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专题 04 函数的性质综合应用必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-50题
一、单选题
1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数 的定义域为(－2,0)，则
的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【答案】C
【分析】
由题设函数的定义域，应用换元法求出 的定义域，进而求 的定义域即可.
【详解】
由题设，若 ，则 ，
∴对于 有 ，故其定义域为 .
故选：C.
2．（2021·湖南·高三月考）已知函数 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B． ，
C． 的最大值为2 D． ，
【答案】D
【分析】
先求得 ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.
【详解】
因为 （i），所以用 代换 得 （ii）.
（i）×2 （ii）得 ，
即 ，
从而 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.
，
.
故选：D.
3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可
【详解】
的定义域为 ,
因为 ，
所以 是奇函数，
所以不等式 可化为 ，因为 在 上均为增函数，
所以 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用凑配法求得 解析式.
【详解】
，且 ，
所以 .
故选：B.
5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数 满足 对 恒
成立，且 ，则 （ ）
A．1010 B． C．1011 D．
【答案】B
【分析】
利用赋值法找出规律，从而得出正确答案.
【详解】
令 ，则 ，
令 ，则 ，由于 ，所以 .令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
以此类推，可得 .
故选：B.
6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设 为奇函数，且当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，设 ，则 ，由函数的解析式可得 ，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【详解】
根据题意，设 ，则 ，
则 ，
又由 为奇函数，则 ，
故选：D.
7．（2021·河南·高三月考（理）） 的最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.
【详解】，
设 ，则
则 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，
即 的最大值与最小值之差为 ，
当 时 ， ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 ，所以 的最大值与最小值之差为
故选：B.
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数 ，若
，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.
【详解】
易知 为R上的奇函数，且在R上单调递减，
由 ，得 ，
于是得 ，解得 .
故选:C.9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数 （ ， ），
且 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】
令 ，由 ，可得 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解.
【详解】
解：令 ，
因为 ，
所以 为奇函数，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
故选：C.
10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，
，有 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件可得 关于直线 对称， 在 上单调递增，结合 可判断出答案.
【详解】
由 是偶函数可得 关于直线 对称
因为 ，有 ，所以 在 上单调递增
因为 ，所以 ， ，
无法比较 与0的大小
故选：B.
11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数 为奇函数，则实数 （ ）.
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】
由奇函数的性质 求解即可
【详解】
因为函数 为奇函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，解得 ，经检验符合题意，
故选：D.
12．（2022·上海·高三专题练习）函数 ，若满足 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，且 ，
∴函数 为单调递增的奇函数．
于是， 可以变为 ，
即 ，∴ ，而 ，可知实数 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选：C.
13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在 上的可导函数 ，对任意的实数x，都有
，且当 时， 恒成立，若不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得 ，令 ，根据奇偶性的定义，可得 为偶函数，利用导
数可得 的单调性，将题干条件化简可得 ，即 ，根据
的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.
【详解】
由 ，得 ，
记 ，则有 ，即 为偶函数，
又当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以由 ，得 ，
即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故选：D.
14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】
由已知函数 的解析式作出图象，把函数 的零点转化为函数 与 的交点得答案．
【详解】
由函数解析式
由图可知，函数 的零点的个数为2个．
故选：B．15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，满足
，且当 时， ，则 等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
求得 是周期为 的周期函数，从而求得 .
【详解】
因为函数 是定义在 上的奇函数，
，
其最小正周期为4，
所以 .
因为 ，且当 时， ，
所以 ，所以 .
故选：C.
16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数 是定义在 上的奇函
数，且在 上单调递增，则满足 的m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得 ，即可解出 ，由奇函数的性质可得函数
在 上递增，再将 等价变形为 ，然后根据单调性即可解出．
【详解】
依题意可得 ，解得 ，而函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递
增，又函数 连续，故函数 在 上递增，
不等式 即为 ，所以 ，解得 ．
故选：B．
17．（2021·浙江·高三期中）已知 ， ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】
解：由 ，得 ，令 ， 在 上单
调递增，又 ，则 ．即当 ， 时， ．显然，
，但由 不能得到 ．
故选：B．
18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数 ，若函数 在R上为
减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答
案.
