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专题 16.1 二次根式【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别二次根式】..........................................................................................................................................1
【题型2 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................3
【题型3 求二次根式的值】......................................................................................................................................4
【题型4 由二次根式的非负性求字母的值】.........................................................................................................6
【题型5 由二次根式的非负性求字母的的取值范围】.........................................................................................8
【题型6 由二次根式的值求参数】........................................................................................................................10
【题型7 根据二次根式是整数求字母的值】........................................................................................................11
【题型8 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】...................................................................................13
【题型9 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】.......................................................................................14
【题型10 复合型二次根式的化简求值】................................................................................................................16
知识点1：二次根式的概念
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑√a叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 辨别二次根式】
【例1】（23-24九年级下·湖北随州·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
3
A．π B． C．√32 D．❑√3
5
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式”是解题关键．
【详解】解：A、π不是二次根式，不符合题意；
3
B、 不是二次根式，不符合题意；
5
C、√32不是二次根式，不符合题意；
D、❑√3是二次根式，符合题意；
故选：D
【变式1-1】（23-24九年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A．❑√−3 B．❑√x2+0.1 C．√31−a D．❑√x+1
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念，形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】A、❑√−3，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、❑√x2+0.1，含有二次根号，且被开方数x2+0.1>0，一定是二次根式；
C、√31−a，含有三次根号，不是二次根式；
D、❑√x+1含有二次根号，但当x<−1时，x+1<0，不是二次根式．
【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
【变式1-2】（23-24九年级上·重庆万州·期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
x+1
A．2x B． C．❑√5 D．√3 x
2x
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如❑√a(a≥0)的式子是二次根式．
【详解】解：A. 2x不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
x+1
B. ，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
2x
C. ❑√5是二次根式，故该选项正确，符合题意；
D. √3 x不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
√ y
【变式1-3】（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习）在式子❑√3、❑√x2+1、❑√a+1(a<−3)、❑ (y>0)、
2
❑√−2x(x<0)中，是二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a(a≥0)的式子叫
做二次根式可得答案，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
√ y
【详解】解：❑√3、❑√x2+1、、❑ (y>0)、❑√−2x(x<0)都是二次根式，
2
当(a<−3)，a+1<0，则❑√a+1无意义，
综上，是二次根式的有4个，故选：C．
知识点2：二次根式有意义的条件
(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：❑√a≥0.
