专题16.3二次根式的加减（十大题型）（举一反三）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

专题 16.3 二次根式的加减【十大题型】 【人教版】 【题型1 同类二次根式】..........................................................................................................................................1 【题型2 分母有理化】..............................................................................................................................................3 【题型3 二次根式的加减】......................................................................................................................................5 【题型4 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................7 【题型5 二次根式的混合运算】............................................................................................................................10 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】.......................................................................................13 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】...............................................................................................15 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】...........................................................................................................18 【题型9 二次根式中的新定义类问题】................................................................................................................21 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】...........................................................................................................25 知识点1：同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 2 8 8 2 2 2 8 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 【题型1 同类二次根式】 【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ） 1 A． ❑√6和3❑√2 B．❑√a和❑√2a 3 √1 C．❑√12和❑ D．❑√3和❑√9 3 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根 式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 1 【详解】解：A、 ❑√6与3❑√2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 3B、❑√a与❑√2a的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； √1 ❑√3 C、❑√12=2❑√3与❑ = 的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； 3 3 D、❑√3与❑√9=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式❑√2a−3与❑√12是同类二次根式，则a= ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出❑√12=2❑√3，再根据同类二次根式的定义得出 2a−3=3，再求出答案即可． 【详解】解：❑√12=2❑√3， ∵最简二次根式❑√2a−3与❑√12是同类二次根式， ∴2a−3=3， ∴a=3． 故答案为：3． √1 【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与❑ 合并的是（ ） 2 √ 1 A．❑√2 B．❑√8 C．❑ D．❑√0.2 18 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以 合并． 将各选项化为最简二次根式即可解答． √1 ❑√2 【详解】解：❑ = ， 2 2 √1 A、❑√2与❑ 是同类二次根式，可以合并，不符合题意； 2 √1 B、❑√8=2❑√2与❑ 是同类二次根式，可以合并，不符合题意； 2 √ 1 ❑√2 √1 C、❑ = 与❑ 是同类二次根式，可以合并，不符合题意； 18 6 2 √1 ❑√5 √1 D、❑√0.2=❑ = 与❑ 不是同类二次根式，不可以合并，符合题意； 5 5 2故选：D． 【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x−1√02x+ y−5和❑√x−3 y+11是同类二次 根式，求x2+ y2的平方根． 【答案】±5 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再 求出x2+ y2的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式3x−1√02x+ y−5和❑√x−3 y+11是同类二次根式， { 3x−10=2 ) ∴ ， 2x+ y−5=x−3 y+11 {x=4) 解得： ， y=3 ∴x2+ y2=42+32=25， ∴x2+ y2的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练 掌握同类二次根式的定义，准确进行计算． 