专题28.1锐角的三角函数（十大题型）（举一反三）（人教版）（教师版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

专题 28.1 锐角的三角函数【十大题型】 【人教版】 【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】..............................................................................................................2 【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】..................................................................................................................4 【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】..............................................................................................................8 【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】...................................................................................................12 【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】.......................................................................................13 【题型6 比较三角函数值的大小】........................................................................................................................15 【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】...................................................................................................17 【题型8 求特殊角的三角函数值】........................................................................................................................19 【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】.......................................................................................................23 【题型10 同角（互余）两角的三角函数关系】...................................................................................................29 知识点：锐角的三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，则 的三角函数如下表： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 A的对边 a 0sin A1 sin AcosB sinA sinA 斜边 c (∠A为锐角) cos AsinB 余弦 A的邻边 b 0cosA1 sin2 Acos2 A1 cosA cosA 斜边 c (∠A为锐角) 正切 A的对边 a tanA 0 tanA tanA A的邻边 b (∠A为锐角) 2. 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 2 3 sin 2 2 2 cos 3 2 1 2 2 2 3 tan 1 3 3【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】 【例1】（23-24九年级·湖南娄底·期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对 边，下列各式成立的是（ ） a b a b A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB= c c b a 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余 弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， b A. sinB= ，故该选项不成立，不符合题意； c a B. cosB= ，故该选项不成立，不符合题意； c b C. tanB= ，故该选项不成立，不符合题意； a b D. tanB= ，故该选项成立，符合题意． a 故选：D． 【变式1-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角 ∠A的正弦值、余弦值的变化情况是（ ） 1 A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 2 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角 形相似．根据一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后∠A的度数没有发生变化，可 以判断是否变化． 【详解】解：∵一个△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍， ∴ ∠A的度数没有发生变化，∴锐角∠A的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 【变式1-2】（23-24九年级·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为α，关于∠α的 三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ） A．