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若x=3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是
（ ）
√ 1
A．❑√x−1 B．❑ C．❑√x−4 D．❑√−2x
2−x
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是
解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案．
【详解】A、❑√x−1有意义的条件是x−1≥0，则x≥1，x=3能使二次根式有意义，故此选项符合题意；
√ 1 1
B、❑ 有意义的条件是 ≥0，则x≤2，x=3不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
2−x 2−x
C、❑√x−4有意义的条件是x−4≥0，则x≥4，x=3不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
D、❑√−2x有意义的条件是−2x≥0，则x≤0，x=3不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式2-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）“❑√△”表示的是一个二次根式，则“△”不可能是
（ ）
A．－1 B．4 C．2 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键．
根据二次根式有意义的条件可得△≥0，据此即可解答．
【详解】解：∵“❑√△”表示的是一个二次根式，
△≥0，
∴A选项中−1不满足△≥0，符合题意．
∴故选： A．
1
【变式2-2】（23-24九年级下·广东惠州·期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
❑√2−x
A．x≠2 B．x<2 C．x>2 D．x≥2
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件2−x≠0，形如❑√a(a≥0)的式子叫作二次根式解答．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解2−x≥0是解题的关键．
【详解】根据题意，得2−x≠0，且2−x≥0，
解得x≤2，且x≠2，
故x<2，
故选B．
1
【变式2-3】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）函数y= −❑√x+1自变量x的取值范围在数轴上
❑√2−x
表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件、一元一次不等
式组的解集在数轴上的表示．利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件即可求得x>1，把解集在数
轴上表示出来即可求解．
【详解】解：由题意得：
{2−x>0)
，
x+1≥0
解得：−1≤x<2，
把−1≤x<2在数轴上表示为：
，
知识点3：二次根式的性质
性质1：(❑√a) 2 =a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
{ a（a≥0）
性质2：❑√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
−a（a<0）
【题型3 求二次根式的值】
【例3】（2024·河北张家口·三模）若a=❑√10，则计算❑√200a2的结果正确的是（ ）A．20❑√5 B．±20❑√5 C．±100❑√2 D．100❑√2
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据a=❑√10求出a2=10，即可求解．
【详解】∵a=❑√10
∴a2=10
∴❑√200a2=❑√2000=20❑√5
故选：A．
【变式3-1】（23-24九年级下·浙江衢州·期中）当x=−2时，二次根式❑√−3x+10的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，先将x=−2代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】当x=−2时，
❑√−3x+10=❑√−3×(−2)+10=❑√16=4．
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级下·四川绵阳·期末）将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线
y=3x+6，则❑√−kb的值为（ ）
A．3 B．3❑√6 C．±3 D．3❑√10
【答案】A
【分析】先根据平移的性质和规律求出k、b，然后把k、b的值代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线y=3x+6，
∴k=3，b=−3，
∴❑√−kb=❑√−3×(−3)=3．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线的平移和二次根式的求值运算，直线的平移不改变k的值，遵循上加下减、左加
右减的规律，熟练掌握上述知识是关键．
【变式3-3】（23-24九年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，❑√2a+1＋1的值最小，为
；
（2）当a为 时，❑√4−(a+2) 2的值最大，为 ．
1
【答案】 − 1 −2 2
2【分析】本题主要考查二次根式的性质：
（1）根据❑√2a+1≥0即可求出a的值，以及所求式子的最小值；
（2）根据(a+2) 2≥0即可求出a的值，以及所求式子的最大值．
【详解】解：（1）∵❑√2a+1≥0，
∴❑√2a+1+1≥1，
∴❑√2a+1+1的最小值为1，
1
此时2a+1=0，解得a=− ．
2
1
所以，当a=− 时，❑√2a+1+1的值最小，为1．
2
1
故答案为：− ；1；
2
（2）∵(a+2) 2≥0，
∴❑√4−(a+2) 2≤2，
∴❑√4−(a+2) 2的最大值为2．
此时(a+2) 2=0，解得a=−2．
所以，当a=−2时，❑√4−(a+2) 2的值最大，为2．
故答案为：−2，2
【题型4 由二次根式的非负性求字母的值】
【例4】（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知|2012−a)+❑√a−2013=a，则a−20122的值（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子❑√a (a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被