知识点2：分母有理化 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． 【题型2 分母有理化】 4 【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知a= ，b=❑√5+3，则a与b的关系是（ ） ❑√5−3 A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟练掌握相反 数的定义和分母有理化的方法，进而求得a的值是解题的关键． 4 4(❑√5+3) 【详解】解：a= = =−❑√5−3， ❑√5−3 (❑√5−3)(❑√5+3) ∴a+b=0， ∴a与b互为相反数， 故选：A．1 2 【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算： + = ． 1−❑√2 ❑√2 【答案】−1 【分析】 本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解． 1 2 (1+❑√2) 2❑√2 【详解】解： + = + 1−❑√2 ❑√2 (1−❑√2)(1+❑√2) ❑√2×❑√2 =−(1+❑√2)+❑√2 =−1−❑√2+❑√2 =−1． 故答案为：−1． 【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）2❑√a−1的一个有理化因式是（ ） A．2❑√a−1 B．2❑√a−1 C．2❑√a+1 D．2❑√a+1 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【详解】解：∵(2❑√a−1)(2❑√a+1)=(2❑√a) 2 −12=4a−1， ∴2❑√a−1的一个有理化因式是2❑√a+1， 故选：C． 【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． 1 1 =❑√2−1； =❑√3−❑√2． 1+❑√2 ❑√2+❑√3 1 ❑√2−1 ❑√2−1 验证： = = =❑√2−1； 1+❑√2 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1 1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 = = =❑√3−❑√2． ❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2 (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： 1 1 = _______， = ______； ❑√3+❑√4 ❑√6+❑√7 1 (2)通过上述探究，猜想 = ______（n>0，且n为整数），并验证你的结论； ❑√n+❑√n+1( 1 1 1 1 1 ) (3)计算： + + +…+ + (1+❑√2024) 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2022+❑√2023 ❑√2023+❑√2024 【答案】(1)2−❑√3，❑√7−❑√6 (2)❑√n+1−❑√n，证明见解析 (3)2023 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 1 ❑√4−❑√3 ❑√4−❑√3 【详解】（1） = = =❑√4−❑√3=2−❑√3， ❑√3+❑√4 (❑√3+❑√4)(❑√4−❑√3) 4−3 1 ❑√7−❑√6 ❑√7−❑√6 = = =❑√7−❑√6， ❑√6+❑√7 (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6) 7−6 故答案为：2−❑√3，❑√7−❑√6； 1 （2） =❑√n+1−❑√n， ❑√n+❑√n+1 1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n 验证： = = =❑√n+1−❑√n， ❑√n+❑√n+1 (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) n+1−n 故答案为：❑√n+1−❑√n； ( 1 1 1 1 1 ) （3） + + +…+ + (1+❑√2024) 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2022+❑√2023 ❑√2023+❑√2024 = (❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√2023−❑√2022+❑√2024−❑√2023)(1+❑√2024) =(❑√2024−1)(1+❑√2024) =2023． 知识点3：二次根式的加减 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二 次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并 23 25 2 (135) 2  2 同类二次根式.如 【题型3 二次根式的加减】 【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算 (1)√3−27−❑√81+(−2) 2 √16 ( 1) (2)❑ +❑√6− 2❑√6+ 9 3 【答案】(1)−8 (2)1−❑√6 【分析】本题主要考查了乘方和开方，二次根式的加减，对于（1），根据√3−27=−3，❑√81=9， (−2) 2=4，再计算有理数的加减法即可； 对于（2），先开方，再去括号，然后根据二次根式的加减法法则计算． 【详解】（1）原式=−3−9+4 =−8； 4 1 （2）原式= +❑√6−2❑√6− 3 3 =1−❑√6． √1 【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算3❑ −2❑√48+❑√27结果为 ． 3 【答案】−4❑√3 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． √1 【详解】解： 3❑ −2❑√48+❑√27 3 ❑√3 =3× −2×4❑√3+3❑√3 3 =❑√3−8❑√3+3❑√3 =−4❑√3，故答案为：−4❑√3． √1 【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）2❑√12−6❑ +3❑√48= ． 3 【答案】14❑√3 【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】原式=4❑√3−2❑√3+12❑√3， =14❑√3， 故答案为：14❑√3． 