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专题 16.3 二次根式的加减【八大题型】
【人教版】
【题型1 同类二次根式的判断】..............................................................................................................................1
【题型2 求同类二次根式中的参数】......................................................................................................................1
【题型3 二次根式的加减运算】..............................................................................................................................2
【题型4 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................3
【题型5 已知字母的值化简求值】..........................................................................................................................3
【题型6 已知条件式化简求值】..............................................................................................................................4
【题型7 二次根式的新定义运算】..........................................................................................................................4
【题型8 二次根式的应用】......................................................................................................................................4
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型1 同类二次根式的判断】
【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．√3与√32 B．√6与√12 C．√5与√75 D．√12与√27
【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与√6x不是同类二次根式的是（ ）
√x √6 √ 1
A． B． C． D．√6+x
6 x 6x
【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次
根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（ ）
A．√8与√32 B．√45与√20 C．√27与√75 D．√24与√80
【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与√a+b是同类二次根式的是（ ）
A． 1 √(a+b) 2 B． 1 √3(a+b) C． √a+b D． √ 9
a 3 2 a+b【题型2 求同类二次根式中的参数】
【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式−√x−2．
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
√5
（2）已知−√x−2为最简二次根式，且与 为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
2
【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式√3a+8与√12−a是同类二次根式，那么3√a
的值为 ．
【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：
如果√16(2m+n)和m−n−√1m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值．
解：因为√16(2m+n)与m−n−√1m+7可以合并
{ m−n−1=2 { m−n=3
所以 即
16(2m+n)=m+7 31m+16n=7
55
{m=
解得 47
86
n=−
47
问：
（1）以上解是否正确？答 ．
（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．
【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式3x−1√02x+ y−5和√x−3 y+11是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求 的值．
√x2+ y2
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型3 二次根式的加减运算】
【例3】（2022春•普兰店区期中）计算：
（1）√18−√32+√2
√ 1
（2）7a√8a−4a2 +7a√2a．
8a
【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算：√ 9 √ 1
（1）√0.25+ +√0.49+|− |
25 100
√ 1
（2）√0.01− +（﹣1）3√(−0.01) 2+√0
100
（3）4√5+√45−√8+4√2．
√2a √ b
【变式3-2】（2022秋•浦东新区期中）化简：√8ab−b −a （a＞0，b＞0）
b 2a
【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式：
√2 √9
（1）√5−√6−√20+ +
3 5
√1 √1
（2）√12−√0.5−2 − +√18
3 8
√3 √a 1
（3）√27a−a +3 + √75a3
a 3 2a
2 √ y √ x √1
（4） x√9x+6x + y −x2 ．
3 x y x
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4】（2022春•安庆期末）计算：
√1
（1）√48÷√3+2 ×√30−（2√2+√3）2
5
1
（2）（− ）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−√2) 0−√(−4) 2+√25
2
√2×√6
【变式4-1】（2022春•岳池县期中）计算： +（√3−2）2−√2（√2−√6）
√3
【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算：
√1
（1）（√20+√5+5）÷√5− ×√24−√5；
3
（2） √9 √3+√6 （ 2）0 ．
√18− − + √3− +√(1−√2) 2
2 √3
b−√ab a b a+b
【变式4-3】（2022秋•昌江区校级期末）（√a+ ）÷（ + − ）（a≠b）．
√a+√b √ab+b √ab−a √ab
【题型5 已知字母的值化简求值】
【例5】（2022秋•如东县期末）已知x＝1−√3，求代数式（4+2√3）x2+（1−√3）x+8√3．
【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值．已知a 1 ，求a2−2a+1 √a2−2a+1的值．
= −
2+√3 a−1 a2−a
【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a＝2，b＝3，求式子 的值．
√a3b−√ab+√a3b3
1
【 变 式 5-3 】 （ 2022 秋 • 天 河 区 校 级 月 考 ） 已 知 x= ， 则 x6﹣ 2
√2021−√2020
√2020x5−x4+x3−2√2021x2+2x−√2021的值为（ ）
A．0 B．1 C．√2020 D．√2021
【题型6 已知条件式化简求值】
x−b x−a
【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知 =2− ，且a+b＝2，请化简并求值以下代数式：
a b
√x+1−√x √x+1+√x
+ ．
√x+1+√x √x+1−√x
【变式6-1】（2022春•阳信县期中）已知√x−6 √x−6，且x为奇数，求（1+x）•√x2−5x+4的值．
=
9−x √9−x x2−1
√a+√b
【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a，b，c满足a+4√ab+3b﹣2√bc−c＝0，则
√c
的值是 ．
【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a，b满足（√a+√b）（√a+√b−2）＝3，则√a+√b的值是
．
【题型7 二次根式的新定义运算】
【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数 m，n定义运算*为：m*n {√m−√n(m≥n)，计算
=
√m+√n(m＜n)
（3*2）+（8*12）的结果为 ．
【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定义下，计
√4 √3
算：（ − ）@√12−（√75−4√3）※2＝ ．
3 2
【变式7-2】（2022秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b
时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（√3△√2）﹣（2√3△3√2）＝ ．
【变式7-3】（2022秋•厦门期末）若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与 是关于1的平衡数，5−√2与 是关于1的平衡数；（2）若（m+√3）×（1−√3）＝﹣5+3√3，判断m+√3与5−√3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【题型8 二次根式的应用】
【例8】（2022春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林
绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人
在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为√243m、宽为√128m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费
用（提示：√6≈2.45）
【变式8-1】（2022春•岱岳区期末）在一个边长为（2√3+3√5）cm的正方形的内部挖去一个长为（2
√3+√10）cm，宽为（√6−√5）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
【变式 8-2】（2022春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，记
a+b+c
p= ，那么这个三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是
2
利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，
故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h，AC边上的高为h，求h+h 的值．
1 2 1 2
【变式8-3】（2022秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长
BC为8√3米，宽AB为√98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形
花坛的长为√13+1米，宽为√13−1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 6元/m2的地砖，要铺完整个
通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
