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专题 20.1 数据的分析【八大题型】
【人教版】
【题型1 由平均数求未知数据的值】......................................................................................................................1
【题型2 由众数求未知数据的值】..........................................................................................................................3
【题型3 由中位数求未知数据的值】......................................................................................................................4
【题型4 由方差求未知数据的值】..........................................................................................................................6
【题型5 利用统计量做决策】..................................................................................................................................8
【题型6 由中位数、众数解决实际问题】...........................................................................................................10
【题型7 由方差确定稳定性】................................................................................................................................13
【题型8 统计量的综合运用】................................................................................................................................17
知识点1：平均数
算术平均数：
x k +x k +⋯+x k
x= 1 1 2 2 n n
k +k +⋯+k x x x k k k
加权平均数： 1 2 n （ 1、 2… n的权分别是 1、 2… n）
x=x'+a
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： 。
x' =x −a x' =x −a x' =x −a
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， 1 1 ， 2 2 ，…， n n
1
x'= (x' +x' +⋯+x' )
n 1 2 n x ,x ,⋯,x , x' ,x' ,⋯,x' ,
。 是新数据的平均数（通常把 1 2 n 叫做原数据， 1 2 n 叫做
新数据）。
【题型1 由平均数求未知数据的值】
【例1】（24-25八年级·河南安阳·开学考试）小英期末考试语文得88分，英语得94分，她想语文、数
学、英语三科的平均分不低于93分，数学至少应得 分．
【答案】97【分析】本题考查计算平均分，根据“平均成绩×科目的数量=总成绩”算出语文、数学、科学三门功课的
总成绩，进而用“语文、数学、科学三门功课的总成绩分别减去语文和科学两门功课的成绩即可求出数学
成绩．
【详解】解：数学至少应得93×3−88−94=97分，
故答案为：97．
【变式1-1】（24-25八年级·全国·单元测试）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数
为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了平均数的定义，掌握平均数的定义是解答本题的关键．
首先求得a、b的和，再求出a、b的平均数即可．
【详解】解：∵一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，
∴4+5+6+a+b=5×5，
∴a+b=10，
∴a、b的平均数为10÷2=5，
故选： B．
【变式1-2】（24-25八年级·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输
入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）
A．3.5 B．3 C．−3 D．0.5
【答案】C
【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除
以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差.
【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90，
90
则由此求出的平均数与实际平均数的差是：− =−3，
30
故选：C．
【变式1-3】（2024八年级·全国·专题练习）已知一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数为10，则另一
1 2 3 4 5
组数据2x −3，2x −3，2x −3，2x −3，2x −3的平均数为（ ）
1 2 3 4 5
A．20 B．17 C．7 D．23
【答案】B
【分析】本题主要考查了求平均数，根据平均数的定义得到x +x +x +x +x =50，则
1 2 3 4 52x −3+2x −3+2x −3+2x −3+2x −3=85，据此根据平均数的定义可得答案．
1 2 3 4 5
【详解】解：∵一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数为10，
1 2 3 4 5
∴x +x +x +x +x =10×5=50，
1 2 3 4 5
∴2x +2x +2x +2x +2x =100，
1 2 3 4 5
∴2x −3+2x −3+2x −3+2x −3+2x −3=85，
1 2 3 4 5
∴2x −3，2x −3，2x −3，2x −3，2x −3的平均数为85÷5=17，
1 2 3 4 5
故选：B．
知识点2：众数
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
【题型2 由众数求未知数据的值】
【例2】（24-25八年级·陕西渭南·期末）已知一组数据3，2，2，2，6，3，x，若这组数据的众数只有一
个，则x的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了众数的知识，理解并掌握众数的定义是解题关键．众数是指一组数据中出现次数
或出现频率最多的数值．根据众数的定义分析判断即可．
【详解】解：当x的值为2，4，6时，这组数据的众数只有1个，为2；
当x的值为3时，这组数据的众数有2个，为2和3；
所以，若这组数据的众数只有一个，则x的值不可能是3．
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）某校对八年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行
了统计，分别为（单位：h）：3.1，4，3.1，1，1，3.1．这组数据的众数是（ ）
A．3 B．3.1 C．4 D．1
【答案】B
【分析】本题考查众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
【详解】在这一组数据中3.1出现了3次，次数最多，故众数是3.1．
故选：B．
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）某校八年级一共有8个班级，人数分别为30，26，28，29，33，
a，29，32，若这组数据的众数为29和33，则这组数据的平均数为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了众数和平均数，先根据众数求出a=33，再利用平均数的定义进行解答即可．【详解】解：∵一组数据30，26，28，29，33，a，29，32的众数为29和33，
∴a=33，
30+26+28+29+33+33+29+32
则这组数据的平均数为 =30，
2
故答案为：30．