【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是熟练掌握利用二次根式性质的化简及其应 用． a−b a+b−2❑√ab 【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算： − ． ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b 【答案】2❑√b 【分析】分母不变，分子作减法后，根据b=❑√b⋅❑√b ，将分子分解为2❑√b(❑√a−❑√b) ，通过约分即可 得. a−b−a−b+2❑√ab −2b+2❑√ab 2❑√b(❑√a−❑√b) 【详解】原式= = = =2❑√b ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b 【点睛】本题考查分式的化简，利用b=❑√b⋅❑√b使此题化简更为简便. 【题型4 比较二次根式的大小】 【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取 得很好的效果，例如，比较a=2❑√3和b=3❑√2的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，b2=18， 则a2，<或者=） (2)猜想m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5之间的大小关系，并证明． 【答案】(1)< (2)m>n，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是 解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可．【详解】（1）解：∵c=3❑√6，d=4❑√5， ∴c2=54，d2=80， ∵c2n，理由如下： ∵m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5， ∴m2=(2❑√5+❑√13) 2=20+4❑√65+13=33+4❑√65，n2=(2❑√7+❑√5) 2=28+5+4❑√35=33+4❑√35， ∵❑√65>❑√35， ∴m2>n2， ∴m>n． 【变式4-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题： (❑√2+1)(❑√2−1)=1， (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1， (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)=1， (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4)=1…… (1)观察以上规律，请写出第n个等式：___________（n为正整数）； 1 1 1 1 (2)利用上面的规律，计算： + + +…+ ； ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2023+❑√2022 (3)请利用上面的规律，比较❑√99−❑√98与❑√98−❑√97的大小． 【答案】(1)(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)=1 (2)❑√2023−1 (3)❑√99−❑√98<❑√98−❑√97 【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第n个等式； （2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案； （3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到 答案． 【详解】（1）解：通过观察可知，(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)=1，故答案为：(❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)=1； （2）解：原式 (❑√2−1) (❑√3−❑√2) (❑√4−❑√3) (❑√2023−❑√2022) = + + +……+ (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√2023+❑√2022)(❑√2023−❑√2022) =(❑√2−1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+……+(❑√2023−❑√2022)， =❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+……❑√2023−❑√2022 =❑√2023−1； (❑√99−❑√98)(❑√99+❑√98) 1 （3）解：∵❑√99−❑√98= = ， ❑√99+❑√98 ❑√99+❑√98 (❑√98−❑√97)(❑√98+❑√97) 1 ❑√98−❑√97= = ， ❑√98+❑√97 ❑√98+❑√97 1 1 > ， ❑√98+❑√97 ❑√99+❑√98 ∴❑√99−❑√98<❑√98−❑√97． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的 运算法则是解题的关键． ❑√5 【变式4-2】（23-24九年级·河北石家庄·期末）5−❑√2、2+ 、2+❑√2的大小关系是（ ） 2 ❑√5 ❑√5 A．2+❑√2>2+ >5−❑√2 B．5−❑√2>2+ >2+❑√2 2 2 ❑√5 ❑√5 C．2+ >5−❑√2>2+❑√2 D．5−❑√2>2+❑√2>2+ 2 2 【答案】D ❑√5 【分析】根据作差法，分别比较5−❑√2与2+❑√2，2+❑√2与2+ 的大小，即可得到答案. 2 【详解】∵(5−❑√2)-(2+❑√2)=3-2❑√2=3-❑√8=❑√9-❑√8>0， ∴5−❑√2>2+❑√2， ❑√5 ❑√5 2❑√2 ❑√5 ❑√8−❑√5 ∵(2+❑√2)-(2+ )=❑√2- = - = >0， 2 2 2 2 2❑√5 ∴2+❑√2>2+ ， 2 ❑√5 ∴5−❑√2>2+❑√2>2+ ， 2 故选D. 【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键. 