开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得
❑√a−2013的值，将其代入求值即可．
【详解】解：∵|2012−a)+❑√a−2013=a，
∴a−2013≥0，
∴a≥2013，则2012−a<0，∴|2012−a)+❑√a−2013=a−2012+❑√a−2013=a，
∴❑√a−2013=2012，
∴a−2013=20122，
∴a−20122=2013，
故选C．
【变式4-1】（23-24九年级上·湖北十堰·期末）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足
a=5❑√b−6−4❑√12−2b+3，此三角形的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了二次根式的意义、三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．
【详解】解：由a=5❑√b−6−4❑√12−2b+3
则b−6≥0,12−2b≥0
即b≥6,b≤6
∴b=6
∴a=5❑√b−6−4❑√12−2b+3=3
a、b分别为等腰三角形的两条边长
∵3+3=6
故该等腰三角形是以b=6为腰，a=3为底
故周长为：6+6+3=15
故答案为：15．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽池州·期末）已知：
❑√2x+ y+2027+❑√x+2y−2024=❑√(m−n)−2024×❑√2024−(m−n)．求(x+ y) m−n的值．
【答案】1
【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出¿，继而得出
m−n=2024，¿，然后求解即可．
【详解】解：由题意可知：¿
∴(m−n)−2024=0，即m−n=2024．
且❑√2x+ y+2027+❑√x+2y−2024=0．
∴¿，即：¿
(①+②)÷3得：x+ y=−1，∴(x+ y) m−n=(−1) 2024=1．
【变式4-3】（23-24九年级下·安徽淮北·期末）已知❑√3x−6+❑√6−3x+ y=2024，则❑√2024xy的值为
（ ）
A．2024❑√3 B．2024❑√2 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出
x、y的值即可得到答案．
{3x−6≥0)
【详解】解：由题意得： ，
6−3x≥0
解得x=2，
∵ ❑√2x−6+❑√6−2x+ y=2024，
∴y=2024，
∴❑√2024xy=❑√2024×2×2024=2024❑√2，
故选B．
【题型5 由二次根式的非负性求字母的的取值范围】
【例5】（23-24九年级下·湖北恩施·期末）点(m,n)在第一象限，m，n均为整数，且满足
√5
n=❑ m−1−❑√3−m，则m+n的值为（ ）．
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据二次根式的非负性列出不等式组，解不等式组之后依据m，n均为整数代入求值就能求出
m，n的值，再计算m+n即可．
√5
【详解】解：∵n=❑ m−1−❑√3−m，
3
5
m−1≥0①
∴{3 ，
3−m≥0②
3
解不等式①，得：m≥ ，
5
解不等式②，得：m≤3
3
∴原不等式组的解集为 ≤m≤3．
5∵m为整数，
∴m=1或2或3．
又∵n为整数，
∴当m=3时，n=2，
∴m+n=5，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性和解不等式组，依据限制条件求出相应的参数的值是解题的关键．
【变式5-1】（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足❑√(m−1) 2=1−m，则m的取值范围是
．
【答案】m≤1/1≥m
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解
❑√a2=|a)= { a(a≥0) )
是解决问题的关键．
−a(a<0)
【详解】解：由题意可知：m−1≤0，
解得：m≤1，
故答案为：m≤1．
【变式5-2】（23-24九年级下·四川自贡·期中）如果a+❑√a2−6a+9=3成立，那么实数a的取值范围是
( )
A．a≤0 B．a≤3 C．a≥−3 D．a≥3
【答案】B
【详解】∵a+❑√a2−6a+9=3,
∴❑√a2−6a+9=3−a， 即❑√(a−3) 2=|a−3)=3−a，
∴a−3≤0，
∴a≤3.
故选B.
【变式5-3】（23-24九年级下·浙江杭州·期末）若|a−❑√a2|=−2a，则a的取值范围是 ．【答案】a⩽0
【分析】根据最简式的结果为2a，可知a的取值为非正时满足条件．
【详解】解：∵ |a−❑√a2|
=|a−|a||
=−2a
∴a⩽0，
故答案为a⩽0．
【点睛】本题主要考查将根式化为最简二次根式，解题关键为去根式要考虑其值究竟为非正还是非负．
【题型6 由二次根式的值求参数】
√3 5 7 2n+1
【例6】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若 ❑ × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】C
【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟
练掌握二次根式定义是解决问题的关键．
先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程2n+1=121，解一元一次方程即可得到答案．
3 5 7 2n+1
【详解】解： × × ×⋯× =2n+1，
1 3 5 2n−1
√3 5 7 2n+1
∵ ❑ × × ×⋯× =11，
1 3 5 2n−1
∴❑√2n+1=11，即2n+1=121，解得n=60，
故选：C．
【变式6-1】（23-24九年级上·河南开封·期末）❑√1−a＝2，则a＝ ．
【答案】−3
【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到a≤1，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果．
【详解】解：∵ ❑√1−a=2，
1−a≥0
∴{ ，解得a=−3，
1−a=4
故答案为：a=−3．
【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及
性质是解决问题的关键．【变式6-2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知❑√x=3,那么x2= ．