【详解】
解：因为函数 在R上为减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B.
19．（2021·全国·高三期中）已知 是偶函数，当 时， 恒
成立，设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分析可知函数 在 为增函数，由已知条件可得 ，结合函数 的单调性可得
出 、 、 的大小关系.
【详解】
当 时， 恒成立，则 ，
所以 在 为增函数.
又因为 是偶函数，所以， ，即 ，所以 ，即 .
故选：A.
20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知 是定义域为 的奇函数，满足
，若 ，则 （ ）
A．2022 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】
由条件可得 是周期为4的周期函数，然后利用
算出答案即可.
【详解】
因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
因为 ，所以
所以 ，所以 是周期为4的周期函数
因为 ， ， ，
所以
故选：C.
21．（2021·河北·高三月考）已知函数 ，则 的解集为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，然后可得函数 为奇函数，函数 在 上单调递增，然后不等式
可化为 ，然后可解出答案.
【详解】
设 ，可得函数 为奇函数，
，所以函数 在 上单调递增，
，
所以 ．
故选：A.
22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数 ，记 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【分析】
先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：因为 ，
所以函数 为偶函数，
，
当 时， ，所以函数 在 上递增，
则 ，所以 ，所以 .
故选：C．
23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在 上的函数 满足： 关于 中心对称，
是偶函数，且 ，则 的值为（ ）
A．0 B．-1
C．1 D．无法确定
【答案】B
【分析】
由于 关于 中心对称，又将函数 向左平移1个单位后为 ，所以 关于 中心
对称，即 是奇函数；又 是偶函数，又将函数 向右平移1个单位后为 ，所以
关于直线 对称，可得函数 的周期 ， 由此即可求出结果.
【详解】
由于 关于 中心对称，又将函数 向左平移1个单位后为 ，所以 关于 中心
对称，即 是奇函数；又 是偶函数，又将函数 向右平移1个单位后为 ，所以
关于直线 对称，即 ；
所以 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的周期 ，
.
故选：B.24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数 对任意 都有
成立，且函数 的图象关于点 对称， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据函数 的图象关于点 对称，得到函数是奇函数，然后结合 ，得到函数
的周期为 求解.
【详解】
因为函数 的图象关于点 对称，
所以函数 的图象关于点 对称，
即 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以函数的周期为 ，
又 ，
所以 .
故选：D.
25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在 上的奇函数 在区间 上单调递增，且
，则满足 的 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案.
【详解】
依题意 是 上的奇函数，且在 递增，且 ，所以 在 递增，且 .
的图象是由 的图象向右平移 个单位得到，
画出 的大致图象如下图所示，由图可知，满足 的 的取值范围为 .
故选：C.
26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减
函数，则有（ ）
A．f 4，则f(x)＋f(x)的值（ ）
1 2 1 2 1 2
A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0
【答案】B
【分析】
首先根据条件 转化为 ，再根据函数 在区间 上单调递增，将
转换为 ，从而 ， 都在 的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件
即可判断 的值的符号．
【详解】
解：定义域为 的函数 满足 ，
将 换为 ，有 ，
，且 ，
，
函数 在区间 上单调递增，
，
，
，即 ，，
故选：B．
32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数 满足 ，则下列函数中，
不是奇函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据奇函数的定义判断．
【详解】
因为 ，所以
，则 ， 是奇函数，
同理 也是奇函数，
，则 ，是奇函数，
， 为偶函数，
故选：D．
33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数 定义域为 ， ，当
时， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】D【分析】
根据函数的奇偶性和 可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．
【详解】
解： 奇函数满足 ，
，
即 ，
则 ，
所以 是以2为周期的周期函数，
所以 ．
故选：D.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，且满足
，且 ， ，则 （ ）．
A．2021 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】
分别令 ，令 得到 ，进而推得函数 是周期函数求解．
【详解】
令 ，则 ，
故 ，
故 ，（ 舍）令 ，则 ，
故 ．
∴ ，
即 ，
故 的周期为4，即 是周期函数．
∴ ．
故选：C．
二、多选题
35．（2021·全国·高三月考） 是定义在 上的偶函数，对 ，均有 ，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的一个周期为 B．
C．当 时， D．函数 在 内有 个零点
【答案】AC
【分析】
由 可判断A， ，可判断B，当 时，
，结合条件可判断C，易知 ，可判断D.
