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专题 16.3 二次根式的加减【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断同类二次根式】..................................................................................................................................1
【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】.............................................................................................2
【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】.............................................................................2
【题型4 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................3
【题型5 已知字母的取值化简求值】......................................................................................................................3
【题型6 已知条件式化简求值】..............................................................................................................................4
【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】.................................................................................................4
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】..............................................................................................................4
【题型9 二次根式的新定义类问题】......................................................................................................................5
【题型10 二次根式的阅读理解类问题】..................................................................................................................6
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型1 判断同类二次根式】
【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
√ 1
(1)√24，√48， ；
12
(2) ， ， ．
√x4 y 3√x3y(x<0) -2√x y3 (y<0)
√ 4
【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与 是同类二次根式的是（ ）
27
A．√216 B．√125 C．√48 D．√32
【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）√1
A．√xy与√x y2 B． 2√x与√2x C． 3a√a与 D． √a与√3 a
a
【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与 不是同类二次根
-√-27x3
式的是（ ）
A．√27x3 B．
√-x3
C．-
1
√-3x3 D．
√-x
27 9 √3
【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】
【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若√5x+8与√7是同类二次根式，求x的最小正整数？
【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：
(1)若最简二次根式√3a与﹣√8是同类二次根式；
(2)若二次根式√3a与﹣√8是同类二次根式．
【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式√2b+1与a+ √47+b可以合并成一个二次根
式，则a-b= ．
【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且√16(2m+n)和m-n- √1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．
解：∵√16(2m+n)和m-n- √1m+7可以合并，
∴¿，即¿，解得¿．
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】
【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算
(1)( √1 )
4√12-8 +√48 ÷2√3
3
4
(2)(2√6+√3)×(2√6-√3)-(3√3-√2) 2+
√6-√2【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：
√27+(√6+√3)(√6-√3)-(4√2-3√6)÷2√2
【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：
√1
(1)√48÷√3+ ×√12-√24
2
(2)
(7+4√3)(7-4√3)-(3√5-1) 2
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1) √2 ( 1 ) 1√2；
3 × - √15 ÷
3 8 2 5
√1
(2)2√12-6 +3√48；
3
(3) ；
(√2+√3) 2-(√5+2)(√5-2)
(4) | √3| ．
(2-√3) 2022 ×(2+√3) 2023-2 - -(-√2) 0
2
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（ ）
A．√5＜√7 B．√35＋2＜√82﹣1
-7-√23
C． ＞﹣6 D．|1－√3|＞√3－1
2
√5 √6 √7
【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将 , , 从小到大排列 ．
5 6 7
【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：
1 √2-1 ，
= =√2-1
√2+1 (√2+1)(√2-1)
1 √3-√2 ，
= =√3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 √4-√3 ，
= =√4-√3
√4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)( 1 1 1 ) ；
+ +…+ ·(√2021+1)
√2+1 √3+√2 √2021+√2020
1 1 1
(2)设a= ，b= ，c= ，比较a，b，c的大小关系．
√3-√2 2-√3 √5-2
8 8
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式 ”、“<”填空：4+3
1 √ 1
2√4×3，1+ 2 1× ，5+5 2√5×5．
6 6
（2）由（1）中各式猜想m+n与2√mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好
可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁√40kg，乙容器中装有浓度
为b的果汁√90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入
甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
【题型9 二次根式的新定义类问题】
【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用(a，b)表示数对，给出如下定义：记
1
m= ，n=√b（a>0，b>0），将(m，n)与(n，m)称为数对(a，b)的一对“对称数对”．例如：
√a
(1 ) ( 1)
(4，1)的一对“对称数对”为 ，1 与 1， ．
2 2
(1)数对(25，4)的一对“对称数对”是______和______；
(2)若数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
(3)若数对 的一对“对称数对”的其中一个数对是 ，求 的值．
(x，2) (√2，1) x
【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，
则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与√2是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若2+√3与4+√3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=¿，给出三
个说法：
①18⊗2=2√2；1 1 1 1
② + + +⋅⋅⋅+ =100⊗1；
1⊗2 2⊗3 3⊗4 99⊗100
③(a⊗b)⋅(b⊗a)=|a-b|．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如
a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ．如何将双重二次根式 化简？我们可以把
√a2±2ab+b2=|a±b| √5±2√6
转化为 完全平方的形式，因此双重二次根式
5±2√6 (√3) 2 ±2√6+(√2) 2=(√3±√2) 2
得以化简．
√5±2√6=√ (√3±√2) 2=√3±√2
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y'={
y(x>0)
，则称
- y(x<0)
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点(√2,-√3)的“横负纵变点”为______，点(-3√3,-2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简：√7+2√10；
1
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（-√2，m）且m= (√a+2√a-1+√a-2√a-1)，点M'是点M的
√2
“横负纵变点”，求点M''的坐标．
【题型10 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．善于
3+2√2=(1+√2) 2
思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．
a+b√2=(m+n√2) 2 a+b√2=m2+2n2+2mn√2
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得： ，
a+b√3=(m+n√3) 2 a=
b= ；
(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：
；
+√3=(+√3) 2
(3)若 且a、m、n均为正整数，求a的值．
a-6√5=(m-n√5) 2
【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：
1 √3-√2 √3-√2 ，像上述解题过程中， 与 相乘的积
= = =√3-√2 √3+√2 √3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2) (√3) 2-(√2) 2
不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
1 1 1
(1)计算： =___________， =___________；若n为正整数，请你猜想 =
√2+√1 √4+√3 √n+1+√n
___________．
(2)计算：( 1 1 1 ) ；
+ +⋅⋅⋅+ ×(√2022+1)
√2+1 √3+√2 √2022+√2021
(3)计算：( 2 2 2 ) ．
+ +⋅⋅⋅+ ×(√2024+1)
√3+1 √5+√3 √2024+√2022
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
(√7-√6)(√7+√6) 1 ，
√7-√6= =
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较√7-√6和√6-√5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
1 1
√7-√6= ， √6-√5= ，
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6>√6+√5，所以√7-√6<√6-√5．再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0,x-2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ，
√x+2+√x-2
当x=2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2-4和2√3-√10的大小；
（2）求y=√1-x+√1+x-√x的最大值和最小值．
【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：
①我们知道：式子|x+1|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数-1的点之间的距离，且
＝ ；
|x+1| √(x+1) 2
②把根式√x±2√y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=√y，则把x±2√y变成
开方，从而使得 化简．如： ＝ ＝
m2+n2±2mn=(m±n) 2 √x±2√y √3+2√2 √1+2√2+2
＝ ＝ ；
√(√1) 2+2×1×√2+(√2) 2 √(1+√2) 2 |1+√2|=1+√2
(1)化简：√5+2√6．
1 1 1 1
(2)计算： + + +
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √9+4√5
(3)直接写出代数式的最小值为 ．
