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专题 28.1 锐角三角形函数与特殊角的三角函数值之九大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析】....................................................................................................1
【考点二 求角的正弦值】................................................................................................................................3
【考点三 求角的余弦值】................................................................................................................................6
【考点四 求角的正切值】................................................................................................................................9
【考点五 已知正弦值求边长】......................................................................................................................12
【考点六 已知余弦值求边长】......................................................................................................................14
【考点七 已知正切值求边长】......................................................................................................................16
【考点八 30°，45°，60°角的三角函数值】..........................................................................................19
【考点九 与特殊角的三函数有关的计算题】..............................................................................................20
【过关检测】...........................................................................................................................................22
【典型例题】
【考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析】
例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，在 中， ，则下列关系正确的
是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵在 中， ， ，
∴ ，故A错误，不符合题意，
，故B错误，不符合题意，
，故C错误，不符合题意，
，故D正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在 中， ， 为斜边 的高，D为垂足，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．
【详解】解：A、由 ，故该项错误，不符合题意；
B、由 ，故该项错误，不符合题意；
C、由 ，故该项错误，不符合题意；
D、由 ，故该项正确，符合题意；
故选D．【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键．
2．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）在 中， ， ，垂
足为D，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵在 中， ， ，
∴ ，故A正确，符合题意，
，故B错误，不符合题意，
，故C错误，不符合题意，
，故D错误，不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．
【考点二 求角的正弦值】
例题：（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图， 中， ，
， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出 ，再根据正弦函数的定义计算即可．【详解】∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理以及正弦函数的知识，结合图形，理解 ，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）在下列网格中，小正方形的边长均为1 ，点 都在
网格的顶点上，求 ．
【答案】
【分析】作 交 的延长线于 ，作 交 于 ，由题意可得 ， ，
， ，由 可得 ，再由正弦的定义进行计算即可得到答
案．
【详解】解：如图，作 交 的延长线于 ，作 交 于 ，
则 ， ， ， ，
，
，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅
助线是解此题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）在 中， ，点D是直线 上一点，若 ，
， 的值为
【答案】 或
【分析】分两种情况：点D在线段 上，点D在线段 的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即
可．
【详解】解：如图1，点D在线段 上，过点A作 于点E，过点B作 于点F，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图2，点D在线段 的反向延长线上，过点A作 于点E，过点B作 于点F，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；综上可知， 的值为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含 角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键．
【考点三 求角的余弦值】
例题：（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
， ， 于点D，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出 ，通过证明 ，即可得出
．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，求余弦，解题的关键是掌握勾股定理的内容，以及等角的三角函数值
相等．
【变式训练】1．（2023秋·九年级课时练习）如图， 在网格内，则 ．
【答案】 /
【分析】延长 到格点E，使 ，连接 ，取 的中点F，且点F在格点上，连接 ，证明
，根据 ，得出 ，证明 ，得出 ，求出
，即可得出 ．
【详解】解：延长 到格点E，使 ，连接 ，取 的中点F，且点F在格点上，连接 ，如
图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确构
造直角三角形是解题关键．
2．（2022春·九年级单元测试）（1）如图， 是 斜边上的高， ， ．则
的值是 ；
（2）在 中， ， 是角平分线， ， ，则 ．
【答案】 /0.8 /0.5
【分析】（1）先利用勾股定理可得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根据余弦的
定义即可得；
（2）如图（见解析），根据特殊角的余弦值可得 ，从而可得 ，由此即可得．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ，
是 斜边上的高，
，
，
，
故答案为： ；
（2）如图，在 中， ， 是角平分线， ， ，， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了余弦，熟练掌握余弦的定义是解题关键．
【考点四 求角的正切值】
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）在 中， ，
， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】直接利用正切的定义求解．
【详解】解：在 中， ,
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是答题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么
