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专题 15.3 分式方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 分式方程的定义】......................................................................................................................................1
【题型2 分式方程的一般方法】..............................................................................................................................2
【题型3 换元法解分式方程】..................................................................................................................................3
【题型4 裂项法解分式方程】..................................................................................................................................3
【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】.....................................................................................................4
【题型6 由分式方程有增根求字母的值】..............................................................................................................4
【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】.........................................................................................................4
【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】.............................................................................................5
【题型9 分式方程的规律问题】..............................................................................................................................5
【题型10 分式方程的新定义问题】..........................................................................................................................6
【知识点1 分式方程】
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程的定义】
【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序
号）
ax+b 1 x+5 m+x m-x 2x 2 1 3
① =5；② (x+b)+2= ；③ +2= ；④ = ；⑤1+ =2- ；⑥
2 4 3 a a 2x-1 x x x
a+b a+b 1 1 1 b x-b x+b x-n x+m
= ；⑦ - = - ；⑧ =2+ ；⑨ + =2．
x a a x b x a a x+m x-n
【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有
意义 ．
【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是( )
x+2 3+x x-1 x a b x (x-1) 2
A． -3= ; B． =3-x; C． - = - ; D． =1
5 6 7+a a b a b x-1
【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：2 2 2 1 x-1 1 x+1 2x
① x2=1；② -x2=1；③ =x；④ +3= ；⑤ =2；⑥2x-3 y=0；⑦ -3= ；⑧
3 π 3x x-2 x-2 x 2 7
x+1 3 5
+3；⑨ = ，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
x-2 x-2 x
【知识点1 解分式方程】
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技
巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型2 分式方程的一般方法】
【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：
x x+8
① + =1
x-3 x(x-3)
1 1-x
② = -4
x-2 2-x
【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
2 3
(1) = ；
x-3 x
x 3
(2) -1= ．
x-1 (x-1)(x+2)
【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：
3 2 8
题目：解分式方程： - =
x-2 x+2 x2-4
解：方程两边同时乘以(x+2)(x-2)⋯⋯A
得：3（x+2)-2(x-2)=8⋯⋯B
去括号得：3x+6-2x+4=8⋯⋯C
解得：x=-2⋯⋯D
所以原分式方程的解是：x=-2⋯⋯E
(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号： ；
(2)错误的原因是 ；(3)订正错误．
【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：
a※b=(a+b)÷b．
1 ( 2 )
(1)计算： ※ - ；
m-1 m+1
1 ( 2 ) 1
(2)若 ※ - +1= ，求m的值．(要求写出解方程过程)
m-1 m+1 6
【题型3 换元法解分式方程】
【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
x-1 4x
解方程： - =0．
x x-1
x-1 4
解：设y= ，则原方程化为y- =0，方程两边同时乘y，得y2-4=0，
x y
4
解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y- =0的解．
y
x-1 x-1 1
当y=2时， =2，解得x=-1；当y=-2时， =-2，解得x= ．
x x 3
1
经检验：x=-1和x= 都是原分式方程的解，
3
1
所以原分式方程的解为x=-1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
x+1 2x-1
用换元法解： - =0．
2x-1 x+1
【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程
x2-1 6x+10 ，用 x2-1 换元整理后得到的关于y的整式方程是 ．
= +1 y=
3x+5 x2-1 3x+5
【答案】y2-y-2=0
x-1 3
【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程： － －1＝0.