【变式2-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）一组数据：3，4，4，x，5，5，9，其平均数是5，则众数
是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了众数、平均数等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．首先根据平均数的定义解
得x的值，再根据“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，该组数据的平均数是5，
3+4+4+x+5+5+9
则有 =35，
7
解得x=5，
所以，这组数据为3，4，4，5，5，5，9，
其中出现次数最多的是5，共计3次，
所以，众数是5．
故答案为：5．
知识点3：中位数
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位
置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
【题型3 由中位数求未知数据的值】
【例3】七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，4，3（单位：本），小明该月阅读了x本
课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6，则中位数为4，
∵增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，x，4，5，6，或3，3，3，x，4，4，5，6，
4+ x
∴ =4，
2解得x=4．
故选：D．
【点睛】本题考查中位数，理解中位数的意义是正确解答的前提，将一组数据从小到大排序找出中间位置
的一个数或两个数的平均数是解决问题的关键．
【变式3-1】（24-25八年级·山东青岛·单元测试）已知一组从小到大排列的数据：0，4，x，10的中位数
是5，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查根据中位数求未知数据的值，所给数据有4个数，按顺序排列后第二位与第三位的平均
数即为中位数，由此列方程即可求解．
4+x
【详解】解：由题意知 =5，
2
解得x=6，
故选B．
【变式3-2】七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，4，3（单位：本），小明该月阅读了
x本课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6，则中位数为4，
∵增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，x，4，5，6，或3，3，3，x，4，4，5，6，
4+ x
∴ =4，
2
解得x=4．
故选：D．
【点睛】本题考查中位数，理解中位数的意义是正确解答的前提，将一组数据从小到大排序找出中间位置
的一个数或两个数的平均数是解决问题的关键．
【变式3-3】（2024·河南平顶山·二模）为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初
赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，
经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位
数，请你思考，小明的成绩是（ ）
A．83分 B．86分 C．88分 D．91分
【答案】C
【分析】本题主要考查众数和中位数．原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，新数据的中位数
为88，众数为88，据此可得答案．
88+88
【详解】解：原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，中位数为 =88，此时众数为88，符
2
合题意，
所以小明的成绩为88分，
故选：C．
知识点4：方差
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +…+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
【题型4 由方差求未知数据的值】
【例4】（24-25八年级·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，
若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则x的值可能是（ ）
甲 178 179 180 181 182
乙 180 181 182 183 x
A．179 B．182 C．184 D．185
【答案】D
【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键．
先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可．
1
【详解】解：甲的平均数为： ×(178+179+180+181+182)=180，
5
1
故甲的方差为： ×[(178−180) 2+(179−180) 2+(180−180) 2+(181−180) 2+(182−180) 2 ]=2；
5
当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2；
当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小；
当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大；所以x的值可能是185．
故选：D．
【变式4-1】（24-25八年级·北京通州·期末）已知一组数据的方差：
1
s2= [(4−5) 2+(6−5) 2+(5−5) 2+(m−5) 2+(n−5) 2)，那么m+n的值为 ．
5
【答案】10
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．由题意知，这组数据分别为
4、6、5、m、n，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案．
【详解】解：由题意知，这组数据分别为4、6、5、m、n，且平均数为5，
1
∴ (4+6+5+m+n)=5，
5
解得：m+n=10，
故答案为：10
【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·自主招生）若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相
等，则x=
【答案】0或5
【分析】本题考查了方差的计算公式，解一元二次方程，熟练掌握公式是解题的关键．
根据方差的计算公式建立方程，解一元二次方程即可．
3+4+5+6+7
【详解】解：3、4、5、6、7的平均数为： =5，
5
1
则方差为：
[(3−5) 2+(4−5) 2+(5−5) 2+(6−5) 2+(7−5) 2)=2，
5
1+2+3+4+x 10+x
1、2、3、4、x的平均数为： = ，
5 5
1[ ( 10+x) 2 ( 10+x) 2 ( 10+x) 2 ( 10+x) 2 ( 10+x) 2 )
∴由题意得， 1− + 2− + 3− + 4− + x− =2，
5 5 5 5 5 5
化简得，x2−5x=0，
解得x=0或x=5，
故答案为：0或5．
【变式4-3】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）已知一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数是4，方差为3，
1 2 3 4 5
另一组数据2x −3，2x −3，2x −3，2x −3，2x −3的平均数与方差的和为 ．
1 2 3 4 5
【答案】17【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出
x +x +x +x +x (x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2
1 2 3 4 5=4， 1 2 3 4 5 =3，再根据平均数公式和方
5 5
差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解．
【详解】解：∵这组数据的平均数是4，
x +x +x +x +x
∴ 1 2 3 4 5=4，
5
∴x +x +x +x +x =20，
1 2 3 4 5
2x −3+2x −3+2x −3+2x −3+2x −3
∴ 另一组数据的平均数= 1 2 3 4 5
5
2(x +x +x +x +x )−3×5
= 1 2 3 4 5
5
2×20−15
=
5
=5；
∵这组数据的方差为3，
