专题28.1锐角的三角函数（十大题型）（举一反三）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2023版

专题 28.1 锐角的三角函数【十大题型】 【人教版】 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】...................................................................................................................1 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】...................................................................................................2 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】................................................................................................4 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】...........................................................................................................5 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】................................................................................................6 【题型6 求特殊角的三角函数值】.......................................................................................................................7 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】.......................................................................................................8 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】.......................................................................................................8 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】................................................................................................9 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】..............................................................................................10 【知识点1 锐角三角函数】 在 中， ，则 的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 A的对边 a 0sin A1 sinA sinA 斜边 c (∠A为锐角) sin AcosB 余弦 A的邻边 b 0cosA1 cos AsinB cosA cosA 斜边 c (∠A为锐角) sin2 Acos2 A1 正切 A的对边 a tanA 0 tanA tanA A的邻边 b (∠A为锐角) 【知识点2 特殊角的三角函数值】 三角函数 30° 45° 60° 1 2 3 sin 2 2 2 cos 3 2 1 2 2 2 3 tan 1 3 3【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 BC 3 【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（ AB 5 ） 3 3 4 4 A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 5 5 3 3 【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下 列比值中不等于cosB的是（ ） △ CD BD CD CB A． B． C． D． AC CB CB AB 【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、 c，下列结论正确的是（ ） △ A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB 【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同 的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、 图②中各画一个图形， 满足以下要求：(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等． 3 (2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB= ． 4 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5， 点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为( )． 1 4 2 3 A． B． C． D． 3 5 3 5 3 【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA= ，BE＝2，则 5 tan∠DBE的值是（ ） 1 √5 √5 A． B．2 C． D． 2 2 5 【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC 的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（ ） √5 √5 2 3 A． B． C． D． 2 3 3 4 【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin(∠1+∠2)=（ ） 1 √2 √3 √3 A． B． C． D． 2 2 2 3 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点 P，则∠APD的正切值为（ ） A．3 B．2 C．2√2 D．3√2 【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB BD 1 上，且 = ，则tan∠BCD的值是（ ） AD 3 1 2√2 3√3 A． B．1 C． D． 3 3 2 【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处， CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝4√2，AF＝12，则tan∠CEF＝___．【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长 1 AC 线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝ ，则 的值为 _____． 2 BC 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为 ABC的角平分 线，若CD=2，则AB的长为（ ） △ △ A．3 B．2√2+2 C．4 D．√2+2 【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝2√3，∠ABC＝60°，矩形 BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）3 3√3 A． B． C．√6 D．3 2 2 【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在 4 △ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2，tan∠BAC= ，则AC的长为______． 3 【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接 DE． (1)求证：四边形BCED是菱形． (2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6，请直接写出BE的 长度． 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（ ） ①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC； ②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°； ③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°； ④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若， | sinB- 1| +(tanA-√3) 2=0， 2 则∠C=__________度． 【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为8√2，高为2，则菱形两邻角的度数 比为（ ） A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1 √3 【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=- x+√3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线 3 段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当∠POQ=______度时，线段 OQ的最小值为______． 【题型6 求特殊角的三角函数值】 【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所 示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）1 1 √3 √3 A． B． C． D． 3 2 3 2 【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算： (1)3tan30°+tan45°+2sin30°． (2)cos230°+tan30°×sin60°-√2cos45°． 【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°， AC＝6，则sin∠ABC＝____． 【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、 O都在格点上，则∠AOB的正切值是______． 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】 【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填 序号） ①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cosα；③当0°<α<β<90°时，0cos16°>sin40° B．cos16°>sin40°>tan50° C．cos16°>tan50°>sin40° D．tan50°>sin40°>cos16° 【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ） A．sinA