x+2 x-1
x-1 27
【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程： - -9=0．
x+2 x-1【题型4 裂项法解分式方程】
【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1- ； = - = - ；…．
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
请利用你所得的结论，解答下列问题：
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1
(2)解方程 + + +⋅⋅⋅+ =2．
x+10 (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+9)(x+10)
1 1 1 1 6
(3)若 + + +⋅⋅⋅+ = ，求n的值．
1×4 4×7 7×10 (3n+1)(3n+4) 19
3 1
【变式4-1】解方程： =
(x-1)(x-4) x-1
【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：
1 1 1 1 1
+ + +⋯+ =
(x-10)(x-9) (x-9)(x-8) (x-7)(x-6) x(x+1) x+1
1 1 1 1 1
【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】
m(x+1)-5
【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程 =m-3无解，则m的值为（ ）
2x+1
A．3 B．6或10 C．10 D．6
3 6 x+k
【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程 + - =0有解，则k满
x x-1 x(x-1)
足 ．
2 x
【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程 + =■有解，其中“■”表示
x-1 1-x
一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是-1或
0，试确定“■”表示的数．
【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：
y 2 mx
x※y= ，例如：1※2= =-2，则分式方程-1※x= -1无解时，m的值是 ．
x2- y 12-2 x-1【题型6 由分式方程有增根求字母的值】
ax+b
【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程 =b，其中a，b均为整数且a≠0．
x-1
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
ax+1
【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程 -1=0有增根，则a的值为
x-1
．
1 b-x
【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程 +3= 有增根，则a的值是
x-2 a+x
（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
x+k 4
【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程 -1= 若有增
x-1 x2-1
根，则k的值是 ．
【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】
x+a 2a
【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程 + =5的解是非负整数解，且
x-2 2-x
a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18 B．16 C．12 D．6
1-ax 1
【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程 +3= 有正整数解，
x-2 2-x
则整数a= ．
2 m
【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程 = 有正整数解，则整数m的
x-1 x
值是 ．
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组¿无解，关于y的分式方程
a 2 8
- = 有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
y y-2 2y- y2
A．6 B．9 C．10 D．13
【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】
m-2
【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程 =1的解是负数，则m的取值范围是（
x+1）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
m+3
【变式8-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程 =1的解不大于2，
2x-1
则m的取值范围是 ．
1 k-1
【变式8-2】（2023下·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程 +2= ．
x-1 1-x
(1)若分式方程的解为x=2，求k的值．
(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．
2 m
【变式8-3】（2023上·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程 =1- 的
x-3 3-x
解为非负数，则m的取值范围是 ．
【题型9 分式方程的规律问题】
【例9】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
1 1 1
方程x+ =2+ 的解为x =2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x =3，x = ；
x 3 1 2 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x =4，x = ；
x 4 1 2 4
…
1 1
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =a+ 的两个解是 ．
x a
2y+5 17 1 1
(2)解方程：y+ = ，可以变形转化为x+ =a+ 的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的
y+2 4 x a
结论求解．
2x-3 x+1 37
(3)方程 + = 的解为 ．
x+1 2x-3 6
【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x＝1；
x+1 x x-2 x-3
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x＝2；
x x-1 x-3 x-4
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x＝3；
x-1 x-2 x-4 x-5…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；
(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．
【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：
2 1×2
①x+ =3可转化为x+ =1+2，解得x =1,x =2，
x x 1 2
6 2×3
②x+ =5可转化为x+ =2+3，解得x =2,x =3，
x x 1 2
12 3×4
③x+ =7可转化为x+ =3+4，解得x =3,x =4，
x x 1 2
⋯⋯
m2+4m-12
根据以上规律，关于x的方程x+ =2m-1(m为常数)的解为 ．
x+5
【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：
1 2
① = -1的解x= ．
x+1 x+1
2 4
② = -1的解x= ．
x+1 x+1
3 6
③ = -1的解x= ．
x+1 x+1
4 8
④ = -1的解x= ．
x+1 x+1
…
（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．
（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【题型10 分式方程的新定义问题】
【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方
a 1 a
程 +1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程 +1=b的一个“方程数
x a+b x
a
对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=-5就是关于x的分式方程 +1=b的一个“方程数对”，记为[2，-5
x
]．a
(1)判断数对①[3，-5]，②[-2，4]中是关于x的分式方程 +1=b的“方程数对”的是 ；（只填序号）
x
a
(2)若数对[n，3-n]是关于x的分式方程 +1=b的“方程数对”，求n的值；
x
a
(3)若数对[m-k，k]（m≠-1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“方程数对”，用含m的代
x
数式表示k．
【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=¿，例如：
2 2×4 8
F(3,1)= =1，F(-1,4)= = ．
3-1 4-(-1) 5
（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)-F(2,m)=1，求出m的值．
【变式10-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个
方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程
为“相伴方程”．
2x+1 4
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程 -1= 是否是“相似方程”，并说明理由；
2x-1 4x2-1
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【变式10-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）综合与实践：对x，y定义一种新运算T，规定
ax2+b y2
T(x,y)= （其中a，b是非零常数，且x+ y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：
x+ y
a×32+b×12 9a+b am2+4b
T(3,1)= = ，T(m,-2)= ．
3+1 3+1 m-2
(1)填空：T(4,-1)=_________．（用含a，b的代数式表示）
13
(2)若T(-2,0)=-2，且T(5,-1)= ．
2
①求a，b的值；
②若，求m的值．