(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2
∴ 1 2 3 4 5 =3，
5
(2x −3−5) 2+(2x −3−5) 2+(2x −3−5) 2+(2x −3−5) 2+(2x −3−5) 2
∴另一组数据的方差= 1 2 3 4 5
5
(2x −8) 2+(2x −8) 2+(2x −8) 2+(2x −8) 2+(2x −8) 2
= 1 2 3 4 5
5
4[(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2+(x −4) 2)
= 1 2 3 4 5
5
=4×3
=12，
∴另一组数据2x −3，2x −3，2x −3，2x −3，2x −3的平均数与方差的和=5+12=17．
1 2 3 4 5
【题型5 利用统计量做决策】
【例5】（24-25八年级·全国·课后作业）为了筹备班里的新年联欢会，班长以全班同学最爱吃哪几种水果做民意调查，以决定最终买什么水果．该次调查结果最终应该由数据的（ ）决定．
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法确定
【答案】C
【分析】一组数据中出现次数最多的一个数是这组数据的众数．班长最关心吃哪种水果的人最多，即这组
数据的众数．
【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班里的新年联欢会
做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程
度的平均数、中位数、众数各有局限性，要对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题关键．
【变式5-1】（24-25八年级·湖南长沙·期末）10位同学参加了朗诵比赛初赛，按成绩取前5名进入决赛．
如果小华知道自己的成绩后，能判断自己是否进入决赛，那么小华需要了解这10位同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数的意义，针对不同要求要对统计量进行合理的选择和恰当
的运用是解题的关键．
根据平均数、中位数、众数的意义进行分析即可解答．
【详解】解：由于平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，既然是10位同学中前5名能
进入决赛，故最值得关注的是中位数，
故选：C．
【变式5-2】（24-25八年级·山西晋城·期末）如图是晋城、大同今年6月10日至6月16日的一周最高气温统
计图，为比较两地这7日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D【分析】本题考查了平均数、中位数、众数及方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越
大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，
据此即可判断求解，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，“为比较两地这7天日最高气温的稳定情况”，应选择方差作为统计量，
故选：D．
【变式5-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能
力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表
应聘者
项目
甲 乙 丙
学历 9 8 8
经验 8 6 9
能力 7 8 8
态度 5 7 5
如果将学历、经验、能力和态度四项得分按2:1:2:3的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用
者，那么（ ）将被录用
A．甲 B．乙 C．丙
【答案】B
【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得
出答案．
9×2+8×1+7×2+5×3
【详解】甲的最终得分为： =6.875，
2+1+2+3
8×2+6×1+8×2+7×3
乙的最终得分为： =7.375，
2+1+2+3
8×2+9×1+8×2+5×3
丙的最终得分为： =7，
2+1+2+3
∴乙的最终得分高，乙将被录用．
故选：B
【题型6 由中位数、众数解决实际问题】
【例6】（2024春·全国·八年级专题练习）下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有38人，且众
数为50分，中位数为60分，则x2−y之值为
．成绩
20 30 40 50 60 70 80 90
（分）
次数
2 3 5 x 6 y 3 4
（人）
【答案】57
【分析】由于全班共有38人，则x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，结合众数为50分，中位数为60分，分情
况讨论即可确定x、y之值，从而求出x2-y之值．
【详解】∵全班共有38人，
∴x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，
又∵众数为50分，
∴x>6，x>y，
∴x≥8，
当x=8时，y=7，中位数是第19、20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；
当x=9时，y=6，中位数是第19、20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意；
同理当x=10，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意．
∴x=8，y=7．
∴x2-y=64-7=57．
故答案为57．
【点睛】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意
众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间
两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x、y之值．
【变式6-1】（24-25八年级·福建福州·阶段练习）在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分．数
学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从1～9中任选一个数
字，规则是小明先选，小明选的数会使这5个数据平均数最小，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，
密码的5个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是6，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码
是 ．
【答案】69871
【分析】根据小明选的数会使这5个数据平均数最小得到小明选的数据为1，小亮选的数会使这5个数据
中位数最大，得到选的数据为9，再根据最大的五位数，得到剩下的两个数字为7，8，即可得出结论．
【详解】解：∵平均数受极端值的影响较大，小明选的数会使这5个数据平均数最小，
∴小明选的数据为1，∵中位数是5个数据排序后处于中间的数据，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，
∴小亮选取的数据为9，
∵要使这个五位数最大，
∴剩余的两个数字是除已经选取的数据之外最大的两个数据，即为7和8，
∴最大数字为：69871，即产生的密码是69871；
故答案为：69871．
【点睛】本题考查平均数和中位数，熟练掌握平均数受极端值的影响大，中位数是将数据排序后，位于中
间的一位或两位的平均数，是解题的关键．
【变式6-2】（2024·河南南阳·二模）国内生产总值(GDP)是衡量某一地区经济状况的指标．统计显示，某
市2023年间四个季度的GDP逐季增长，第一个季度和第四季度的GDP分别为218亿元243亿元．若四个
季度GDP的中位数和平均数相等，则该市2023年全年的GDP为 亿元．
【答案】922
【分析】本题主要考查了中位数和平均数的定义．设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，
x+ y 218+x+ y+243
则2180，
∴五个学生投中的次数的和<30或五个学生投中的次数的和>20，
30 20
∴他们投中次数占投篮总次数的百分率< =60%或> =40%，
50 50
∴他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是56%，
故选：B．
【点睛】此题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按