sinα的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡 C．tanα的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，sinα值越大∠α越大；cosα值越小 ∠α越大；tanα值越大∠α越大，从而判断出答案． 【详解】解：A、sinα的值越大，则∠α越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、cosα的值越大∠α越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、tanα的值越小∠α越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与∠α的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（23-24九年级·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 tan A的是（ ） BC CD BD AC A． B． C． D． AC AD CD AB 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 BC 在Rt△ABC中，tanA= ，故A不符合题意； ACCD 在Rt△ACD中，tan A= ，故B不符合题意； AD ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD BD ∴tanA=tan∠BCD= ，故C不符合题意； CD AC tanA≠ ，故D符合题意． AB 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】 【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）当∠A+∠B=90°时，sin A=cosB．在Rt△ABC中，CD是斜 CD 边AB上的高，那么与 的值相等的锐角三角函数是 ． AC 【答案】sin∠A，cos∠ACD，sin∠BCD，cos∠B 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵CD是斜边AB上的高， ∴∠A+∠ACD=90°， CD ∴sin∠A=cos∠ACD= ， AC ∵∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A， ∴sin∠A=sin∠BCD， ∵∠BCD+∠B=90°， ∴sin∠BCD=cos∠B，CD ∴sin∠A=cos∠ACD=sin∠BCD=cos∠B= ， AC 故答案为：sin∠A，cos∠ACD，sin∠BCD，cos∠B． 【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键． 【变式2-1】（23-24九年级·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给 出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果 大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则cosθ−sinθ= ． 2 【答案】 5 【分析】根据题意，如图所示，大正方形的边长AB=5，小正方形的边长CD=2，得到AC=BD，从而 AD BD CD 2 cosθ−sinθ= − = = ，即可得到答案． AB AB AB 5 【详解】解：如图所示： ∵大正方形的面积是25，小正方形面积是4， ∴大正方形的边长AB=5，小正方形的边长CD=2， ∵AC=BD， AD BD AD−BD CD 2 ∴cosθ−sinθ= − = = = ， AB AB AB AB 5 2 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键． 【变式2-2】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，已知∠a的终边OP⊥AB，直线AB的方程为 y=−❑√3x+❑√3，则cosa=（ ）1 ❑√2 ❑√3 ❑√3 A． B． C． D． 2 2 2 3 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出A、B OB ❑√3 的坐标，得到OA、OB、AB的长度，根据三角函数的定义即可求出cos∠ABO= = 的值,再证明 AB 2 α=∠ABO即可得到答案． 【详解】解：根据题意：直线AB的方程为y=−❑√3x+❑√3， 令y=0，则x=1，令x=0，则y=❑√3， ∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为(0,❑√3)， 故AO=1，BO=❑√3； OB ❑√3 ∴AB=❑√OB2+OA2=2，cos∠ABO= = ， AB 2 ∵OP⊥AB， ∴∠BPO=90° ∴α+∠BOP=90°，∠ABO+∠BOP=90°， ∴∠α=∠ABO， ❑√3 ∴cosa=cos∠ABO= ． 2 故选：C． 【变式2-3】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底 角的正弦值为 ． ❑√7 2❑√2 【答案】 或 4 3 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．本题易错，容易丢掉腰为6底为4的情况． 【详解】解：如图：当腰为4，底为6时， 过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=3，∠B=∠C． 在直角△ABD中， AD=❑√AB2−BD2=❑√7． AD ❑√7 ∴sinC=sinB= = ． AB 4 如图：当腰为6，底为4时， 过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=2，∠B=∠C． 在直角△ABD中， AD=❑√AB2−BD2=4❑√2． AD 4❑√2 2❑√2 ∴sinC=sinB= = = ． AB 6 3 ❑√7 2❑√2 故答案为： 或 ． 