【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： 1 ❑√2−1 = =❑√2−1 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 1 ❑√3−❑√2 = =❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1 ❑√4−❑√3 = =❑√4−❑√3=2−❑√3 ❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) 1 1 (1)化简： = ______， = ______； ❑√9+❑√8 ❑√91+❑√90 (2)利用上面的规律，比较(❑√13−❑√12)______(❑√14−❑√13)（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】(1)3−2❑√2，❑√91−3❑√10 (2)> 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； 1 1 （2）根据分母有理化的方法得到 =❑√13−❑√12， =❑√14−❑√13，根据 ❑√13+❑√12 ❑√14+❑√13 1 1 ❑√14+❑√13>❑√13+❑√12>0，得到 < ，(❑√13−❑√12)>(❑√14−❑√13)． ❑√14+❑√13 ❑√13+❑√12 1 【详解】（1）解： ❑√9+❑√8 ❑√9−❑√8 = (❑√9+❑√8)(❑√9−❑√8)❑√9−❑√8 = 9−8 =3−2❑√2； 1 ❑√91+❑√90 ❑√91−❑√90 = (❑√91+❑√90)(❑√91−❑√90) ❑√91−❑√90 = 91−90 =❑√91−3❑√10， 故答案为：3−2❑√2，❑√91−3❑√10； 1 ❑√13−❑√12 （2）解： = =❑√13−❑√12， ❑√13+❑√12 (❑√13+❑√12)(❑√13−❑√12) 1 ❑√14−❑√13 = =❑√14−❑√13， ❑√14+❑√13 (❑√14+❑√13)(❑√14−❑√13) ∵❑√14+❑√13>❑√13+❑√12>0， 1 1 ∴ < ， ❑√14+❑√13 ❑√13+❑√12 ∴(❑√13−❑√12)>(❑√14−❑√13)， 故答案为：>． 【题型5 二次根式的混合运算】 【例5】（23-24九年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成 相应的任务． √1 ❑ ×❑√24+❑√12−2(❑√2+❑√3) 8 √1 =❑ ×24+2❑√3−2❑√2+2❑√3………第一步 8 =❑√3+2❑√3+2❑√3−2❑√2………第二步 =5❑√3−2❑√2………第三步 任务：√1 (1)原式中的二次根式❑ 、❑√24、❑√12、❑√2、❑√3中，是最简二次根式的是______； 8 (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)❑√2、❑√3 (2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； (3)乘法分配律 (4)见解析 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题 关键． （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可； （4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可． √1 ❑√8 ❑√2 【详解】（1）解：❑ = = ，不是最简二次根式； 8 8 4 ❑√24=2❑√6，不是最简二次根式； ❑√12=2❑√3，不是最简二次根式； ❑√2、❑√3是最简二次根式， 故答案为：❑√2、❑√3 （2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； 故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； （3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； √1 （4）解：❑ ×❑√24+❑√12−2(❑√2+❑√3) 8 √1 =❑ ×24+2❑√3−2❑√2−2❑√3 8 =❑√3+2❑√3−2❑√3−2❑√2 =❑√3−2❑√2．【变式5-1】（23-24九年级·北京房山·期末）计算(❑√5) 2 −(1−3❑√2)(1+3❑√2)= ． 【答案】22 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后 相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式=5−[12−(3❑√2) 2)=5−(−17)=22， 故答案为：22． 3 2 ❑√3 【变式5-2】（23-24九年级·湖北十堰·期末）计算 ❑√32− ❑√18+2❑√12× 的结果为（ ） 4 3 4 A．❑√3+2 B．❑√2+3 C．❑√2+❑√3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵 活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 3 2 ❑√12×3 【详解】解：原式= ×4❑√2− ×3❑√2+2× ， 4 3 4 =3❑√2−2❑√2+3， =❑√2+3， 故选：B． 【变式5-3】（23-24九年级·江西宜春·期末）（1）计算：(2−❑√3)(2+❑√3)−❑√4； 1 √b （2）化简：2❑√ab÷ ❑ (a>0)． 2 a 【答案】（1）−1；（2）4a 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题 关键． （1）先根据平方差公式展开，再计算加减法即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再将除法化为计算即可． 【详解】解：（1）(2−❑√3)(2+❑√3)−❑√4 =22−(❑√3) 2 −2 =4−3−2=−1； 1 √b （2）2❑√ab÷ ❑ 2 a ❑√ab =2❑√ab÷ 2a 2a =2❑√ab⋅ ❑√ab =4a． 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：x(❑√6−x)+(x+❑√5)(x−❑√5)，其中 ( √1 ) x= 4❑√3−6❑ +3❑√12 ÷4❑√2． 3 【答案】❑√6x−5；1 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解 题的关键． 先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即 可． 【详解】解：x(❑√6−x)+(x+❑√5)(x−❑√5) =❑√6x−x2+x2−5 =❑√6x−5； ( ❑√3 ) x= 4❑√3−6× +6❑√3 ÷4❑√2 3 =(4❑√3−2❑√3+6❑√3)÷4❑√2 =8❑√3÷4❑√2 =❑√6； 原式=❑√6×❑√6−5=6−5=1． ❑√2-1 ❑√2+1 【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设x= ，y= ，求x2−3xy+ y2值. ❑√2+1 ❑√2−1 【答案】31【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法 ❑√2−1 ❑√2+1 的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把x= ，y= 化简，再把x2−3xy+ y2 ❑√2+1 ❑√2−1 变形为(x−y) 2−xy代入计算即可． ❑√2−1 (❑√2−1) 2 ❑√2+1 (❑√2+1) 2 【详解】解：∵x= = =3−2❑√2，y= = =3+2❑√2， ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) ❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1) ∴x2−3xy+ y2 =x2−2xy+ y2−xy =(x−y) 2−xy 2 =[(3−2❑√2)−(3+2❑√2)) −(3−2❑√2)(3+2❑√2) =(−4❑√2) 2 −(9−8) =32−1 =31． 