专题28.1锐角的三角函数（十大题型）（举一反三）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2024版

专题 28.1 锐角的三角函数【十大题型】 【人教版】 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】..............................................................................................................2 【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】.........................................................................................2 【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】.................................................................................................3 【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】.........................................................................................................4 【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】.....................................................................................5 【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】.................................................................................................6 【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】.........................................................................................................6 【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】.................................................................................................7 【题型9 利用同角三角函数关系求值】..................................................................................................................7 【题型10 三角函数的综合运用】..............................................................................................................................8 【知识点 锐角三角函数】 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，则 的三角函数如下表： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 A的对边 a 0sin A1 sin AcosB sinA sinA 斜边 c (∠A为锐角) cos AsinB 余弦 A的邻边 b 0cosA1 sin2 Acos2 A1 cosA cosA 斜边 c (∠A为锐角) 正切 A的对边 a tanA 0 tanA tanA A的邻边 b (∠A为锐角) 2. 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 2 3 sin 2 2 2 cos 3 2 1 2 2 2 3 tan 1 3 3【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 【例1】（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°， 则下列比值中不等于cosB的是（ ） CD BD CD CB A． B． C． D． AC CB CB AB 【变式1-1】（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b为∠B的对边，a为 ∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（ ） A．a=bsin∠A B．a=bcos∠A C．a=btan∠A D．a=b÷tan∠A 【变式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5 倍，则sin A的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【变式1-3】（2023秋·吉林长春·九年级校考期中）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起 重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D， BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（ ） AB BC AB AC A．sinα= B．sinα= C．sinα= D．sinα= BC AB AC AB 【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】 【例2】（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将 △ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（ ）1 3 4 A． B． C．1 D． 2 4 3 【变式2-1】（2023·内蒙古·二模）如图，在 ▱ABCD中，AD>AB，按如下步骤作图：①以点A为圆心， 1 以AB的长为半径作弧，交AD于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号 BE的长为半径在BE右侧作 2 弧，两弧交于点G，③射线AG交BC于点F．若AB=5，BE=6，则cos∠AFB的值为( ) 3 4 3 4 A． B． C． D． 4 3 5 5 【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知正方形ABCD中，AB=3，点E为直线BC上一点， BE=2EC，连接AE．则sin∠DAE的值为 ． 【变式2-3】（2023·福建龙岩·九年级统考自主招生）如图，在△ABC中，点F为其重心，连接AF、BF 并延长分别交BC、AC于点D、E，且AB=AC=13，CD=5，则cos∠EBC= ． 【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】 【例3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，E是边CB延长线上 的一点，BE=6．点F在该正方形的边上运动，当CF=AE时，设直线CF与直线EA相交于点H，则FH 的长为 ．【变式3-1】（2023秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中， 1 ∠BAC=90°，点G为△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG= ，那么BC的长等于 ． 3 【变式3-2】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB， 已知CE=3，BE=4，DE=5． (1)求证：BE⊥CD； (2)求sin∠DAE． 【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作 AE∥BC，且AE=DC，连接CE． (1)求证：四边形ADCE是矩形： 3 (2)若AB=5，cosB= ，求CE的长． 5【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】 【例4】（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）计算：√(-3) 2+(π-2022) 0-|2cos45°-2|+ ( - 1) -1 ． 2 ( 2 1 ) a+6 【变式4-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式 - ÷ 的 a-2 a+2 a+2 值，其中a=tan60°+2tan45°． 【变式4-2】（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）计算： (1)√2sin45°+tan60°-2cos30°； tan60°-tan45° (2) +2sin60°+6tan230°． 1+tan60°⋅tan45° 【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式 2a-2b ( 2ab-b2 )的值，其中 ； ． ÷ a- a=3tan30°+1 b=√2sin45° a a 【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 【例5】（2023秋·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，将△ ACD沿直线CD折叠，点A在AB边上的点E处，已知AC=5,DE=3，则sin∠BCE的值为（ ） 7 3 4 24 A． B． C． D． 25 5 5 25 【变式5-1】（2023·内蒙古包头·二模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连 接CE．若∠ADB=30°，则cos∠DEC的值为（ ）√3 √3 2√7 √7 A． B． C． D． 2 3 7 2 【变式5-2】（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐 角）为∠1，则tan∠1= ． 【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ABC=60°，点D是直线BC 上一点，若AB=16，BD=10(BC>BD)，sin∠BAD的值为 【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 【例6】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且 ，则 是（ ） |tanB-√3|+(2cosA-√3) 2=0 △ABC A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）在△ABC中，若AB=AC=2，BC=2√3，则∠A= 度． 【变式6-2】（2023秋·云南昆明·九年级云大附中校考期末）若菱形的周长为8√2，高为2，则菱形两邻角 的度数比为（ ） A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1 1 【变式6-3】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且cosB= ， 2 tanC=3√3． (1)求∠B的度数． (2)求BC的长． (3)求△ABC的面积．【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】 【例7】（2023秋·湖南衡阳·九年级湖南省衡南县第一中学校考阶段练习）三角函数 sin40°、cos16°、tan50°之间的大小关系是（ ） A．tan50°>cos16°>sin40° B．cos16°>sin40°>tan50° C．cos16°>tan50°>sin40° D．tan50°>sin40°>cos16° 【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）已知∠B是 ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是 ． △ 1 【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的 ， 5 那么锐角A的各个三角函数值（ ） 1 A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定 5 【变式7-3】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的差（ ）． A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 √3 【例8】（2023春·九年级单元测试）若∠A是锐角，cos∠A> ，则∠A应满足 ． 2 √3 【变式8-1】（2023春·九年级课时练习）已知 ＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是 2 【变式8-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知√ ( 1) 2 1 ，则锐角 的取值范围是 sinα- = -sinα α 2 2 ． 【变式8-3】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 【题型9 同角三角函数关系】 【例9】（2023春·九年级单元测试）在△ABC中，∠C=90°，则sinA+cosA的值（ ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不确定，与∠A的值有关 【变式9-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 （ ） A．sin70°>cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70° C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70° 【变式9-2】（2023春·全国·九年级专题练习）求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α=1．要求：(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保 留作图痕迹，不写作法）． (2)根据（1）中所画图形证明该命题． 【变式9-3】（2023春·九年级单元测试）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题： 如图1： sin2∠A +sin2∠B = 1 1 如图2： sin2∠A +sin2∠B = 2 2 如图3： sin2∠A +sin2∠B = 3 3 ①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ； ②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和 勾股定理，证明你的猜想； ③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B． 【题型10 三角函数综合运用】 【例10】（2023秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，E是 3 边AC的中点，BC=AD=20，cosB= ．求： 5(1)线段BD的长； (2)∠EDC的余切值． 【变式10-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在平直角坐标系中，OB=10， 4 cos∠AOB= ，点A的坐标为(20,0)． 5 (1)求点B的坐标； (2)求sin∠OAB的值． 【变式10-2】（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上靠近点 A的三等分点，连接DE，延长EA至点F，使得AF=AE，连接CF． (1)试判断DE与CF的位置关系，并说明理由； (2)CE与AD交于点G，若∠CED=90°，求证：G是AD的中点； sin∠CBG (3)在（2）的条件下，连接BG，求 的取值范围． sin∠ABG 【变式10-3】（2023·山东滨州·九年级统考自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问 题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，cosα的式子表 示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则 ∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可 以求出 CD sinα⋅AC sinα⋅cosα sin2α= = = =2sinα⋅cosα OC 1 1 ． 2 2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1． 1 (1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC= ，则sinα=______，sin2α=______； 2 (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．