专题28.1锐角的三角函数（十大题型）（举一反三）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

专题 28.1 锐角的三角函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】..............................................................................................................2
【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】..................................................................................................................2
【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】..............................................................................................................3
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】.....................................................................................................4
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】.........................................................................................4
【题型6 比较三角函数值的大小】..........................................................................................................................4
【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】.....................................................................................................5
【题型8 求特殊角的三角函数值】..........................................................................................................................5
【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】.........................................................................................................7
【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】.....................................................................................................8
知识点：锐角的三角函数
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，则 的三角函数如下表：
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 A的对边 a 0sin A1 sin AcosB
sinA sinA
斜边 c
(∠A为锐角) cos AsinB
余弦 A的邻边 b 0cosA1 sin2 Acos2 A1
cosA cosA
斜边 c
(∠A为锐角)
正切 A的对边 a tanA 0
tanA tanA
A的邻边 b
(∠A为锐角)
2. 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（23-24九年级·湖南娄底·期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对
边，下列各式成立的是（ ）
a b a b
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
c c b a
【变式1-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角
∠A的正弦值、余弦值的变化情况是（ ）
1
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
2
C．都没有变化 D．不能确定
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为α，关于∠α的
三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【变式1-3】（23-24九年级·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于
tanA的是（ ）
BC CD BD AC
A． B． C． D．
AC AD CD AB
【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）当∠A+∠B=90°时，sinA=cosB．在Rt△ABC中，CD是斜
CD
边AB上的高，那么与 的值相等的锐角三角函数是 ．
AC
【变式2-1】（23-24九年级·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给
出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果
大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则cosθ−sinθ= ．【变式2-2】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，已知∠a的终边OP⊥AB，直线AB的方程为
y=−❑√3x+❑√3，则cosa=（ ）
1 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【变式2-3】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底
角的正弦值为 ．
【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】
4
【例3】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，cosB= ，E是边CD上一点（不
5
与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为
．
4
【变式3-1】（23-24九年级·广东佛山·期中）在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=25，则△ABC周
5
长= ．
【变式3-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，
3
AD=3，tanB= ，则DC的值为 ．
4【变式3-3】（23-24九年级·上海静安·期中）已知点P在第二象限，且OP=5，OP与x轴的负半轴的夹角
3
的余弦值是 ，则点P的坐标是 ．
5
【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例4】（23-24九年级·辽宁沈阳·开学考试）计算： ．
(π−2020) 0+(sin60°) −1−|tan30°−❑√3)+√38
【变式4-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）计算：
(1)|1−2cos30°)+❑√2sin45°−tan60°；
(2)tan45°−sin30°cos60°−cos245°．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）（1）计算：sin30°+4cos230°−tan45°+❑√3sin60°
（2）计算 ( − 1) −2 −|4−2❑√3)−tan60°−(−2022) 0 ．
2
【变式4-3】（23-24·湖南怀化·模拟预测）计算
1
−2❑√(1−tan60°) 2+sin260°+cos260°．
2sin45°−1
【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】
1
【例5】（23-24九年级·湖南衡阳·期中）在△ABC中， sinB=cos(90°−∠C)= ，那么△ABC是
2
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-1】（23-24·四川自贡·一模）在 中，若 满足| ❑√3) (1 ) 2 ，则
△ABC ∠A,∠B sin A− + −cosB =0
2 2
△ABC是 三角形．
【变式5-2】（23-24九年级·山东泰安·阶段练习）若 ，则以
(3tan A−❑√3) 2+|2sinB−❑√3|=0
∠A，∠B为内角的ΔABC的形状是 ．√ 1
【变式5-3】（23-24九年级·广东深圳·期末）若❑cos2A− +|tanB−❑√3)=0，那么△ABC的形状是
2
．
【题型6 比较三角函数值的大小】
【例6】（23-24九年级·浙江宁波·期末）角α，β满足0°<α<β<45°，下列是关于角α，β的命题，其中