【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若a=❑√5+2，b=❑√5−2，求： (1)a2−b2； (2)求a3b+ab3． 【答案】(1)8❑√5 (2)18 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出a+b=2❑√5，a−b=4，再根据a2−b2=(a+b)(a−b)进行求解即可； （2）先求出a+b=2❑√5，ab=1，再把所求式子变形为ab[(a+b) 2−2ab)，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵a=❑√5+2，b=❑√5−2， ∴a+b=❑√5+2+❑√5−2=2❑√5，a−b=❑√5+2−❑√5+2=4， ∴a2−b2 =(a+b)(a−b) =2❑√5×4=8❑√5； （2）解：∵a=❑√5+2，b=❑√5−2， ∴a+b=❑√5+2+❑√5−2=2❑√5，ab=(❑√5+2)(❑√5−2)=5−4=1 ∴a3b+ab3 =ab(a2+b2) =ab[(a+b) 2−2ab) =1×[(2❑√5) 2 −2×1) =1×(20−2) =18． 【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2−❑√3，y=2+❑√3． (1)求x+ y和xy的值； (2)求x2+ y2−3xy的值； (3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值． 【答案】(1)x+ y=4，xy=1 (2)11 (3)1−7❑√3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知 识点并灵活运用是解此题的关键． （1）代入x=2−❑√3，y=2+❑√3即可求出x+ y和xy的值； （2）将原式变形为(x+ y) 2−5xy，代入数值进行计算即可； （3）先估算出1<❑√3<2，从而得出a=2−❑√3，b=3，再代入进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵x=2−❑√3，y=2+❑√3， ∴x+ y=2−❑√3+2+❑√3=4，xy=(2−❑√3)(2+❑√3)=4−3=1； （2）解：由（1）得：x+ y=4，xy=1， ∴x2+ y2−3xy=(x+ y) 2−5xy=42−5×1=11（3）解：∵1<3<4， ∴❑√1<❑√3<❑√4，即1<❑√3<2， ∴−2<−❑√3<−1， ∴0<2−❑√3<1， ∵ x的小数部分是a， ∴a=2−❑√3， ∵3<2+❑√3<4，y的整数部分是b， ∴b=3， ∴ax−by=(2−❑√3)(2−❑√3)−3(2+❑√3)=4−4❑√3+3−6−3❑√3=1−7❑√3． 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 ❑√x ❑√y 【例7】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知：y＝❑√x−4+❑√4−x＋5，化简并求 − 的 x+❑√xy y−❑√xy 值． 【答案】 2❑√x ，-4 x−y 1 1 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式= + ，然后 ❑√x+❑√y ❑√x−❑√y 2❑√x 通分得到原式= ，最后把x、y的值代入计算即可． x−y 【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0， ∴x=4， ∴y=5， ❑√x ❑√y − x+❑√xy y−❑√xy 1 1 = + ❑√x+❑√y ❑√x−❑√y ❑√x−❑√y+❑√x+❑√y = ， (❑√x+❑√y)(❑√x−❑√y) 2❑√x = ， x−y 2❑√4 = ， 4−5=-4． 【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入 求值． 1 √ 1 【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）已知❑√x+ =3，求❑ x2+ −19的值． ❑√x x2 【答案】2❑√7 1 【分析】把已知等式两边平方求出x+ 的值，原式变形后代入计算即可求出值． x 1 1 1 【详解】解：把❑√x+ =3两边平方得：x+ ＋2＝9，即x+ ＝7， ❑√x x x √ 1 2 则原式＝❑(x+ ) −21=❑√49−21=2❑√7， x 故答案为2❑√7. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-2】（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）已知实数a、b满足❑√a(❑√a−❑√b)=❑√b(3❑√a+5❑√b)， a+2❑√ab+3b 求代数式 的值． 2a+❑√ab+b 19 【答案】 28 【分析】首先化简已知条件的等式，得出❑√a=5❑√b，代入所求代数式中即可得解. 【详解】解：由已知条件，等式可化为 a−❑√ab=3❑√ab+5b a−4❑√ab−5b=0 (❑√a) 2 −4❑√ab−5(❑√b) 2=0，即为(❑√a+❑√b)(❑√a−5❑√b)=0 解得❑√a=5❑√b ，❑√a=−❑√b（舍去） 将其代入，即得 25b+10b+3b 19 原式= = ， 50b+5b+b 28 19 故答案为 . 28【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题. √b √a 【变式7-3】（23-24九年级·山东威海·期中）已知a+b=−8，ab=12，求b❑ +a❑ 的值． a b −20❑√3 【答案】 3 【分析】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并 求值即可． 【详解】解：∵a+b=−8，ab=12， ∴a和b均为负数， a2+b2=(a+b) 2−2ab=40 √b √a b❑ +a❑ a b √ b2 √ a2 =b❑ +a❑ ab ab ❑√b2 ❑√a2 =b +a ❑√ab ❑√ab b❑√b2+a❑√a2 = ❑√ab b(−b)+a(−a) = ❑√ab −b2−a2 = ❑√ab −(a2+b2) = ❑√ab −40 = ❑√12 −40❑√12 = 12 −40×2❑√3 = 12−20❑√3 = 3 【点睛】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类 二次根式法则是解决此题的关键． 