4 3【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】 4 【例3】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，cosB= ，E是边CD上一点（不 5 与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 40 【答案】 13 【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得AF=AD=AB，过点A 作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，得BH=HF=4, CF=3,由菱形的性质得∠DCF=∠B CG 4 ，可得 = ，设CG=4 y,则CE=5 y,由勾股定理得EG=3 y,由折叠得EF=DE=5−5 y,而 CE 5 FG=FC−CG=3−4 y，在Rt△EFG中由勾股定理得(3−4 y) 2+(3 y) 2=(5−5 y) 2，解方程求出y的值即 可解决问题 【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，点D与点F重合，如图， 由折叠得，AF=AD=AB=5, ∴BH=AH， BH 4 ∵cos∠B= = ， AB 5 ∴BH=4, ∴BF=2BH=8, ∴FC=AF−AC=8−5=3, ∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB, ∴∠DCF=∠B, 4 CG ∴cos∠DCF=cos∠B= = , 5 CE 设CG=4 y,则CE=5 y，FG=CF−CG=3−4 y, 由折叠得，EF=DE=5−5 y, 在Rt△CEG中，由勾股定理得，EG=❑√CE2−CG2=3 y, 在Rt△FEG中，由勾股定理得，EG2+FG2=EF2, ∴(3 y) 2+(3−4 y) 2=(5−5 y) 2, 8 解得，y= ， 13 8 40 ∴CE=5× = , 13 13 40 故答案为： 13 4 【变式3-1】（23-24九年级·广东佛山·期中）在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=25，则△ABC周 5 长= ． 【答案】60 【分析】本题考查了锐角三角形函数、勾股定理，根据正弦的定义得出BC=20，再由勾股定理计算出 AC=15，最后由△ABC的周长=AB+BC+AC进行计算即可，熟练掌握锐角三角形函数、勾股定理是解 此题的关键． 【详解】解：如图， 4 在△ABC中，∠C=90°，sin A= ，AB=25， 5 BC BC 4 ∴sin A= = = ， AB 25 54 ∴BC= ×25=20， 5 ∴AC=❑√AB2−BC2=❑√252−202=15， ∴ △ABC周长=AC+BC+AB=15+20+25=60， 故答案为：60． 【变式3-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D， 3 AD=3，tanB= ，则DC的值为 ． 4 9 1 【答案】 /2 /2.25 4 4 3 CD 3 【分析】由题意易证∠B=∠DAC，即得出 tan∠DAC=tanB= ，从而得出 = ，解出DC的值即 4 3 4 可． 【详解】解：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°． ∵AD⊥BC， ∴∠DAC+∠C=90°， ∴∠B=∠DAC， 3 ∴tan∠DAC=tanB= ． 4 CD ∵tan∠DAC= ， AD CD 3 ∴ = ， 3 4 9 ∴CD= ． 4 3 【点睛】本题考查同角的余角相等，正切的定义．证明出tan∠DAC=tanB= 是解题关键． 4【变式3-3】（23-24九年级·上海静安·期中）已知点P在第二象限，且OP=5，OP与x轴的负半轴的夹角 3 的余弦值是 ，则点P的坐标是 ． 5 【答案】(−3,4) OA 3 【分析】根据题意，画出图形，过点P作PA⊥x轴于A，根据余弦值可知 = ，根据OP=5求出 OP 5 OA=3，再根据勾股定理求出PA=4，即可得到P点坐标． 【详解】解：如下图所示，过点P作PA⊥x轴于A 3 由题意可知：cos∠POA= ， 5 OA 3 ∴ = ， OP 5 ∵OP=5， ∴OA=3，， ∴在Rt△OPA中，OA2+PA2=OP2 ∴PA=❑√OP2−OA2=❑√52−32=4， ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为(−3,4) 故答案为：(−3,4)． 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用和求点的坐标，灵活运用所学知识求解是解题关键． 【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】 【例4】（23-24九年级·辽宁沈阳·开学考试）计算：(π−2020) 0+(sin60°) −1−|tan30°−❑√3)+√38． 【答案】3 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，根据计算顺序先求括号内、去绝对值和求一个数的立方根，再按实数加减计算即可． 【详解】解：(π−2020) 0+(sin60°) −1−|tan30°−❑√3)+√38 1 |❑√3 ) =1+ − −❑√3 +2 sin60° 3 2❑√3 2❑√3 =1+ − +2 3 3 =3． 【变式4-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）计算： (1)|1−2cos30°)+❑√2sin45°−tan60°； (2)tan45°−sin30°cos60°−cos245°． 【答案】(1)0； 1 (2) ． 4 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答； 本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算，熟记各运算法则是解题的关键． | ❑√3) ❑√2 【详解】（1）解：原式= 1−2× +❑√2× −❑√3 2 2 =❑√3−1+1−❑√3 =0； 1 1 (❑√2) 2 （2）解：原式=1− × − 2 2 2 1 1 =1− − 4 2 1 = ． 4 【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）（1）计算：sin30°+4cos230°−tan45°+❑√3sin60° （2）计算 ( − 1) −2 −|4−2❑√3)−tan60°−(−2022) 0 ． 2 【答案】（1）4；（2）❑√3−1 【分析】此题考查负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． （2）根据负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂进行运算，再合并即可． 