【详解】
是定义在 上的偶函数，对 ，均有 ，
故函数的周期为 ，故选项A正确；
，故选项B错误；当 时， ，则 ，故选项C正确；
易知 ，
于是函数 在 内有 个零点，故选项D错误，
故选：AC．
36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数 ，正确的说法是（ ）
A． 有且仅有一个零点
B． 在定义域内单调递减
C． 的定义域为
D． 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【分析】
将函数 分离系数可得 ，数形结合，逐一分析即可；
【详解】
解： ，作出函数 图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为 ，在 和 上单调递减，图象关于 对称，
故B错误，
故选：ACD．
37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（ ）
A．函数 与 是同一个函数
B．命题“ ， ”的否定为“ ， ”
C．函数 的最小值为
D．设函数 ，则 在 上单调递增
【答案】ACD【分析】
求出两函数的定义域，即可判断 ；命题的否定形式判断 ；函数的最值判断 ；分段函数的性质以及单
调性判断 ；
【详解】
解：函数 定义域为 ，函数 的定义域为 ，所以两个函数的定义域不相同，所
以两个函数不是相同函数；所以 不正确；
命题“ ， ， ”的否定为“ ， ， ”，满足命题的否定形式，所以 正
确；
函数 ，因为 ，所以 ，可知 ，
所以函数没有最小值，所以 不正确；
设函数 两段函数都是增函数，并且 时， ， ， 时，函数的最小
值为1，两段函数在 上不是单调递增，所以 不正确；
故选：ACD．
38．（2021·福建·高三月考）已知 是定义域为 的函数，满足 ，
，当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C．当 时，函数 的最大值为
D．当 时，函数 的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB正确；根据 在 上的最大值和最小值，
结合对称性和周期性可知C正确，D错误.
【详解】
对于A， ， ， 的最小正周期为 ，A正确；
对于B， ， ， 的图象关于直线 对称，B正确；
对于C，当 时， ，
图象关于 对称， 当 时， ；
综上所述：当 时， ，C正确；
对于D， 的最小正周期为 ， 在 上的最小值，即为 在 上的最小值，
当 时， ，又 图象关于 对称，
当 时， ，
在 上的最小值为 ，D错误.
故选：ABC.
39．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)的定义域为R，给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
B．若y＝f(x＋2)为偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
C．若f(2＋x)＝f(2－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
D．若f(2－x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.
【答案】BC
【分析】
根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.
【详解】
A：中由y＝f(x)关于y轴对称，得y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，所以结论错误；B：因为y＝f(x＋2)为偶函数，所以函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，因此y＝f(x)的图象关于直线x
＝2对称，所以结论正确；
C：因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，因此结论正确；
D：由f(2－x)＝f(x)，得f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，因此结论错误，
故选：BC.
40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数 ，则下列论述正确的是（ ）
A． 的最大值为e，最小值为0
B． 是偶函数
C． 是周期函数，且最小正周期为
D．不等式 的解集为
【答案】BD
【分析】
由 ，得到函数的值域，可判定A错误；由函数奇偶性的定义，可判定B正确；
由函数周期的定义，可得判定C错误；由 ，得到 ，结合三角函数的性质，可判定D正
确.
【详解】
由 ，可得的 ，故A错误；
由 ，所以 是偶函数，故B正确；
由 ，所以 是 的周期，故C错误；
由 ，即 ，可得 ，
解得 的取值范围是 ，故D正确.故选：BD.
41．（2021·全国·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上是增函数
B．函数 的图象关于点 中心对称
C．函数 的图象上存在两点 ， ，使得直线 轴
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】AC
【分析】
，然后画出其图象可得答案.
【详解】
，其大致图象如下，
结合函数图象可得AC正确，BD错误.
