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专题 16.3 二次根式的应用
◆ 典例分析
【典例1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即 ，当且仅当
(❑√a−❑√b) 2 ≥0 ， a+b−2❑√ab≥0,∴a+b≥2❑√ab
a=b时取等号，此时a+b有最小值为2❑√ab ．
9
【实例展示1】已知x>0，求式子x+ 最小值．
x
9 √ 9 9
解：x+ ≥2❑ x⋅ =6 ，当且仅当x= ,∵x>0 ，即x=3时，式子有最小值为6．
x x x
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大
的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大
于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”．
x−1 x2 3 2x
【实例展示2】如： , 这样的分式就是假分式；如： , 这样的分式就是真分式，假分
x+1 x−1 x+1 x2+1
7 3
数 可以化成1 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
4 4
x−1 (x+1)−2 2 x2 (x2−1)+1 (x−1)(x+1) 1 1
= =1− , = = + =x+1+ .
x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
16
（1）已知x>0，则当x=______时，式子x+ 取到最小值，最小值为______；
x
3 x+6
（2）分式 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式形式为______；如果分
x x+1
x+6
式 的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
x+4
（3）用篱笆围一个面积为225m2的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最
短，最短的篱笆是多少？x−1
（4）已知x>1，当x取何值时，分式 取到最大值，最大值为多少？
x2−2x+5
【思路点拨】
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
3
（2）根据新定义判断分式 是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
x
225
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽= 米，则所用的篱笆总长为2倍的长+2倍的宽，
x
本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
a+b
≥❑√ab求解；
2
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案．
【解题过程】
16
（1）解：令a=x,b= ，则有a+b≥2❑√ab，
x
16 √ 16
得x+ ≥2❑ x⋅ =8，
x x
16
当且仅当x= 时，即正数x=4时，式子有最小值，最小值为8；
x
故答案为：4，8；
3
（2）解：根据新定义分式 是真分式，
x
x+6 (x+1)+5 5
= =1+ ，
x+1 x+1 x+1
x+6 2
∵x为整数， =1+ 的值为整数，
x+4 x+4
2
∴ 为整数，
x+4
∴x+4=2或x+4=−2或x+4=1或x+4=−1，
解得：x=−2或x=−6或x=−3或x=−5，
则满足条件的整数x的值有4个，
5
故答案为：真分式，1+ ，4；
x+1
225
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为 米，所用的篱笆总长为y米，
x450
根据题意得：y=2x+
x
由上述性质知：∵x>0，
225 √ 225
∴x+ ≥2❑ x⋅ =30，
x x
225
此时，x= ，
x
∴x=15，
答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
x−1
（4）解：
x2−2x+5
x−1
=
x2−2x+1+4
x−1
=
(x−1) 2+4
1
=
4 ，
x−1+
x−1
∵x>1，
4 √ 4
∴x−1+ ≥2❑(x−1)× =4，
x−1 x−1
4 4
当且当x−1= 时，即x=3时，式子x−1+ 有最小值为4，
x−1 x−1
x−1 1
当x=3时，分式 取到最大值，最大值为 ．
x2−2x+5 4
◆ 学霸必刷
4 4
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设x>0，2x+ 的最小值为m，使得2x+ 取最小值的x值为n，则
x x
m−n=（ ）
A．8 B．6 C．−2❑√2 D．3❑√2
2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为
2 1
❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数部分，则 − 的值为（ ）
b aA．❑√6+❑√2−1 B．❑√6−❑√2+1 C．❑√6−❑√2−1 D．❑√6+❑√2+1
3．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均
相等，则a+bc= ．
3❑√3 1 b
3 a 2
❑√2 6 c
4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的
面积分别为S =18，S =12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ．
1 2
5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其
中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2❑√30−6，则较小的正方形面积为
．
6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2
的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．
7．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x,y，点E、G分别在
25
边AB、AD上，若x−y=2❑√6，xy= ，则图中阴影部分图形的面积的和为 ．
48．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地
放在底面为长方形（长为❑√21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴
影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 ．
9．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4:2:1的长方体；
求：
（1）长方体的表面积是多少？
（2）长方体的体积是多少？
10．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m
，宽 为 ，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为 ，宽
AB ❑√32m (❑√10+1)m
为 ．
(❑√10−1)m
（1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通
道，购买地砖需要花费多少元？11．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别是边长为
和 的正方形相框．
(❑√15+❑√5)cm (❑√15−❑√5)cm
（1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍？
（2）现在小华想用长为25cm的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大
约还需要买多长的彩带？（参考数据：❑√15≈3.9）
12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别
为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出
多少块这样的木条，请你直接写出答案．13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所
示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2，8dm2和18dm2的正方形木板A，B，C．
（1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________dm，B的边长为___________dm，C的边长为
___________dm；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，请你判
断能否截出，并说明理由．