1 (❑√3) 2 ❑√3 【详解】解：（1）原式= +4× −1+❑√3× 2 2 2 1 3 = +3−1+ 2 2 =4． （2） ( − 1) −2 −|4−2❑√3)−tan60°−(−2022) 0 2 =4−4+2❑√3−❑√3−1 =❑√3−1． 【变式4-3】（23-24·湖南怀化·模拟预测）计算 1 −2❑√(1−tan60°) 2+sin260°+cos260°． 2sin45°−1 【答案】4+❑√2−2❑√3； 【分析】本题考查特殊三角函数值的计算和，熟知特殊角的三角函数值及实数运算法则是正确解决本题的 关键．代入特殊角的三角函数值再计算即可； 1 【详解】 −2❑√(1−tan60°) 2+sin260°+cos260° 2sin45°−1 1 (❑√3) 2 (1) 2 = −2×(❑√3−1)+ + ❑√2 2 2 2× −1 2 3 1 =❑√2+1−2❑√3+2+ + 4 4 =4+❑√2−2❑√3． 【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 1 【例5】（23-24九年级·湖南衡阳·期中）在△ABC中， sinB=cos(90°−∠C)= ，那么△ABC是 2 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三 角函数值即可求出∠B、∠C的大小，即可得出结论． 1 【详解】解：∵sinB=cos(90°−∠C)= ， 2 ∴90°−C=60°,∠B=30°， ∴∠C=30°， ∴∠B=∠C， ∴ △ABC是等腰三角形 故选：A． | ❑√3) (1 ) 2 【变式5-1】（23-24·四川自贡·一模）在△ABC中，若∠A,∠B满足 sin A− + −cosB =0，则 2 2 △ABC是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值 是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值∠A和∠B，即可作出判断． ❑√3 1 【详解】解：根据题意得：sin A− =0且 −cosB =0， 2 2 ❑√3 1 则sin A= ,cosB= ， 2 2 ∴∠A=60°,∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式5-2】（23-24九年级·山东泰安·阶段练习）若(3tan A−❑√3) 2+|2sinB−❑√3|=0，则以 ∠A，∠B为内角的ΔABC的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出∠A=30°,∠B=60°，进而得出ΔABC的形状． 【详解】解：∵(3tan A−❑√3) 2+|2sinB−❑√3|=0， ∴3tan A−❑√3=0，2sinB−❑√3=0，❑√3 ❑√3 则tan A= ，sinB= ， 3 2 ∴∠A=30°,∠B=60°， ∴以∠A,∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． √ 1 【变式5-3】（23-24九年级·广东深圳·期末）若❑cos2A− +|tanB−❑√3)=0，那么△ABC的形状是 2 ． 【答案】锐角三角形 【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据 三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案． √ 1 【详解】∵❑cos2A− +|tanB−❑√3)=0， 2 1 ∴cos2A- =0，tan-❑√3=0， 2 ❑√2 ∴cosA=± （负值舍去），tanB=❑√3， 2 ∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三 角函数值是解题关键． 【题型6 比较三角函数值的大小】 【例6】（23-24九年级·浙江宁波·期末）角α，β满足0°<α<β<45°，下列是关于角α，β的命题，其中 错误的是（ ） ❑√2 A．0 ,sinα< ，cosβ>sinα，选项C不正确，符合题意； 2 2 2 2 ❑√2 ❑√2 ❑√2 ❑√2 D．sin45°= ，cos45°= ，cosα> ,sinβ< ，sinβ”“=”或“< ”）． 【答案】< 【分析】利用正切的增减性解答． 【详解】解：∵在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ∵40°<50° ∴tan40°AC，则（ ） A．sinAcos16°>sin30° B．cos16°>sin30°>sin43° C．cos16°>sin43°>sin30° D．sin43°>sin30°>cos16° 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正 弦值，由cos16°=sin(90°−16°)=sin74°，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道 sin74°>sin43°>sin30°，即可得出正确选项． 【详解】解：∵cosα=sin(90°−α)（0≤α≤90°）， ∴cos16°=sin(90°−16°)=sin74°， 当0≤α≤90°时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴sin74°>sin43°>sin30° ∴cos16°>sin43°>sin30°， 故选：C． 【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】 【例7】（23-24·江苏南京·一模）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ） A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4 【答案】B 【详解】分析：首先明确tan45°=1，tan60°=❑√3，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析解答即 可． 详解： ∵tan45°=1，tan60°=❑√3， ∴1＜tan55°＜❑√3， ∴1＜tan55°＜2. 故选B. 点睛：本题考查了锐角三角函数的增减性，利用特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解决这类 题目的基本思路. 