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专题 16.2 二次根式的乘除【十大题型】
【人教版】
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】.........................................................................................................1
【题型2 二次根式的乘除混合运算】......................................................................................................................2
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】.....................................................................................................3
【题型4 判断最简二次根式】..................................................................................................................................3
【题型5 化为最简二次根式】..................................................................................................................................3
【题型6 根据最简二次根式的概念求值】..............................................................................................................4
【题型7 分母有理化及其应用】..............................................................................................................................4
【题型8 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................5
【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】.............................................................................................6
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】..............................................................................................................6
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：√a∙√b=√a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：√a∙b=√a∙√b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：√a √a ；
= (a≥0,b>0)
√b b
④商的算术平方根：√a √a .
= (a≥0,b>0)
b √b
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）如果代数式√2m-1 √2m-1，那么m的取值范围是
=
m-4 √m-4
_____________
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）若
√(x-2)(3-x)=√x-2⋅√3-x成立．则x的取值范围为（ ）
A．x≤3 B．x≥2 C．20,b>0)
b
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算
4 ( 1 )
(1)- √18÷ 2√8× √54
3 3
(2)
(√6+1) 2-(√3-√2)(√3+√2)
【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：
√12 1√ 3 ( 3 √ 18 )．
3 ⋅ ÷ -
x 2 xy 4 x2y3
【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：
(2-√5)(2+√5)-(2-√2) 2
（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：√9 ( √2)
-√12× √24+3
2 3
√9 ( √2)……第一步
= -√12× √24+3
√2 3
3√2 √2
= -2√3×2√6+2√3×3 ……第二步
2 3
3√2
= -12√2+6√2……第三步
2
9√2
= ……第四步
2
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；
②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；
③该运算正确结果应是______.
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】
√ 1
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把(2-x) 的根号外因式移到根号内得____________．
x-2
【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣4√3根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．√12 B．﹣√12 C．﹣√48 D．√48
√ 1
【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把-a - 中根号外面的因式移到根号内的结果是
a
（ ）
A．√-a B．-√a C．-√-a D．√a
【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.
√1
(1)a ;
a
(2) xy ·√x2-2xy+ y2(x>y>0);
x- y xy
√1 1
(3)ab - (00)
n √m
（4） (n<0)
m n【题型6 根据最简二次根式的概念求值】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）若 和 都是最简二次根式，则m+n＝_____．
√2m+3 √32m-n+1
【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）√24化简后与最简二次根式5√a+1的被开方数相等，
则a=_________.
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）若a是正整数，√3a+6是最简二次根式，则a的最小值为
______.
【变式6-3】（2023·江苏·八年级假期作业）我们把形如a√x+b（a，b为有理数，√x为最简二次根式）的
数叫做 型无理数，如3 +1是 型无理数，则 是（ ）
√x √x √x (√2+√10) 2
A．√2型无理数 B．√5型无理数 C．√10型无理数 D．√20型无理数
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化及其应用】
【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
2 2
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
√3 √3+1
2 2×√3 2
= = √3；
√3 √3×√3 3
2 2(√3-1) 2(√3-1) ．
= = =√3-1
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-1
以上这种化简过程叫做分母有理化．
2
还可以用以下方法化简：
√3+1
2 = 3-1 = (√3) 2-1=(√3+1)(√3-1) = ﹣1．
√3
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
请任用其中一种方法化简：2 5
① ；② ；
√15-3 2√3+√7
1
【变式7-1】（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化: =_________.
√3+2
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．√a+√b与-√b-√a B．2-√a与√a-2
C．√2a+√3与√3-√2a D．√a与√2a
【变式7-3】（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】
像 、 、 两个含有二次根式的代数式相乘，
(√5+2)(√5-2)=1 √a⋅√a=a(a≥0) (√b+1)(√b-1)=b-1(b≥0)
积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， √5与√5，√2+1与√2-1，2√3+3√5
与2√3-3√5等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：√7-3的有理化因式为 ；
1 9
（2）化简： - ；
2-√3 √3
a b
（3）已知正整数a，b满足 - =3-2√2，求a，b的值．
√2-1 √2
【题型8 比较二次根式的大小】
【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：√5-√3______√7-√5．
【变式8-1】（2023·上海·八年级假期作业）若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
a=2020×2022-2020×2021,b=√20232-4×2022,c=√20212+1
A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a
【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较√15-√14和√14-√13的大小．
（2）求y=√x+1-√x-1+3的最大值．
【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较√3-√2与√2-1的大小．
解：(√3-√2)(√3+√2)=1，(√2-1)(√2+1)=1，
1 1
√3-√2= ，√2-1= 又√3+√2>√2+1，√3-√2<√2-1
√3+√2 √2+1
（1）比较√4-√3与√3-√2的大小．（2）试比较√n+1-❑√n与√n-√n-1的大小．
【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度hm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公
√h
式d=8 .某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
5
【变式9-1】（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近
√h
似地符号公式为d=8 ，某一登山者从海拔h米处登上海拔2h米高的山顶，那么他看到的水平线的距离
5
是原来的多少倍？
【变式9-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，
若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈√2hR，其中R是地球半径，约等于
6400km．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海
平面，求d的值为_____km．
【变式9-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、
宽、高分别是 、 、 ，若木块对桌面的最大压强为 ，最小压强为 ，则p 的值等于
√a √b √c (a>b>c>0) p p 1
1 2 p
2
______．
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】
【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：
已知√7=a，√70=b，用含a，b的代数式表示√4.9．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解
法：
√49 √49×10 √490 √7×70 √7×√70 ab
小豪：√4.9= = = = = = ．
10 10×10 100 10 10 10
小麦：√4.9=√49×0.1=7√0.1．因为 √ 1 √ 7 √7 a， 7a．
√0.1= = = = √4.9=7√0.1=
10 70 √70 b b
老师看罢，提出下面的问题：
(1)两位同学的解法都正确吗？
(2)请你说明理由．
【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书
中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条
a+b+c
边长分别为a，b，c，记p= ，那么这个三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式称海
2
伦公式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶
公式 S=
√ 1[
a2b2-
(a2+b2-c2
)
2]
．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有
4 2
很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海
伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积
为____．
【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：
，√a √a ，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0) = (a≥0,b>0)
√b b
根据下列问题开启探索之旅：
(1)举些例子比较√a+√b与√a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少举3例，举例要全面哦)
(2)利用学过的知识证明你的猜想．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的
算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证：
小明：√25×4=√100=10，而√25=5，√4=2，∴√25×√4=5×2=10即√25×4=√25×√4
回答以下问题：
(1)结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出√ab和√a×√b之间有什么关系？(2)运用以上结论，计算：①．√16×25；②．√64×169
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？