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为❑√128米，宽AB为 ❑√50米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方 形花坛的长为(❑√13+1)米，宽为(❑√13−1)米． (1)求长方形绿地ABCD的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)26❑√2米 (2)3080元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关 键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：2×(❑√128+❑√50)=2×(8❑√2+5❑√2)=26❑√2(米）， ∴长方形ABCD的周长为26❑√2米． （2）解：❑√128×❑√50−2×(❑√13+1)×(❑√13−1)=80−2×12=56(平方米)， 则56×55=3080(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 【变式8-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示 “高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=❑ √2ℎ （不考虑风速的影响，g≈10m/s2， g ❑√5≈2.236） (1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结 果保留根号） (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克） ×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 【答案】(1)2❑√3秒 (2)3.5776秒 【分析】（1）根据题意可先求得ℎ =60m，根据t=❑ √2ℎ 代入计算即可求解； g （2）先根据高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再 √2ℎ 由t=❑ 代入求解即可． g 【详解】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m， ∴ℎ =20×3=60m， √2ℎ √2×60 ∴t=❑ =❑ =2❑√3s， g 10 ∴该物品落地的时间为2❑√3s； 64 （2）该玩具最低的下落高度为ℎ = =64m， 10×0.1 √2ℎ √2×64 8❑√5 8×2.236 ∴t=❑ =❑ = ≈ =3.5776s． g 10 5 5 ∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【变式8-2】（23-24九年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图① 所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为_______dm，B的边长为_______dm； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能 否截出，并说明理由． 【答案】(1)2❑√3，3❑√3 (2)6dm2 (3)不能截出，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为25dm2的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进 行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为12dm2，正方形木板B的面积为27dm2， ∴正方形木板A的边长为❑√12=2❑√3(dm)，正方形木板B的边长为❑√27=3❑√3(dm)， 故答案为：2❑√3，3❑√3； （2）解：∵正方形木板A的边长为2❑√3dm，正方形木板B的边长为3❑√3dm， ∴阴影部分宽为❑√3dm， ∴阴影部分面积为2❑√3×❑√3=6(dm2)， （3）解：不能截出； 理由：❑√25=5，2×5=10， ∴两个正方形木板放在一起的宽为5dm，长为10dm． 由（2）可得长方形木板的长为5❑√3dm，宽为3❑√3dm． ∵3❑√3>5，但5❑√3<10，∴不能截出． 【变式8-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社 团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性 和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 10❑√3π 【答案】(1) ，10❑√3 π (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关 键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： √300 10❑√3π 圆形团扇的半径为❑ = 厘米，正方形团扇的边长为❑√300=10❑√3厘米； π π 10❑√3π （2）解：∵ 圆形团扇半径为 厘米，正方形团扇的边长为10❑√3厘米， π ∴ 圆形团扇的周长为20❑√3π厘米，正方形团扇的周长为40❑√3厘米 ∵40❑√3=20❑√3×22=20❑√12，3<π<4， ∴20❑√3π<40❑√3，∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 【题型9 二次根式中的新定义类问题】 【例9】（23-24九年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算⊗如下： {a (a>0) ) a⊗b＝ b ab(a<0) ¿ ¿ 2 如：2⊗5= ，(−2)⊗5=−2×5=−10． 5 根据上述定义，解决下列问题： (1)❑√6⊗❑√3=______，(1−❑√3) ⊗ (1+❑√3)=______； (2)若(x−1)⊗(x+1)=2，求x的值． 【答案】(1)❑√2，−2 (2)x=−❑√3 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分x−1>0和x−1<0，列出方程进行求解即可． ❑√6 【详解】（1）解：由题意，得：❑√6⊗❑√3= =❑√2， ❑√3 ∵1−❑√3<0， ∴(1−❑√3) ⊗ (1+❑√3)=(1−❑√3)(1+❑√3)=1−3=−2； 故答案为：❑√2，−2； x−1 （2）当x−1>0，即：x>1时，则： =2，解得：x=−3， x+1 经检验，x=−3是原方程的解， ∵x>1， ∴x=−3（舍去）； 当x−1<0，即：x<1时，则：(x−1)(x+1)=x2−1=2， ∴x=−❑√3或x=❑√3（舍去）； ∴x=−❑√3．