专题28.1锐角的三角函数（十大题型）（举一反三）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2023版

专题 28.1 锐角的三角函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 锐角的三角函数概念辨析】...................................................................................................................1
【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】...................................................................................................2
【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】................................................................................................4
【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】...........................................................................................................5
【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】................................................................................................6
【题型6 求特殊角的三角函数值】.......................................................................................................................7
【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】.......................................................................................................8
【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】.......................................................................................................8
【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】................................................................................................9
【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】..............................................................................................10
【知识点1 锐角三角函数】
在 中， ，则 的三角函数为
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 A的对边 a 0sin A1
sinA sinA
斜边 c (∠A为锐角) sin AcosB
余弦 A的邻边 b 0cosA1 cos AsinB
cosA cosA
斜边 c (∠A为锐角) sin2 Acos2 A1
正切 A的对边 a tanA 0
tanA tanA
A的邻边 b (∠A为锐角)
【知识点2 特殊角的三角函数值】
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3【题型1 锐角的三角函数概念辨析】
BC 3
【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（
AB 5
）
3 3 4 4
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
5 5 3 3
【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下
列比值中不等于cosB的是（ ） △
CD BD CD CB
A． B． C． D．
AC CB CB AB
【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c，下列结论正确的是（ ） △
A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB
【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同
的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、
图②中各画一个图形， 满足以下要求：(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等．
3
(2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB= ．
4
【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】
【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，
点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为( )．
1 4 2 3
A． B． C． D．
3 5 3 5
3
【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA= ，BE＝2，则
5
tan∠DBE的值是（ ）
1 √5 √5
A． B．2 C． D．
2 2 5
【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC
的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（ ）
√5 √5 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin(∠1+∠2)=（ ）
1 √2 √3 √3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点
P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3 B．2 C．2√2 D．3√2
【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB
BD 1
上，且 = ，则tan∠BCD的值是（ ）
AD 3
1 2√2 3√3
A． B．1 C． D．
3 3 2
【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，
CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝4√2，AF＝12，则tan∠CEF＝___．【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长
1 AC
线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝ ，则 的值为 _____．
2 BC
【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】
【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为 ABC的角平分
线，若CD=2，则AB的长为（ ） △ △
A．3 B．2√2+2 C．4 D．√2+2
【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝2√3，∠ABC＝60°，矩形
BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）3 3√3
A． B． C．√6 D．3
2 2
【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在
4
△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2，tan∠BAC= ，则AC的长为______．
3
【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接
DE．
(1)求证：四边形BCED是菱形．
(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6，请直接写出BE的
长度．
【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（ ）
①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；
③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若， | sinB- 1| +(tanA-√3) 2=0，
2
则∠C=__________度．
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为8√2，高为2，则菱形两邻角的度数
比为（ ）
A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1
√3
【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=- x+√3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线
3
段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当∠POQ=______度时，线段
OQ的最小值为______．
【题型6 求特殊角的三角函数值】
【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所
示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）1 1 √3 √3
A． B． C． D．
3 2 3 2
【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：
(1)3tan30°+tan45°+2sin30°．
(2)cos230°+tan30°×sin60°-√2cos45°．
【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，
AC＝6，则sin∠ABC＝____．
【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、
O都在格点上，则∠AOB的正切值是______．
【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】
【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填
序号）
①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cosα；③当0°<α<β<90°时，0<sinα<sinβ<1；④
sinα=cosα⋅tanα．
1
【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sinα⋅cosα= ，且0°<α<45°，则cosα-sinα
8
的值为___．
【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α＝1．
要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt ABC保留作图痕迹，
△不写作法）
②根据①中所画图形证明该命题．
【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sinα，cosα为方程x2+px+q=0的两根，则p、q应满足
的关系式为_______.
【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】
3
【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在 ABC中，∠C＝90°，sinA= ，则sinB等于( )
5
△
2 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 5 4
12
【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝ ，则sin(90°－α)的值是( )
13
5 12 5 12
A． B． C． D．
13 13 12 5
【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ=√3，则α=
________．
【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果：
tan7°⋅tan83°=1
tan22°⋅tan68°=1
tan29°⋅tan61°=1
tan37°⋅tan53°=1
tan45°⋅tan45°=1
根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tanα⋅tan(90°-α)=1
（1）当α=30°时，验证tanα⋅tan(90°-α)=1是否成立；
（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角
的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直， ： ， ： ，
l y =k x+b l y =k x+b (b ≠b )
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时 和 的数量关系，并画图证明．
(k ⋅k ≠0) k k
1 2 1 2【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】
【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin40°、cos16°、tan50°之间的大小关系
是（ ）
A．tan50°>cos16°>sin40° B．cos16°>sin40°>tan50°
C．cos16°>tan50°>sin40° D．tan50°>sin40°>cos16°
【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA<sinB B．sinB<sinC C．sinA<sinC D．sinC<sinA
√3
【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知 <cosA<cosB，A，B均为锐角，则A
2
的取值范围是（ ）
A．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°
【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子
的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡
B．cosA的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关
【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】
【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB
1
＝AC＝10√2cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝ ，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连
5
接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．(1)填空：BC＝ ，BD＝ ；
(2)点P运动几秒，DQ最短；
(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S BDQ＝8，求tan∠BDQ；
△
(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．
【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,-1)，点A ，
1 1
A ，A ，A ，A …所在直线与x轴交于点B (-2,0)，点B ，B ，B ，B …都在x轴上，△A B B ，
2 3 4 5 0 1 2 3 4 1 1 2
△A B B ，△A B B ，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A B B 的腰长A B 为
2 2 3 3 3 4 2022 2022 2023 2022 2022
_______________．
【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三
角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．
（1）求证：ΔADG∽ΔABF；
（2）如图2，若∠BAC=90°，AB=2√2，AC=3√2，求∠AGD的正切值；
（3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关
系，并加以证明．
【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课上，老师出示
了一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，
BF⊥MN，垂足为F，则AE与CF的数量关系是 ．（2）【拓展探究】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足
为E，BF⊥MN，垂足为F，试猜想AE与CF的数量关系，并加以证明．
（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E为AC的中点，F为边BC上
一点，CE＝CF，P为AB上一点（不与A、B重合），D为射线EF上一点，当△CDP为等腰直角三角形时．
①tan∠EFC＝ ．
②求出BP的长度．