照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中
位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组
数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【题型7 由方差确定稳定性】
【例7】（24-25八年级·河南商丘·期末）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员
进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，要从中选择一名平均成绩
好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数
169 168 169 168
/cm
方差 5.0 15.1 5.9 18.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了数据的平均数与方差的意义，根据平均数越大，成绩越好，方差越小，成绩越稳定解
答即可．
【详解】由平均数可知x =x >x =x ，
甲 丙 乙 丁
∴甲与丙二选一，
又由方差可知S2 ”、“=”或“<”）．
2 1 2
【答案】＞
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案．
【详解】解：设这组数据为前9个数分别为x ，x❑ ，⋯，x ，
1 2 9
1
由题意可知，s2= [(x −20) 2+(x −20) 2+⋯+(x −20) 2 ]，
1 9 1 2 9
1
s2= [(x −20) 2+(x −20) 2+⋯+(x −20) 2+(20−20) 2 ]
2 10 1 2 9
1
= [(x −20) 2+(x −20) 2+⋯+(x −20) 2 ]
10 1 2 9
∴s2S2
1 2
(2)b=2(3)详见解析
(4)详见解析
【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查
了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
（1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）利用加权平均数的求法即可求解；
（3）从平均分和方差进行判断即可；
（4）合理即可．
【详解】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
2+2
中位数为a= =2，
2
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则S2>S2
，
1 2
故答案为：2，S2>S2；
1 2
1×3+2×4+3×3 3+8+9
（2）解：小海书写准确性的平均数为b= = =2（分）；
10 10
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
（4）解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
【变式8-2】（2024·内蒙古包头·中考真题）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将八年级男生的立
定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x<240），及格（185≤x<225），不及
格（x<185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校八年级全体男生立定跳远测试的达标
情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县八年级全体男生近期一次测试成
绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人
40 70 60 30
数）
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求出p的值；
(2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试
成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
(3)请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校八
年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
【答案】(1)20%
(2)乙同学的测试成绩是226cm
(3)见解析
【分析】本题考查的是频率分布表，中位数，平均数的意义．读懂统计图，从统计表中得到必要的信息是
解决问题的关键．
（1）先根据本校测试成绩频数（人数）分布表求出本次测试的总人数，利用优秀率=成绩为优秀的人数除
以总人数即可求解；
（2）根据第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，即可求解；
（3）根据优秀率和平均数的意义说明即可．
【详解】（1）解：本次测试的总人数为：40+70+60+30=200（人），
成绩为优秀的人数为：40人，
则优秀率为：p=40÷200×100%=20%；
（2）解：∵第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，
则2×228−230=226cm，
答：乙同学的测试成绩是226cm；
（3）解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，
本校测试成绩的优秀率为20%，本校所在区县测试成绩优秀率为23%，
∵222.5>218.7,20%<23%，
从平均数角度看，该校八年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从优秀率角度看，该校八年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成
绩的优秀率低于区县水平；
建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．
【变式8-3】（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质
量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5
分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服
务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．
统计量
商家
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b x 1.24
（3）直接写出表中a和b的值，并求x的值；
（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪
一家？说明你的观点．
【答案】（1）平台从甲商家抽取了30个评价分值，从乙商家抽取了20个评价分值，补图见解析；（2）
120°；（3）a=3.5，b=4，x=3.6；（4）小亮应该选择乙商家，理由见解析．【分析】（1）分别用3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个
数，进而求出甲、乙商家4分的评价分值个数，即可补全条形统计图；
（2）用360°乘以甲商家4分的占比即可求解；
（3）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（4）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%=20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30−2−1−12−5=10个，
乙商家4分的评价分值个数为20−1−3−3−4=9个，
补全条形统计图如下：
10
（2）α=360°× =120°；
30
（3）∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
3+4
∴a= =3.5，
2
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b=4，
1×1+2×3+3×3+4×9+5×4
乙商家平均数x= =3.6；
20
（4）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方
差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