【变式9-1】（23-24九年级·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数， 则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与❑√2是关于4的因子二次根式，则a= ； (2)若❑√3−1与m−❑√3是关于−2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1)2❑√2 (2)−1 【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到(❑√3−1)(m−❑√3)=−2，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：❑√2a=4， ∴a=2❑√2； 故答案为：2❑√2 （2）由题意，得：(❑√3−1)(m−❑√3)=−2， 2 ∴m−❑√3=− =−(❑√3+1)， ❑√3−1 ∴m=−1． 【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． 【变式9-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式m，n满足m⋅n=p，且p是有理数． 则称m与n是关于p的美好二次根式． (1)若m与❑√2是关于6的美好二次根式，求m的值： (2)若1−❑√3与4+❑√3m是关于n的美好二次根式，求m和n的值． 【答案】(1)m=3❑√2； (2)n=−8，m=4． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （2）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，m·❑√2=6， ∴m=3❑√2；（2）解：由题意可得，(1−❑√3)(4+❑√3m)=n， 整理得，(❑√3−3)m=4❑√3−4+n， ❑√3m−3m=4❑√3−4+n， ∴m=4，−3m=n−4 ∴m=4， ∴n=−8． 【变式9-3】（23-24九年级·江苏盐城·期中）定义：我们将(❑√a+❑√b)与(❑√a−❑√b)称为一对“对偶式”． 因为(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决． 例如：(❑√15−x+❑√3−x)(❑√15−x−❑√3−x)=(❑√15−x) 2 −(❑√3−x) 2=(15−x)−(3−x)=12，所以 ❑√15−x+❑√3−x与❑√15−x−❑√3−x互为“对偶式”． (1)❑√7−❑√2的“对偶式”是________，❑√21−x−❑√5−x的“对偶式”是________． (2)已知❑√21−x−❑√5−x=2，其中x≤5． ①❑√21−x−❑√5−x的“对偶式”的值是________． ②利用“对偶式”的相关知识，求方程❑√21−x−❑√5−x=2中x的值． 【答案】(1)❑√7+❑√2，❑√21−x+❑√5−x (2)①8；②x=−4 【分析】本题考查新定义，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）根据“对偶式”的定义即可解答． （2）①根据平方差公式求得(❑√21−x−❑√5−x)(❑√21−x+❑√5−x)=16，根据❑√21−x−❑√5−x=2即可求 解； ②由❑√21−x−❑√5−x=2，❑√21−x+❑√5−x=8得到❑√21−x=5，❑√5−x=3，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，❑√7−❑√2的“对偶式”是❑√7+❑√2，❑√21−x−❑√5−x的“对偶式”是 ❑√21−x+❑√5−x． 故答案为：❑√7+❑√2，❑√21−x+❑√5−x （2）解：①❑√21−x−❑√5−x的“对偶式”是❑√21−x+❑√5−x，而(❑√21−x−❑√5−x)(❑√21−x+❑√5−x)=(❑√21−x) 2 −(❑√5−x) 2=(21−x)−(5−x)=16， ∵❑√21−x−❑√5−x=2， ∴❑√21−x+❑√5−x=8； 故答案为：8 ②∵❑√21−x−❑√5−x=2，❑√21−x+❑√5−x=8， ∴❑√21−x=5，❑√5−x=3， 解得x=−4． 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 【例10】（23-24九年级·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算 (❑√2+1) 2=3+2❑√2，他就想❑√3+2❑√2化简的结果应为❑√2+1，即❑√3+2❑√2=❑√2+1，接着他又通过计算 验证得到❑√4−2❑√3=❑√3−1，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如❑√a+2❑√b的式子的一般方 法．善于思考的小聪进行了以下探索： 设a+2❑√b=(❑√m+❑√n) 2 （其中a、b、m、n均为整数）， 则有a+2❑√b=m+n+2❑√mn． ∴m+n=a①，mn=b②， ①+②得mn+m+n=a+b， ∴mn+m+n+1=a+b+1， 因式分解得，(m+1)(n+1)=a+b+1， ∵a、b、m、n均为整数， ∴m+1和n+1均为a+b+1的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简❑√a±2❑√b． (1)请你根据小聪的方法探索化简❑√8−2❑√15： 当设8−2❑√15=(❑√m−❑√n) 2 （m、n均为正整数，m>n），则①m+n=______，mn= ______， ∴②mn+m+n+1=______，(m+1)(n+1)=______， ∴③m=______，n= ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④❑√8−2❑√15=______； 在得到❑√a±2❑√b的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如❑√a±c❑√b（a、b、c均为正整 数，且b没有平方数因数，c≠2）的式子的一般方法，通过思考，他发现当c=2k（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为❑√a±2❑√b就可以化简了． (2)请你根据小聪的方法化简❑√8−4❑√3=______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又 琢磨形如❑√a±d❑√b（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化 简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将❑√a±d❑√b看出分母为1的式子，然 后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即 ❑√a±d❑√b 2❑√a±d❑√b ❑√4a±4d❑√b ❑√a±d❑√b= = = ，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． 