错误的是（ ）
❑√2
A．0<sinα< B．0<tanβ<1 C．cosβ<sinα D．sinβ<cosα
2
【变式6-1】（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）比较大小：tan40° tan50°（填“>”“=”或“<
”）．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA<sinB B．sinB<sinC C．sinA<sinC D．sinC<sinA
【变式6-3】（23-24九年级·山东东营·开学考试）三角函数sin30°、cos16°、sin43°之间的大小关系是
（ ）
A．sin43°>cos16°>sin30° B．cos16°>sin30°>sin43°
C．cos16°>sin43°>sin30° D．sin43°>sin30°>cos16°
【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】
【例7】（23-24·江苏南京·一模）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
4
【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）若cosα= ，则锐角α满足（ ）
5
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
【变式7-2】（23-24九年级·广东梅州·期末）若sinA=0.8，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°
C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
【变式7-3】（23-24·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填
“＞”，“＝”或“＜”）【题型8 求特殊角的三角函数值】
【例8】（23-24九年级·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，
tanα+tanβ
tan(α+β)= (1−tanα⋅tanβ≠0)．
1−tanα⋅tanβ
利用这些公式求出下列三角函数值．
(1)sin75°
(2)cos105°
【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）学习完特殊角的三角函数，爱思考的小明同学想探究一下
tan15°的值．他的做法是：如图，先画Rt△ABC，使得∠C=90°,∠BAC=30°，再延长CA到D，使
DA=AB，连接BD．你能根据小明的做法，求出tan15°的值吗？请你试一试．
【变式8-2】（23-24·浙江杭州·三模）在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角
函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
1
(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2______tan ∠A（填“＝”或
2
“≠”）；
1
(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan ∠A；
2
1 1
小明想构造包含 ∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝ ∠A，即转化为求
2 2
∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
1
(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ．求tan2A的值．
3【变式8-3】（23-24·辽宁大连·一模）经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇
67°30′角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他
决定通过构造已学的特殊角（如30°，45°，60°），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，
请你帮助小胖同学求出：67°30′角的正切值为（ ）
❑√❑√2+1
A．❑√2-1 B．❑√4+2❑√2 C． D．❑√2+1
❑√2❑√2
【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，
一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可
以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad)．如
CB
图1，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边÷腰= ．容易知道一个角的
BA
大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算：sad60°=______；
(2)对于0°<A<90°，∠A的正对值sadA的取值范围是______；
3
(3)如（3）图，已知sinA= ，∠BCA=90°，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
5
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的
c
比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则csc A= ，那么下列
a
说法正确的是（ ）
b
A．cscB⋅sinA=1 B．cscB=
cC．csc A⋅cosB=1 D．csc2A+csc2B=1
【变式9-2】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）定义：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ，
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ；
例如：cos30°=cos(60°−30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°
1 ❑√3 ❑√3 1 ❑√3
= × + × =
2 2 2 2 2
(1)cos15°=______，sin90°=______，sin2x=______；
sinA
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AB=c，AC=b；求证：tanA= ；
cosA
(3)利用（2）中的结论证明：
tanα+tanβ
tan(α+β)= （1−tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0）．
1−tanαtanβ
【变式9-3】（23-24九年级·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正
底边 BC
对．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作preA，这时preA= = ．仔细阅读上述
腰 AB
关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程）
(1)pre60°的值为（ ）．
1 ❑√3
A． B．1 C． D．2
2 2
(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值preA的取值范围是 ．8
(3)如果AB=AC，sinA= ，其中∠A为锐角，试求preA的值．
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【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】
【例10】（23-24九年级·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
sin2A +cos2A = sin2A +cos2A = sin2A +cos2A =
1 1 2 2 3 3
(2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+cos2A= ；
(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义
和勾股定理，证明你的猜想；
12
(4)若0°<∠A<90°，且sinA⋅cosA= ，求sinA+cosA的值．
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【变式10-1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联
结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝❑√3，求S 的值．
ΔAEF
2 S
ΔABC
【变式10-2】（2024九年级·安徽合肥期末）在△ABC中，∠C=90°，则下列结论正确的是（ ）．
A．sinA>cosA B．0<tanA<1 C．sinA+cosA=1 D．sin2A+cos2A=1
【变式10-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、
a b a
b、c，则sinA= ，cosA= ，tanA= ．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，...试探求sin A、
c c bcosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．