【答案】81
【分析】先求出x值，再求平方即可．
【详解】解：∵❑√x=3，
∴x=9，
∴x2=81，
故答案为：81．
【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法．
【变式6-3】（2023九年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足❑√a−1<5<❑√a+1，则a的值为
．
【答案】25
【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解．
【详解】解：∵5=❑√25，
∴ ❑√a−1<❑√25<❑√a+1，
∴ 240，推出(6n+4)是完全平方数，设6n+4=m2，得到
6n=m2−4=(m+2)(m−2)，根据(m+2)与(m−2)同奇同偶，m+2=6，m−2=n，或m−2=6，
m+2=n，得到n=2，或n=10，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵❑√6n+4是整数，且n>0，
∴(6n+4)是完全平方数，
设6n+4=m2（m是正整数），
则6n=m2−4=(m+2)(m−2)，∵(m+2)与(m−2)同奇同偶，
{m+2=6) {m−2=6)
∴ ，或 ，
m−2=n m+2=n
{m=4) {m=8)
∴ ，或 ，
n=2 n=10
∴n=2，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程
组．
√36
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）若❑ 是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
n
【答案】1，4，9，36
√36 36 36
【分析】❑ 是整数，则 ≥0，且 是完全平方数，即可求出n的值．
n n n
√36
【详解】解：∵❑ 是整数，
n
36 36
∴ ≥0，且 是完全平方数，
n n
36
∴① =1，即n=36；
n
36
② =4，即n=9；
n
36
③ =9，即n=4；
n
36
④ =36，即n=1；
n
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
√36
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解❑ 是整数的条件是解题的关键．
n
❑√m
【变式7-2】（2023·河南周口·九年级期末）若 属于真分数，任意写出一个符合条件的m的值 ．
6
【答案】25（答案不唯一）❑√m
【分析】 属于真分数，则❑√m<6是整数，且不能为6的因数，即可求解．
6
❑√m
【详解】∵ 属于真分数，
6
∴❑√m<6，且为整数，
∴可以取❑√m=5，即m=25，
故答案为：25（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级下·辽宁营口·阶段练习）❑√12−n是一个正整数，则n的最小正整数是 ．
【答案】3
【分析】根据二次根式的定义可得12−n≥0，解得n≤12，再根据❑√12−n是一个正整数，可得12−n=1
或4或9，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的定义可得12−n≥0，
解得：n≤12，
∵ ❑√12−n是一个正整数，
∴ 12−n=1或4或9，
解得：n=11或8或3，
∴ n的最小正整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得12−n=1或4或9是解题的关键．
【题型8 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】
【例8】（23-24九年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ．
【答案】(x+4+3❑√3)(x+4−3❑√3)/(x+4−3❑√3)(x+4+3❑√3)
【分析】先将x2+8x配方，然后根据平方差公式求解即可．
【详解】解：x2+8x﹣11＝x2+8x+16﹣16﹣11＝（x+4）2﹣27＝（x+4+3❑√3）（x+4﹣3❑√3）．
故答案为：（x+4+3❑√3）（x+4﹣3❑√3）．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解答的关键．
【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）将3x2−4在实数范围内分解因式得 ．
【答案】(❑√3x+2)(❑√3x−2)
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：3x2−4=(❑√3x) 2 −22=(❑√3x+2)⋅(❑√3x−2)
故答案为：(❑√3x+2)(❑√3x−2)．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键
【变式8-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）在实数范围内分解因式：
(1)x2−7；
(2)x3−5x；
(3)4x2−11；
(4)x2−2❑√3x+3．
【答案】(1)(x+❑√7)(x−❑√7)
(2)x(x+❑√5)(x−❑√5)
(3)(2x+❑√11)(2x−❑√11)
(4)(x−❑√3) 2
【分析】（1）首先将7化为(❑√7) 2，然后利用平方差公式，即可得解；
（2）首先提取公因式x，将5化为(❑√5) 2，然后利用平方差公式，即可得解；
（3）首先将4x2化为(2x) 2，11化为(❑√11) 2，然后利用平方差公式，即可得解；
（4）首先将3化为(❑√3) 2，然后利用完全平方公式，即可得解．
【详解】（1）解：x2−7= x2−(❑√7) 2=(x+❑√7)(x−❑√7)；
（2）解：x3−5x =x(x2−5)=x[x2−(❑√5) 2)=x(x+❑√5)(x−❑√5)；
（3）解：4x2−11= (2x) 2−(❑√11) 2=(2x+❑√11)(2x−❑√11)；
（4）解：x2−2❑√3x+3= x2−2❑√3x+(❑√3) 2=(x−❑√3) 2．【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题．
【变式8-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在实数范围内分解因式：x4−9x2+20= ．
【答案】(x+2)(x−2)(x+❑√5)(x−❑√5)
【分析】先把x2当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式.