1 2 2 (3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 【答案】(1)①8，15；②24，24；③5，3；④❑√5−❑√3 (2)❑√6−❑√2 (3)转换化归 【分析】本题考查二次根式的化简．掌握题干给定的化简方法，构造完全平方公式，是解题的关键． （1）根据题干的步骤，逐一进行计算即可； （2）根据题干给定的方法，进行化简即可； （3）用到了转换化归的数学思想． 【详解】（1）解：当设8−2❑√15=(❑√m−❑√n) 2（m、n均为正整数，m>n）， ∴8−2❑√15=m−2❑√mn+n， 则①m+n=8，mn=15， ∴②mn+m+n+1=24，即：(m+1)(n+1)=24， ∴③m=5，n=3，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④❑√8−2❑√15=(❑√5−❑√3) 2 ； 故答案为：①8，15；②24，24；③5，3；④❑√5−❑√3 （2）解：∵❑√8−4❑√3=❑√8−2❑√12， ∴设8−2❑√12=(❑√m−❑√n) 2 ，（m、n均为正整数，m>n）， ∴8−2❑√12=m−2❑√mn+n， 则m+n=8，mn=12， ∴mn+m+n+1=21，即：(m+1)(n+1)=21，∴m=6，n=2，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴❑√8−2❑√12=❑√(❑√6−❑√2) 2=❑√6−❑√2； 即：❑√8−4❑√3=❑√6−❑√2； 故答案为：❑√6−❑√2； （3）他这种解决问题的策略用的是转换化归的数学思想； 故答案为：转换化归． 【变式10-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 x=2−❑√3,y=2+❑√3.求 x2+xy+ y2的值．佳佳先将 x²+xy+ y²利用完全平方公式转化 为：x2+xy+ y2=(x+ y) 2−xy ∵x=2−❑√3,y=2+❑√3 ∴x+ y=2−❑√3+2+❑√3=4，xy=(2−❑√3)(2+❑√3)=1，∴原式=42−1=15. (1)若 x=3−❑√5,y=2+❑√5,求： (x2−6x+9)(y2−4 y+4)的值； (2)若 x=❑√7+❑√2,y=❑√7−❑√2,求： x2+ y2+2xy−3x−3 y的值． 【答案】(1)25 (2)28−6❑√7 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值， （1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可； （2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可； 【详解】（1）原式=(x−3) 2 (y−2) 2=(3−❑√5−3) 2 (2+❑√5−2) 2=5×5=25， （2）∵x+ y=❑√7+❑√2+❑√7−❑√2=2❑√7， ∴原式=(x+ y) 2−3(x+ y) =(2❑√7) 2 −3×2❑√7 =28−6❑√7 【变式10-2】（23-24九年级·江西吉安·期末）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 【答案】1；1 【分析】将n=1和n=2代入题干中给出的算术进行计算即可． 【详解】解：第1个数：当n=1时， 1 [ (1+❑√5) n (1−❑√5) n ) − ❑√5 2 2 1 (1+❑√5 1−❑√5) = − ❑√5 2 2 1 = ×❑√5 ❑√5 =1． 第2个数：当n=2时， 1 [ (1+❑√5) n (1−❑√5) n ) − ❑√5 2 2 1 [ (1+❑√5) 2 (1−❑√5) 2 ) = − ❑√5 2 2 1 (1+❑√5 1−❑√5)(1+❑√5 1−❑√5) = + − ❑√5 2 2 2 2 1 = ×1×❑√5 ❑√5 =1． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【变式10-3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公 式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0，∴a+b≥2❑√ab，当且仅 当a=b时取等号， 4 例如：当a>0时，求a+ 的最小值． a 4 √ 16 √ 4 4 解∵a>0∴a+ ≥2❑a⋅ 又∵2❑a⋅ =4，∴a+ ≥4，即a=2时取等号． a a a a 4 ∴a+ 的最小值为4． a 请利用上述结论解决以下问题： 1 (1)当x>0时，当且仅当x=__________时，x+ 有最小值__________． x m2+5m+12 (2)当m>0时，求 的最小值． m (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂 直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)1；2 (2)4❑√3+5 (3)40米 【分析】（1）仿照阅读材料计算，即可求解； 12 （2）先原式变形为m+ +5，再仿照阅读材料计算，即可求解； m 200 （3）设垂直于墙的一边长为x米，其中x>0，则平行于墙的一边长为 米，可得需要用的篱笆长度为 x( 200) 2x+ 米，再仿照阅读材料计算，即可求解． x 【详解】（1）解：∵x>0， 1 √ 1 ∴x+ ≥2❑ x⋅ =2， x x 1 ∴x+ ≥2， x 1 当x= ，即x=1时，取等号， x 1 ∴x+ 的最小值为2， x 故答案为：1；2 m2+5m+12 12 （2）解： =m+ +5， m m ∵m>0， 12 √ 12 ∴m+ ≥2❑m⋅ =4❑√3， m m 12 ∴当m= ，即m=2❑√3时，取等号， m 12 即m+ 的最小值为4❑√3， m m2+5m+12 ∴ 的最小值为4❑√3+5； m 200 （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，其中x>0，则平行于墙的一边长为 米， x ( 200) ∴需要用的篱笆长度为 2x+ 米， x 200 √ 200 ∵2x+ ≥2❑2x⋅ =40， x x 200 200 ∴当2x= ，即x=10时，2x+ 有最小值，为40， x x 答：需要用的篱笆最少是40米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，理解阅读材料是解题的关键．