故选：AC.
42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R上的函数 ，下列说法正确的是（ ）A．若 是奇函数，则 的图像关于点 对称
B．若对 ，有 ，则 的图像关于直线 对称
C．若函数 的图像关于直线 对称，则 为偶函数
D．若 ，则 的图像关于点 对称
【答案】ACD
【分析】
四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、
周期性和奇偶性就可以得到正确答案.
【详解】
对A， 是奇函数，故图象关于原点对称，
将 的图象向右平移1个单位得 的图象，
故 的图象关于点（1，0）对称，正确；
对B，若对 ，有 ，
得 ，所以 是一个周期为2的周期函数，
不能说明其图象关于直线 对称，错误.；
对C，若函数 的图象关于直线 对称，
则 的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；
对D，由 得 ， ，
的图象关于（1，1）对称，正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数 __________，使之同时具有如下性质：
①图象关于直线 对称；② ， ．
【答案】 （答案不唯一）.
【分析】
根据性质①②可知 是以4为周期且图象关于 对称点的函数，即可求解.
【详解】
解：由题可知，由性质①可知函数 图象关于直线 对称；
由性质② ， ，可知函数 以4为周期 ，
写出一个即可，例如： ，
故答案为： （答案不唯一）.
44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数 满足 ，且当 时，
，则 ___________.
【答案】12
【分析】
利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.
【详解】
由 ，令 ，可得 .因为 ， ，所以
，所以 ，由 ，令 ，可得 .因为 是偶函数，所以
.
故答案为：12.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R上的函数f(x)满足
，且x∈（0，1）时， ，则 ＝___．
【答案】
【分析】
由条件可得 ，然后可算出答案.
【详解】
因为 ，且x∈（0，1）时， ，
所以
故答案为： .
46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R上的函数 满足 ，
，数列 满足 ， 的前n项和为 ，则
=_________．
【答案】337
【分析】
先判断出周期为6，再求出 的值，最后求出 的值
【详解】
因为函数 满足 ，所以函数 是周期为6的周期函数，
，
， ，
，因为 ，
所以
故答案为：337.
47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数 为偶函数，则 的值为________．
【答案】
【分析】
先根据 求出 的值，再根据奇偶性的定义证明即可.
【详解】
解：由已知 ，即 ，
故函数定义域为 ，
因为函数 为偶函数，
则
即 ，
解得 ，
当 时，
.
故 时，函数 为偶函数故答案为： .
48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数 ，则不等式 的解集为
______.
【答案】
【分析】
利用导数可判断函数在 为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将
转化为 ，进而可求出不等式的解集
【详解】
定义域为 ，
由题意， ，
当 时， ，
故 在 为增函数.
因为 ，
所以 为偶函数，故
即 ，
则 ，
故 ，
解得 ，
故原不等式的解集为 .
故答案为： .49．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为________.
【答案】2
【分析】
先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画
出图象进行判定.
【详解】
，
函数f(x)的零点个数可转化为函数 与 图象的交点个数，
在同一坐标系中画出函数 与 图象的（如图所示）：
由图可知两函数图象有2个交点，
即f(x)的零点个数为2.
故答案为：2.
50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数 和奇函数 均定义在 上，且满足
，则 ______．
【答案】
【分析】
先用列方程组法求出 和 的解析式，代入即可求解.
【详解】因为 ……①
所以
因为 为偶函数， 为奇函数，所以 ……②
①②联立解得： ， ，
所以 .
故答案为： .
任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【分析】
直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】
设 ， ， ，
时， ，
时，因为 ，所以 ，解得 ，即 且 ，
综上 ，最大值是 ，最小值是 ，和为6．
故选：B．
2．（2021·重庆南开中学高三月考）函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 在其定义域上单调递增
C． 的值域为
D．函数 有且只有一个零点
【答案】A
【分析】
根据 的图象上的点 关于 对称的点 不在 的图象上，可知A不正确；利用 的
奇偶性以及在 上的单调性，可知 在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数 的值域，
可知C正确；求出函数 的零点，可知D正确.【详解】
的定义域为 ，因为 ，所以 为奇函数， 的图象关
于原点对称，
在 的图象上取点 ，它关于 对称的点 不在 的图象上，故A不正确；
当 时， 为增函数，又 为奇函数，且 ，所以 在其定义域上单调递
增，故B正确；
当 时， ，又 为奇函数，所以当 时， ，又 ，
所以 的值域为 ，故C正确；
令 ，得 ，得 ，所以函数 有且只有一个零点，故D正确.