【详解】x4−9x2+20
=(x2−4)(x2−5)
=(x2−4)[x2−(❑√5) 2
]
=(x+2)(x−2)(x+❑√5)(x−❑√5)
故答案为(x+2)(x−2)(x+❑√5)(x−❑√5)
【点睛】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用a=(❑√a) 2 (a≥0)把一个整数写成平
方形式再进行分解因式.
【题型9 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
√ x √ y
【例9】（23-24九年级下·湖北荆门·阶段练习）已知xy=3，则y❑ +x❑ = ．
y x
【答案】±2❑√3
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵xy=3，
∴x与y同号，
①当x>0，y>0时，
❑√xy ❑√xy
原式= y⋅ +x⋅
y x
=❑√xy+❑√xy
=❑√3+❑√3
=2❑√3；
②当x<0，y<0时，
❑√xy ❑√xy
原式= y⋅ +x⋅
−y −x
=−❑√xy−❑√xy
=−❑√3−❑√3=−2❑√3，
故答案为：±2❑√3．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
【变式9-1】（23-24九年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：
化简：❑√(a−b) 2−❑√(a+1) 2−❑√(b−1) 2．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、数轴，正确得出a，b的符号是解题关键．
观察数轴可得−20，再根据二次根式的性质化简，
即可求解．
【详解】解：由数轴可得−20，
∴ ❑√(a−b) 2−❑√(a+1) 2−❑√(b−1) 2
=|a−b)−|a+1)−|b−1)
=−a+b+a+1−b+1
=2．
【变式9-2】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简❑√(2−m) 2+m的结
果为 .
【答案】2m−2/−2+2m
【分析】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解
题的关键．
根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据❑√a2=|a|进行化简即可．
【详解】解：∵6，8，m为三角形的三边长，
∴20
9ab
√ −1 √ −ab 3a2b2 3a2b2
∴ab＜0∴3a2b2❑ =3a2b2❑ = ❑√−ab= ❑√−ab=−ab❑√−ab
9ab 9a2b2 |3ab) −3ab
故答案为：−ab❑√−ab．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是
解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对
值符号再进行化简．
【题型10 复合型二次根式的化简求值】
【例10】（23-24九年级下·云南昆明·期中）有这样一类题目：将❑√a+2❑√b化简，如果你能找到两个数
m、n，使m2+n2=a且mn=❑√b，则将a+2❑√b将变成m2+n2±2mm，即变成(m+n) 2，从而使得❑√a+2❑√b
得以化简．
(1)例如，5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2⋅❑√3=(❑√3+❑√2) 2．
∴❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=________
(2)请仿照上例化简：❑√11−2❑√30．
【答案】(1)❑√3+❑√2
(2)❑√6−❑√5
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
（1）把被开方数中的5写成2+3，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可；
（2）把被开方数中的11写成5+6，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即
可．【详解】（1）解：❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=|❑√3+❑√2|=❑√3+❑√2，
故答案为：❑√3+❑√2；
（2）解：∵11−2❑√30=6+5−2❑√30=(❑√6) 2+(❑√5) 2 −2❑√30=(❑√6−❑√5) 2，
∴❑√11−2❑√30=❑√ (❑√6−❑√5) 2=|❑√6−❑√5|=❑√6−❑√5．
【变式10-1】（23-24九年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应
任务．
双层二次根式的化简
二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：化简❑√3+2❑√2，先思考(1+❑√2) 2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=3+2❑√2（根据1）
