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专题28.2 模型构建专题：巧构直角三角形解决有关问题之二大类型
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【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】.............................................................1
【类型二 不含特殊角的非直角三角形】......................................................................................................14
【典型例题】
【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】
例题：（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一
次航拍时，数据显示，从无人机 看建筑物顶部 的仰角为 ，看底部 的俯角为 ，无人机 到该建
筑物 的水平距离 为 米，求该建筑物 的高度．（结果保留根号）【变式训练】
1．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 ，
飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 ．若飞机离地面的高度 为1600米，且
点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度 为 米（结果保留根号）．
2．（2022上·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相
关数据： 则广告牌的高 ．（结果保留
根号）
3．（2023·陕西咸阳·校考一模）我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保
存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，该小组在城墙外的D处安
置测角仪 ，测得该建筑顶端A的仰角为 ．从D处后退 到达F处，安置测角仪 ，测得该建筑
顶端A的仰角为 （点B，D，F在同一直线上），测角仪支架高 ，且 ，
， ，求该建筑顶端A到地面的高度 ．（结果保留根号）4．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智
求真”的宣传牌 ，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为 ，沿山坡向上走到B处测得
宣传牌顶部C的仰角为 ．已知山坡AB的坡度 ， 米， 米，求 ．
5．（2023下·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图，某巡逻艇在某次巡逻任务中计划以20海里/小时的
速度从 岛处向正东方向的 岛处航行，出发1.5小时到达 处时，突然接到 岛处的求救信号，于是巡
逻艇立即以30海里/小时的速度向北偏东 方向的 岛处航行，到达 岛处后测得 岛处位于 岛处的
南偏西 方向，解救后巡逻艇又沿南偏东 方向航行到 岛处．
(1)求巡逻艇从 岛处到 岛处所用的时间．
(2)求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里．（结果精确到1海里）
（参考数据： ， ， ）6．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人
机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼 楼顶D处的俯角为 ，测得楼EF楼顶E处的俯角为
．已知楼 和楼 之间的距离HF为90米，楼 的高度为12米，从楼 的E处测得楼 的D
处的仰角为30°， ．（点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内）．（参考数据： ）
(1)求楼 的高度；
(2)求此时无人机距离地面 的高度．
7．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步道，
经测量，点C在点A的正东方向， 米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，
米，点B在点A的北偏东 ，点D在点E的北偏东 ．
(1)求步道 的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点
D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据： ， ）8．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在 处测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，轮船沿着
正北方向航行20海里到达 处，测得灯塔 位于 的北偏东 方向上，测得港口 位于 的北偏东
方向上．已知港口 在灯塔 的正北方向上．
(1)填空： 度， 度；
(2)求灯塔 到轮船航线 的距离（结果保留根号）；
(3)求港口 与灯塔 的距离（结果保留根号）．
【类型二 不含特殊角的非直角三角形】
例题：（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网
格的交点上，则 ．
【变式训练】1．（2023·广东汕头·校考三模）由边长为1的小正方形构成的网格图形中， 的顶点A、B、C都在格
点上，则 ．
2．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在 的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的
顶点上，AB、CD相交于点P，则 的值是 ．
3．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图， 是 的中线，
求：
(1) 的长；
(2) 的正弦值．
4．（2019上·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知：如图，在 中，
，D是边 上一点，且 ．(1)试求 的值；
(2)试求 的面积．
5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB
在 中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需
美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
，