故选：A.
3．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为 的函数 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．
【详解】
解：令 ，则 ，
故g（x）在R递增，不等式 ，
即 ，
故 ，
故x＜2x−1，解得：x＞1，
故选：D.
4．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知 是定义在 上的偶函数，当 时，
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
是定义在 上的偶函数，说明 奇函数，若 时， ，可得 为增函数，若
， 为增函数，根据 ，求出不等式的解集；
【详解】
解：∵ 是定义在 上的偶函数，当 时， ，
∴ 为增函数， 为偶函数， 为奇函数，
∴ 在 上为增函数，
∵ ，若 ， ，所以 ；
若 ， ， 在 上为增函数，可得 ，
综上得，不等式 的解集是 .
故选：C.
5．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知 ，且 ，
， ，其中 是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，则 ，然后分别利用导数判断两个函
数的单调性，利用其单调性可求得答案
【详解】
设 ，则 ，
又 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
故选：A.
6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数 在区间 上的
最大值与最小值分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
根据 为 上的奇函数，其图象关于原点对称，得到 关于点 对称，
即可求解.
【详解】
由题意，函数 为 上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数
关于点 对称，所以 .
故选：C.
7．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三期中（文））已知函数 ，若
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数判断 的单调性，利用单调性去掉 ，转化为恒成立求最值问题即可.
【详解】
函数 的定义域为 ，
又因为 对于 恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 对于 恒成立，
所以 对于 恒成立，所以
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f( -
x)只有一个零点，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可.
【详解】
依题意，函数y=f(2x2+1)+f( -x)的零点，即方程f(2x2+1)+f( -x)=0的根，
由f(2x2+1)+f( -x)=0得f(2x2+1)=-f( -x)，因f(x)是R上奇函数，
从而有f(2x2+1)=f(x- )，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x- ，
而函数y=f(2x2+1)+f( -x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+ =0有两个相等实数解，
因此得Δ=1-8(1+ )=0，解得 = ，
所以实数 的值是 .
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，定义域为 的函数 满足，若函数 与 图象的交点为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先判断 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；
【详解】
由 得 的图象关于 对称，
因为 ，定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，即 也关于 对称，
则函数 与 图象的交点关于 对称，
则不妨设关于点 对称的坐标为 ，则 ，
则 ，即 ，
故选：A．
10．（2021·河南·高三月考（理））对于函数 ， 时， ，则函数
的图象关于点 成中心对称．探究函数 图象的对称中心，并利用它求
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件探求和为1的两个自变量对应函数值的和即可借助倒序相加得解.
【详解】
因 ，
令 ，
则 ，
两式相加得： ，解得 ，
所以 的值为2021.
故选：D.
11．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在 上的函数 满足 ，
且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒
成立，则实数 的最小值为( )
A．-1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用一次函数性质和对数型复合函数的性质求出 上的单调性，然后再利用偶函数性质可
得到不等式 ，然后结合一次函数性质和 的范围求解即可.
【详解】
由一次函数性质可知， 在 上单调递减，且对于 ， ；
由对数型复合函数易知， 在 上也是单调递减的，
且对于 ， ，
故 在 上单调递减，
又由 ，得 为偶函数，且 ，
若要对任意的 ，不等式 恒成立，
即对 ，不等式 恒成立，
，即 ，即 ，
不妨令 ， ，
由一次函数性质可知， ，解得 ，
故实数 的最小值为 .
故选：A.
12．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，
，若关于 的不等式 的整数解有且仅有 个，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定函数周期为4，关于 对称，画出函数图像，根据函数图像结合奇偶性得到 ，解得答案.