14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为
ℎ
，甲盒
子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形．
（1）若bc=24,ℎ =❑√3，求甲盒子的侧面积；
（2）设甲，乙两个盒子侧面积分别为S ，S ，
甲 乙
①S ______S （填“>”“=”“<”）
甲 乙
②说明①的理由．15．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物
√ℎ
品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式t=❑ （不考虑空气阻力的影响）．
5
（1）小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为
_________s（结果保留根号）；
（2）某物体从高空落到地面的时间为3s，则该物体的起始高度
ℎ
=_________m；
（3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公
式E=mgℎ 计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息
判断，一个质量为0.1kg的玩具经过4s落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的
行人吗？请说明理由．
16．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过
观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是
√ l
他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：T=2π❑ ，
g
其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，g=9.8m / s2，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确
到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：❑√3≈1.73，❑√5≈2.24)【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填
“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数
该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．
请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准
确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间
1s，求该摆钟的摆线长．
17．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的
公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
a+b+c
p= ，则其面积❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
2
（1）当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为❑√5、❑√6，❑√7，请求出三角形的面积；
（3）若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．
18．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考：2
(√1 √1)
∵ ❑ −❑ >0
2 3
1 √1 1 1
∴ −2❑ × + >0
2 2 3 3
1 1 √1 1
∴ + >2❑ × ．
2 3 2 3
（1）填空：6+3________2❑√6×3；7+7________2❑√7×7．
（2）试猜想a+b与2❑√ab(a≥0,b≥0)的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝
时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
19．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】
若 ，则 （注： ）．
a>0,b>0 a=(❑√a) 2 ,b=(❑√b) 2 ,∴(❑√a−❑√b) 2=a+b−2❑√ab ❑√a⋅❑√b=❑√ab
．“ ”称为“基本不等式”，利用它可
∵(❑√a−❑√b) 2 ≥0,a+b−2❑√ab≥0,∴a+b≥2❑√ab a+b≥2❑√ab
求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当a=b时，取等
号．）
【例】：若a>0,b>0,ab=16，求a+b的最小值．
解：∵a>0,b>0,ab=16∴a+b−2❑√ab≥0，
∴a+b≥2❑√ab=8．
∴a=b=4时，a+b的最小值为8．
【解决问题】
（1）若m>0,n>0,m+n=24，求mn的最大值；
（2）用篱笆围成一个面积为144m2的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
（3）用一段长为80m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大
面积是多少．
a+b
20．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式❑√ab≤ (a>0, b>0)当且仅当a=b
2
a+b
时，等号成立，其中我们把 叫正数a, b的算术平均数，❑√ab叫正数a, b的几何平均数，它是解决最大
2
（小）值问题的有力工具．
1
例如：在x>0的条件下，当x为何值时，x+ 有最小值，最小值是多少？
x
1
1 x+ 1 √ 1
解：∵x>0, >0，∴ x √ 1，即x+ ≥2❑ x⋅
x ≥❑ x⋅ x x
2 x
1 1 1
∴x+ ≥2．当且仅当x= 时，x+ 有最小值，最小值为2；
x x x
请根据阅读材料解答下列问题：
1
（1）若x>0，函数y=2x+ ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值．
x1
（2）若x>3时，求式子2x+ 的最值，并说明此时x的值．
x−3
1
（3）x>0时，式子x2+1+ ≥2成立吗？说明理由．
x2+1
21．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】
∵ ．
(❑√6+❑√5) 2=(❑√6) 2+(❑√5) 2+2❑√6×5=11+2❑√30
∴ ；
❑√11+2❑√30=❑√(❑√6+❑√5) 2=❑√6+❑√5
∵ ，
(2+❑√3) 2=22+(❑√3) 2+2×2×❑√3=7+4❑√3
∴ ．
❑√7+4❑√3=❑√(2+❑√3) 2=2+❑√3
【初步探索】
（1）化简：❑√9+2❑√14= ；
（2）形如❑√m−2❑√n可以化简为❑√a−❑√b，即❑√m−2❑√n=❑√a−❑√b，且a，b，m，n均为正整数，用含
a，b的式子分别表示m，n，得m= ，n= ；（3）若❑√x+4❑√5=1+ y❑√5，且x，y均为正整数，求x的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面
积分别为 和 ．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不
80cm2 (14+6❑√5)cm2
计，参考数据❑√5≈2.236）；
型号 长 宽 高
A型 10cm 8cm 12cm
B型 12cm 10cm 15cm
C型 16cm 10cm 10cm
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
22．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
因为 ，
(❑√5+❑√2) 2=5+2+2❑√5×2=7+2❑√10
所以 ；
❑√7+2❑√10=❑√(❑√5+❑√2) 2=❑√5+❑√2
因为 ，
(❑√8−❑√6) 2=8+6−2❑√6×8=14−8❑√3
所以 ．
❑√14−8❑√3=❑√14−2❑√48=❑√(❑√8−❑√6) 2=❑√8−❑√6=2❑√2−❑√6
【建立模型】
形如❑√p±2❑√q的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数m,n(m>n)，使m+n=p，mn=q，
那么❑√p±2❑√q=❑√m±❑√n．
【问题解决】（1）化简：①❑√11+2❑√30=______；
②❑√71−16❑√7=______；
11❑√30
（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为 +2，宽为2❑√30的长方形，当它们的面积相等时，求
30
正方形的边长；
（3）已知 ，则代数式 的值为______．
x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3 ❑√x2+2xy+ y2+x−y−4