❑√3+3❑√2=❑√12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=1+❑√2．
通过计算，我还发现设❑√a+b❑√2=❑√(m+n❑√2) 2=m+n❑√2（其中m，n，a，b都为正整数），则有
a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a=m2+2n2，b=_____．
这样，我就找到了一种把部分❑√a+b❑√2化简的方法．
任务：
(1)文中的“根据1”是________，b=_______；
(2)根据上面的思路，化简：❑√14−6❑√5；
(3)已知❑√a+4❑√3=x+2❑√3，其中a，x均为正整数，求a和x的值．
【答案】(1)完全平方公式；2mn
(2)3−❑√5
(3)x=1， a=13
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，
（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；
（3）根据a+4❑√3=x2+12+4x❑√3，得出a=x2+12，4=4x，根据x，y为正整数，问题得解．
【详解】（1）解：(1+❑√2) 2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=3+2❑√2的根据是完全平方公式；
∵a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2，
∴a=m2+2n2，b=2mn．故答案为：完全平方公式；2mn．
（2）解：❑√14−6❑√5
=❑√9−6❑√5+5
=❑√32−6❑√5+(❑√5) 2
=❑√(3−❑√5) 2
=3−❑√5．
（3）解：由题意得a+4❑√3=x2+12+4x❑√3，
∴a=x2+12，4=4x，
∵x，y为正整数，
∴x=1， a=12+12=13．
【变式10-2】（23-24九年级下·河南信阳·阶段练习）(1)化简：❑√6−2❑√5；
(2)计算：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋅⋅⋅+❑√19−2❑√90．
【答案】(1)❑√5−1
(2)−1+❑√10
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式
是解此题的关键．
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】（1）解：∵6−2❑√5=(❑√5) 2 −2❑√5+1=(❑√5−1) 2，
∴❑√6−2❑√5=❑√5−2❑√5+1=❑√(❑√5−1) 2=❑√5−1；
（2）解：∵3−2❑√2=(❑√2) 2 −2❑√2+1=(❑√2−1) 2，5−2❑√6=(❑√3) 2 −2❑√6+(❑√2) 2=(❑√3−❑√2) 2，
7−2❑√12=(❑√4) 2 −2❑√12+(❑√3) 2=(❑√4−❑√3) 2 ，……，
19−2❑√90=(❑√10) 2 −2❑√90+(❑√9) 2=(❑√10−❑√9) 2 ，
∴❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋅⋅⋅+❑√19−2❑√90=❑√(❑√2−1) 2+❑√(❑√3−❑√2) 2+❑√(❑√4−❑√3) 2+⋅⋅⋅+❑√(❑√10−❑√9) 2
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋅⋅⋅+❑√10−❑√9
=−1+❑√10．
【变式10-3】（23-24九年级下·江西新余·期中）化简：
(1)❑√12−2❑√35；
(2)❑√5−❑√24；
(3)❑√4+❑√15+❑√4−❑√15．
【答案】(1)❑√7−❑√5
(2)❑√3−❑√2
(3)❑√10
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，
（1）根据解答过程即可得解，
（2）将❑√5−❑√24转化为❑√5−2❑√6，再根据解答过程即可得解，
√ √15 √ √15
（3）将❑√4+❑√15+❑√4−❑√15转化为❑4+2❑ +❑4−2❑ ，再根据解答过程即可得解；
4 4
先把各题中的无理式变成❑√m±2❑√n的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号
内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
【详解】（1）解：❑√12−2❑√35=❑√(❑√7−❑√5) 2=❑√7−❑√5；
（2）❑√5−❑√24=❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2；
（3）❑√4+❑√15+❑√4−❑√15
√ √15 √ √15
=❑4+2❑ +❑4−2❑
4 4
√5 √15 3 √5 √15 3
=❑ +2❑ + +❑ −2❑ +
2 4 2 2 4 2
√ (√5 √3) 2 √ (√5 √3) 2
=❑ ❑ +❑ +❑ ❑ −❑
2 2 2 2√5 √3 √5 √3
=❑ +❑ +❑ −❑
2 2 2 2
．