【详解】
为偶函数， ，即 ，函数周期为 .
，函数关于 对称.
和 均为偶函数，故只考虑 的情况，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：不等式 的整数解有且仅有 个，则需要满足 ，
解得 .
故选：D.
13．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知 ，其中 为函数 的导数.则
（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．2022
【答案】B
【分析】
求导计算得到 ， ，代入数据得到答案.
【详解】
，；
则 ，
，
.
故选：B.
14．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当
时， ，若 ，则 的大小关系正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 构造函数 ，利用函数 的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】
解：令函数 ，因为定义域为 的 是奇函数，所以函数 为偶函数；
，当 时，因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 在 上为减函数，
，
因为 ，所以 ，
即 .
故选：B.
15．（2021·天津·南开中学高三月考）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，构造函数 ，利用函数 单调性比较大小即可.
【详解】
令 ，所以
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
所以 ，即 .
故选：C.
16．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在 上的函数 满足 且有
，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
构造函数 ，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于 的不等式，再利用单调性得解集．
【详解】
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 是 上的增函数，
，不等式 即为 ，即 ，
所以 ，
故选：D．
17．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数 满足
，当 时， ，若函数 的所有零点为
，当 时， （ ）
A．20 B．24 C．28 D．36
【答案】C
【分析】
根据题意可得函数 是周期为4，关于点 中心对称的函数，再将函数 的所有
零点转化为 与 的交点的横坐标，又函数 经过定点 ，且关于 中心
对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合即可求出结果.
【详解】
∵定义在 上的奇函数 满足 ，故图象关于 对称，
∴ ，故 ，∴ ，即周期为 ，
又 定义在 上的奇函数，所以 是函数 一个对称中心，
又因为当 时， ，作出函数 的草图，如下：
函数 的所有零点即为 与 的交点的横坐标，
易知函数 经过定点 ，且关于 中心对称，
又 ，分别作出函数 和 的图象，则函数 的图象在函数
和 的图象之间，如下图所示：
则 与 交点关于 中心对称，由图像可知关于 对称的点共有3对，同时还经过点 ，
所以 .
故选：C.
18．（2021·北京十四中高三期中）函数 是定义域为R的奇函数，满足 ，且当
时， ，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数 的周期；
③函数 在区间 上单调递增；
④函数 所有零点之和为 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
①根据 计算 判断；②用反证法判断；③用导数判断；④用周期函数性质判断．
【详解】
解：对于①，因为 ，所以①对；
对于②，假设 是函数 的周期，则 ，又因为 是定义域为 的奇函数，所以
，于是 ，
与 矛盾，所以②错；对于③，因为 ，当 时成立，所以函数 在 ， 上
单调递增，又因为 是奇函数，
所以 在区间 上单调递增，所以③对；
对于④，由③知 在区间 ， 上单调递，又因为满足 ，所以 关于 对
称，
，
所以 以 为周期，
在一个周期内函数 两个零点之和为 ，
在 ， 内有三个周期，所以所有零点之和为 ，所以④对．
故正确的有①③④．
故选：C.
19．（2021·江苏扬州·高三月考）已知 且 ， 且 ， 且
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数 ，利用导数得出函数单调性，由题可得 ， ， ，
根据单调性可判断大小.
【详解】
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递增，
画出函数图象如下，
由题可得 ， ， ，
， ， ，则 ， ， ，
， ，
即 ， .
故选：A.
20．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， ．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 可得 ，分段求函数的解析式，结合图象可得解．
【详解】因为 ， ，
∵ 时， ，
∴ 时， ， ；
∴ 时， ， ，
当 时，由 解得 或 ，
如图，
由图可知，若对任意 ，都有 ，则 ．
故选：B.
二、多选题
21．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列关于 判断正确的是（ ）
A． 是以 为周期的周期函数
B． 的图象关于原点对称C． 的值域为
D．函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度获得
【答案】ABC
【分析】
化简函数 ，由 ，可判断A；
由函数 的定义域为 ，且 ，可判断B；
由 ，令 ，由直线与圆的位置关系可求得 ，从而可判断C；
根据图象的平移可判断D.