的值为 ．【答案】1
【分析】连接 ，根据勾股定理可求出 ， ，从而得出 ，则根据
勾股定理逆定理可得出 为直角三角形，且 ，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
由图可知 ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键．
2．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图所示，在矩形 中，点 在 上，将矩形沿
直线 折叠，使点 落在 边上的点 处．若 ， ，则 的值为 ．【答案】
【分析】首先利用勾股定理求得 ，设 ，则 ， ，在 中，由勾股定
理得， ，求出 ，再利用正切的定义求解．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
由翻折变换可知， ， ，
在 中，由勾股定理得，
，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得： ，
即 ，
在 中，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题和锐角三角函数，解决问题的关键是分清折叠前后的对应关系，用
勾股定理建立方程．
【考点五 已知正弦值求边长】
例题：（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在 中， ， ， ，则 的长
为（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，解题的关键是熟练掌握直角三角形中的锐角的正弦等于该角
的对边与斜边之比．
【变式训练】
1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，则 的长为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】先根据正弦函数得出 ，求出 ，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦函数，掌握三角函数的定义是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， 交 的延长线于点 ，已知
， ，则 的长为( )
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得 ，进而可得 ，根据正弦的
定义，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点六 已知余弦值求边长】
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知： 中， ， ，
，则 的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据余弦的定义可得 ，再代入数据可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选C
【点睛】本题考查的是已知锐角的余弦求解边长，熟记三角函数的定义是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习）如图，在 中，点D，E分别是边 的中点，
于点F， ， ，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求得 ，再由余弦定义即可求得结果．
【详解】解：∵D 、E分别是边 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．
2．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ， ，且
， ，则下底 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出 ， ，然后可得 ，然后问
题可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为 ．【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定
是解题的关键．
【考点七 已知正切值求边长】
例题：（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在 中， ，D是 的中点， ，
，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】利用正切的定义求得 ，再根据中点的意义即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握“正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值”是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2023·山东聊城·统考二模）在如图矩形 中，已知 丄 且 为 的中点， ，
，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过证得 ∽ ，根据对应边成比例求出 ，证明 根据对应边成比例
求出 即可．
【详解】解： ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
为 的中点，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，证得三角形相似是解题
的关键．2．（2023·江苏·模拟预测）如图， 中， ， ，点D是 的中点，点E在线段
上， ，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】由题可求出 ，取 中点 ，连接 ，则 是 的中位线，满足 ，
进而可求此时 ，然后在 上取一点 ，使得 ，则 是等腰三角形，再利用同角
的三角函数相等，设 ，即可解答．
【详解】解： 为 中点， ，
∵
，
∴
取 中点 ，连接 ，则 是 的中位线，此时 ， ，
，
∴
在 上取一点 ，使得 ，则 是等腰三角形，
过点 作 ，则 ，
， ，
∵，
∴
∴
，
∵
∴
设 ，则 ， ， ，
，
∵
，
∴
∵
，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质以及解直角三角形，根据 进行分情况求解是解题的关键．
【考点八 30°，45°，60°角的三角函数值】
例题：（2023秋·吉林长春·九年级统考期末） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据特殊锐角60°的三角函数正弦值得出答案．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习） 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
2．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）计算： ，
．
【答案】 1
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】∵ ， ，
故答案为： ，1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
3．（2023春·九年级单元测试）在 中，若 ，则 的度数是
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出 和 的度数，然后求出 的度数．
【详解】解：由题意得，
则 ，
∴
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
【考点九 与特殊角的三函数有关的计算题】
例题：（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）计算：
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）计算： ．【答案】
【分析】根据二次公式的乘法，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次公式的乘法，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂是
解题的关键．
2．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并即可解题．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
3．（2023·西藏·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即
可作答．
【详解】．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本
题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）计算 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
2．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）在 中， ， ， ，则下列三角函数值
不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角函数的定义．根据正弦、余弦、正切的定义求解即可．