4 【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）若cosα= ，则锐角α满足（ ） 5 A．0°<α<30° B．30°<α<45° C．45°<α<60° D．60°<α<90°【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0°~90°间变化，①正弦值随着角 度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切 值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． ❑√3 ❑√2 【详解】解：∵cos30°= ，cos45°= ， 2 2 ❑√2 4 ❑√3 ∵ < < ， 2 5 2 ∴30°<α<45°， 故选：B． 【变式7-2】（23-24九年级·广东梅州·期末）若sinA=0.8，则∠A的取值范围是（ ） A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90° 【答案】C ❑√2 ❑√3 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确sin45°= ，sin60°= ，再根据正弦值随着角的增大而 2 2 增大，进行分析． ❑√2 ❑√3 【详解】解：∵ <0.8< ，正弦值随着角的增大而增大， 2 2 ∴ sin45°0， ∴ 00,cosA>0，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵sin2A +cos2A = (1) 2 + (❑√3) 2 =1， 1 1 2 2 ∴sin2A +sin2A = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 =1， 2 2 ❑√2 ❑√2 ∴sin2A +cos2A = (3) 2 + (4) 2 =1， 3 3 5 5 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+cos2A=1， 故答案为：1； （3）证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c， ∴由勾股定理即可得到a2+b2=c2， ∵sin2A+cos2A= (a) 2 + (b) 2 ， c c a2+b2 c2 ∴sin2A+cos2A= = =1； c2 c2 （4）解：∵(sinA+cosA) 2=sin2A+cos2A+2sinAcosA， 24 49 ∴(sinA+cosA) 2=1+ = ， 25 25 ∵ 0°<∠A<90°， ∴sinA>0,cosA>0， 7 ∴sinA+cosA= ． 5 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等 变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．【变式10-1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联 结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； ❑√3 S ΔAEF （2）如果sinA＝ ，求 的值． 2 S ΔABC 1 【答案】（1）见解析；（2） 4 AE AB 【分析】（1）先求证△AEB∽△AFC，得到 = ，再根据∠A=∠A，即可求证； AF AC AE （2）根据三角函数的定义以及关系，求得 的值，即可求解． AB 【详解】解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高 ∴∠AFC=∠AEB=90° 又∵∠A=∠A ∴△AEB∽△AFC AE AB AE AF ∴ = ，即 = AF AC AB AC 又∵∠A=∠A ∴△AEF∽△ABC BE ❑√3 AE （2）在Rt△ABE，sin A= = ，cosA= AB 2 AB 1 AE 1 由锐角三角函数关系可得：cosA=❑√12−sin2A= ，即 = 2 AB 2 由（1）得，△AEF∽△ABC S AE 2 1 ∴ ΔAEF =( ) = S AB 4 ΔABC 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键． 【变式10-2】（2024九年级·安徽合肥期末）在△ABC中，∠C=90°，则下列结论正确的是（ ）． A．sinA>cosA B．0cosA c c 错误；故此选项不符合题意； a B、∵tan A= ，又∵a>0，b>0，但不能比较a、b大小，∴tanA>0，故此选项不符合题意； b a b a b a+b C、∵sin A= ，cosA= ，∴sinA+cosA= + = ，又∵a+b>c c c c c c ∴sinA+cosA>1，故此选项不符合题意； D、∵sinA= a ，cosA= b ，∴sin2A+cos2A= (a) 2 + (b) 2 = a2+b2 ，又由勾股定理，得a2+b2=c2， c c c c c2 a2+b2 ∴ =1，∴sin2A+cos2A=1，故此选项符合题意． c2 故选：D． 【变式10-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、 a b a b、c，则sinA= ，cosA= ，tanA= ．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，...试探求sin A、 c c b cosA、tan A之间存在的一般关系，并说明理由．sinA 【答案】sin2A+cos2A=1；tanA= ，理由见解析 cosA 【分析】利用勾股定理可得a2+b2=c2，用a，b，c表示正弦，余弦的平方和，即可得出sin2A+cos2A=1 a a c sin A sinA ；根据题意得出tan A= = = ，即可得出tanA= ． b b cosA cosA c sinA 【详解】存在的一般关系有：sin2A+cos2A=1，tanA= ， cosA a b 证明：∵sinA= ，cosA= ，a2+b2=c2 c c a2 b2 a2+b2 c2 ∴sin2A+cos2A= + = = =1 c2 c2 c2 c2 ∴sin2A+cos2A=1， a b ∵sinA= ，cosA= ， c c a a c sin A ∴tan A= = = ， b b cosA c sinA ∴tanA= ． cosA 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关 键．