【详解】
，所以 ，所以A正确；
函数 的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数，所以 的图象关于原
点对称，故B正确；
，令 ，表示单位圆上的点 与点 连线的斜率，设过点
的直线方程为 ，由圆 的圆心 到直线 的距离 ，解
得 ，所以 ，所以 的值域为 ，故C正确；
的图象向右平移 个单位长度得 ，故D错误.故选：ABC.
22．（2021·全国·高三专题练习）函数 对任意实数x都有 ，若
， ， 则以下结论正确
的是（ ）
A．函数 对任意实数x都有
B．函数 是偶函数
C．函数 是奇函数
D．函数 ， 都是周期函数，且 是它们的一个周期
【答案】ABD
【分析】
利用函数的奇偶性定义以及周期性定义逐一判断即可.
【详解】
， ，
， ， ，
所以 ，故A正确；
，
，
， ，所以 ，函数 是偶函数，故B正确.
， 为 的周期，
的周期为 ，
时，
，
且 ，
所以 是偶函数且周期为 ，故C错误，D正确.
故选：ABD.
23．（2022·全国·高三专题练习）(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)
＝f(x)＋f(y)＋ ，且f ＝0，当x> 时，f(x)>0，则以下结论正确的是（ ）
A．f(0)＝－ ，f(－1)＝－
B．f(x)为R上的减函数
C．f(x)＋ 为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
【答案】AC
【分析】
取 ， ， 得出 ， ， 的值进而判断A；由 判断B；令 结合奇偶性的定义判断C；令 ，结合g(x)为奇函数，得出 ，
从而判断D.
【详解】
由已知，令 ，得 ， ，令 ，得
， ，再令 ，得 ，
，A正确； ， 不是 上的减函数，B错误；令 ，得
， ，故C正确；令 ，由C可知
g(x)为奇函数， ，即 ， ，故D
错误.
故选：AC.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.
24．（2021·重庆·高三月考）定义域在R上函数 的导函数为 ，满足 ，
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解.【详解】
由题意，构造函数 ，则 ，
由 可知 ，
所以 在R上单调递增，且 ，
故 ，即 ， ，A错误；
由 可得 ，故B正确；
当 时， ，所以 ， ，
所以 ， ，
令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，
所以 ， ，
故C正确；
由 可得 ，故D正确；
故选：BCD.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 对任意的实数 ， 满足
，且 ，并且当 时， ，则下列选
项中正确的是（ ）
A．函数 是奇函数
B．函数 在 上单调递增C．函数 是以2为周期的周期函数
D．
【答案】ABC
【分析】
利用赋值法，对4个命题分别进行判断，即可得出结论.
【详解】
令 ，可得 ，
，函数 是奇函数，故A正确；
设 ，则当 时， ，
，
， 函数 在 上单调递增，故B正确；
（1） ，可得 ，
函数 是以2为周期的周期函数，故C正确；
④ ，故D不正确．
故选：ABC．
第II卷（非选择题）
三、填空题
26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在 上的函数 满足
， ，则不等式 的解集为________________．【答案】
【分析】
构造 ，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.
【详解】
构造 ，则 ，
函数 满足 ，则 ，故 在 上单调递增．
又∵ ，则 ，
则不等式 ⇔ ，即 ，
根据 在 上单调递增，可知 ．
故答案为： .
27．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数 ，若a､b､c互不相等，且
，则 的取值范围是___________.
【答案】 /
【分析】
根据题意，作出函数 图象，数形结合即可求解.
【详解】
根据题意，作出函数 图象，令 ，可知函数 图象与 的图象有三个不同交点，由图可知 .
因a､b､c互不相等，故不妨设 ，由图可知 .
当 ，时 ，因 ，所以 ，即 ，故 ；
当 时， ，故 .
综上所述， .
故答案为： .
28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数 ，函数
，若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围为_______.
【答案】
【分析】
求出函数 的表达式，构造函数 ，作函数 的图象，利用数形结合进
行求解即可.
【详解】
∵ ，
∴ ，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，