【详解】解： 中， ， ， ，
∴ ，， ， ．
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
3．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）在 中，若 ，则 是
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值可求出 ，即得出 是等腰三角形．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
4．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每
个小正方形的顶点称为格点．点 、 、 、 均在格点上， 与 相交于点 ，则 的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 于E，由 可证 ，则可得 ，由此可求出 的长，
再在 中根据面积法求出 的长，再根据勾股定理求出 的长，即可求出 的余弦值，由于 ，因此可得 的余弦值．
【详解】
作 于E，
，
，
，
，
．
中 ，
．
，
，
解得 ，
．
，
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片
上，则 的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求解锐角的正切，本题先利用平行线的性质把 转化到已知直角三角形中，从而
可得答案，熟练的利用平行线的性质进行等角的转换是解本题的关键．
【详解】解：如图，先标注顶点，∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故选B．
二、填空题
6．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在 中， ， ， ，那么
．
【答案】4
【分析】本题考查了余弦．熟练掌握： 是解题的关键．根据 ，计算求解即可．【详解】解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，解得， ，
故答案为：4．
7．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）在 中， ，已知
，那么 的值是 ．
【答案】
【分析】先设出三角形的三边，再利用余弦的定义求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴设 ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与余弦值，解题关键是理解正弦与余弦的定义．
8．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，在 中， ， ，点 在边 上，且，则 ， ．
【答案】 /
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形外角性质可以求出 ，再利用 所对直角边是斜边的
一半，求出 ，由勾股定理得 ，最后由 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了勾股定理， 所对直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解
直角三角形，解题的关键熟练掌握以上知识的应用．
9．（2023上·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在 中， ， ，
，则 边的长为 ．
【答案】 或 / 或
【分析】作 于 ，根据“ ”，得出 ，计算出 、 ，根据勾股定理计算出 ，当 在 的内部时， ；当 在 的外部时， ．分类讨论计
算即可．
【详解】如下图，作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴在 中， ，
当 在 的内部时， ；
当 在 的外部时， ．
综上所述， 边的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了三角函数、含 角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握知识点分类讨论、计
算是解题的关键．
10．（2023上·八年级课时练习）如图，在 中，直角边 ， ， 为斜边 上
的高，点E从点B出发，沿直线 以 的速度移动，过点E作 的垂线交直线 于点F，则点E
的运动时间 s时， ．【答案】2或5
【分析】分点E沿着射线 运动和沿着射线 运动，两种情况，勾股定理和三角函数计算求解即可．
【详解】当点E沿着射线 运动时，如图，
∵ 中，直角边 ， ， 为斜边 上的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵点E从点B出发，沿直线 以 的速度移动，
∴ ；
当点E沿着射线 运动时，如图，∵ 中，直角边 ， ， 为斜边 上的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵点E从点B出发，沿直线 以 的速度移动，
∴ ；
故答案为：2或5．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确选择三角函数是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， ．求 的大小和 的长．
【答案】 ，
【分析】根据三角形内角和定理直接求出 ，利用三角函数求出 的长即可．
【详解】解：
；
∵ ，
∴
；
答： ， ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练特殊角的三角函数值．
12．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进
行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三
角函数值，二次根式的性质．
13．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角锐角函数值的混合运算：
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
14．（2023上·上海长宁·九年级上海市娄山中学校考期中）图，已知在 中， ，
，点 为边 延长线上一点， 连接 ．求 的正切值．
【答案】
【分析】本题主要考查解直角三角形，运用了三角函数概念，勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．
【详解】解：过点A作 与 交点H．
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴
， ．∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
则 ，
故答案为： ．
15．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）如图，已知 为半圆的直径，O为圆心，D是弧
的中点，四边形 的对角线 交于点E．
(1)试判断： 成立吗？说明理由；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，求弦 的长．
【答案】(1)成立，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）在 与 中，有 ，根据相似三角形的判定，
它们相似；
（2）由 ，可知 ，在 中，先由勾股定理求出 的值，再根据正弦
的定义求出 ，得出 的值；
（3）求弦 的长， 的值已求，求出 的值即可，可以通过求 得出．
【详解】（1）解：成立，
理由如下：
为半圆的直径，∴ ，
∵D是弧 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，圆的相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．（2023·广东湛江·统考二模）如图 是 直径，A是 上异于C，D的一点，点B是 延长线上
一点，连 、 、 ，且 ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，作 的平分线 交 于P，交 于E，连 、 ，若 ，求
的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，由 是 的直径可得 ，即 ，由 得到
，又 ，从而 ，即 ，又 为半径得证直线
是 的切线；
（2）易证 得到 ，设半径 ，则 , ，在 中，
，因此在 中， ；
（3）由 可得 ， ，在 中，根据 ， ，
求得 ， ，根据 ， ，证得 ，因此 ，
变形得到 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设半径 ，
∵ ，
∴ , ，
在 中， ，
在 中， ；
（3）解：在（2）的条件下， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ， ，
解得 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的相关知识，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，综
合运用各个知识是解题的关键．
