变式9-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即
1 1 1 1 1
M-N=MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如 与 ，因为 - = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1 1 1 1
× = ，所以 是 的“互联分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
3 3
(1)判断分式 与分式 是否是“互联分式”，请说明理由；
x+2 x+5
1
(2)小红在求分式 的“互联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“互联分式”为N，则 -N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
( 1 ) 1 ， 1 ．
∴ +1 N= ∴N=
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2+1
x+2
请你仿照小红的方法求分式 的“互联分式”．
x+5
(3)解决问题：
4a-2 4b+2
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使 是 的“互联分式”．
bx+b bx+a
【变式9-3】（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）定义：若两个分式A与B满足：
|A-B|=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．
1 4 4a a-3 a 7a-3
(1)下列三组分式：① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中互为“美妙分式”的有
a+1 a+1 a+1 a+1 2a-1 2a-1
（只填序号）；
a
(2)求分式 的“美妙分式”；
2a+1
(3)若分式 4a2 与 a 互为“美妙分式”，且 、 均为不等于 的实数，求分式2a2-b2的值．
a b 0
a2-b2 a+b ab
【题型10 分式中的阅读理解类问题】
【例10】（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母
的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
x2-3x-1
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+2
解：设x+2=t，则x=t-2．
(t-2) 2-3(t-2)-1 t2-7t+9 9
原式= = =t-7+
t t t
x2-3x-1 9
∴ =x-5+ ．
x+2 x+2
x2-3x-1 9
这样，分式 就拆分成一个整式(x-5)与一个分式 的和的形式．
x+2 x+2
【应用】
2x+4
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
x+1
x2-2x+4
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
x-1
【拓展】
x2-x+7
(3)已知分式 的值为整数，求正整数x的值．
x-3
【变式10-1】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）阅读下面的解题过程：
已知： x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
所以x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 -2=32-2=7 ．
x2 x2 x
故 x2 的值为1．
x4+1 7
(1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： x ，求 x2 的
=-1
x2-5x+1 x4-7x2+1
值．
ab bc ac abc
(2)已知 =6， =9， =15，求 的值．
a+b b+c a+c ab+bc+ac【变式10-2】（2023上·湖南益阳·八年级统考期末）阅读下列材料：
【材料一】
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分
式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．
x-1 x2 1 2x-1
如 , 这样的分式就是假分式：再如 , 这样的分式就是真分式．
x+2 x+1 x-1 x2+1
x-1 (x+2)-3 3
类似的假分式也可以化为带分式．如： = =1- ．
x+2 x+2 x+2
【材料二】
问题：用配方法求代数式x2+x+1的最值．
解：∵x2+x+1= ( x+ 1) 2 + 3 ，而 ( x+ 1) 2 ≥0，
2 4 2
∴x2+x+1= ( x+ 1) 2 + 3 ≥ 3 ，
2 4 4
1 3
故当x=- 时，x2+x+1的最小值为 ．
2 4
解答下列问题：
1 x-1
(1)分式 是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可以化为带分式_________的形式；
x x+1
x+4
(2)如果分式 的值为整数，求满足条件的整数x的值．
x-1
(3)求分式6x2+6x+1的最值．
x2+x+1
【变式10-3】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）阅读与理解：
阅读下列材料，完成后面的任务：
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运
用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：若 = ，求代数式x+ 的值．
x2+1 4 x
x 1
解：∵ = ，
x2+1 4
x2+1 x2 1
∴ =4，即 + =4，
x x x1
∴x+ =4.
x
x 1
任务：已知 = ．
x2-3x+1 3
1
(1)求x+ 的值．
x
(2)求的值．
