文档文本内容
专题 15.2 分式的运算【十大题型】
【人教版】
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】...............................................................................................................2
【题型2 分式的加减混合运算】...........................................................................................................................2
【题型3 整式与分式的相加减运算】...................................................................................................................3
【题型4 分式加减的实际应用】...........................................................................................................................3
【题型5 比较分式的大小】...................................................................................................................................4
【题型6 分式的混合运算及化简求值】...............................................................................................................4
【题型7 分式中的新定义问题】...........................................................................................................................5
【题型8 分式运算的规律探究】...........................................................................................................................6
【题型9 整数指数幂的运算】...............................................................................................................................8
【题型10 科学计数法表示小数】...........................................................................................................................8
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。 a n=an
（ ）
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c ca d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
(a+b) 2 (a+b) 2 a+b
【例1】（2022·全国·八年级课时练习） ÷ × 的结果是（ ）
a-b a-b a-b
a-b a+b (a+b) 2
A． B． C． D．1
a+b a-b a-b
【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）（1） n2 4m2 ________；
- ⋅ =
2m 5n3
a2 5 b2 6 1 7
（2）( ) ⋅( ) ⋅( ) =________；
-b -a ab
3b2c 3
（3）(-3ab3c2 ) 2÷(- ) =________；
a
y 2 3x 3 3x 2
（4）(- ) ⋅(- ) ÷(- ) =________；
2x 2y 2ay
（5） c3 2 c4 2 a 4 ________．
( ) ÷( ) ÷( ) =
a2b a3b c
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习） a7b2 (a2-b2 ) 4 a2 (b-a) 3
[- ]⋅ ÷[ ]
3(a+b) a2 2
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且
a2b2 b2c2 c2d2 abcd，则a2 b2 c2 d2的值为______ ．
= = = + + +
a2y2+b2x2 b2z2+c2y2 c2w2+d2z2 xyzw x2 y2 z2 w2
【题型2 分式的加减混合运算】
2x+7 M N
【例2】（2022·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有 = + ，则M，N值为（
x2+x-2 x+2 x-1
）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【变式2-1】（2022·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：2y2+3 y+2 y2- y-5 3 y2-4 y-5 2y2-8 y+5
- - +
y+1 y+2 y-2 y-3
【变式2-2】（2022·全国·中考模拟）计算下列各式：
（1） 1 1 2a 4a3 ；
+ + +
a-b a+b a2+b2 a4+b4
（2） x2+ yz y2-zx z2+xy ；
+ +
x2+(y-z)x- yz y2+(z+x)y+zx z2-(x- y)z-xy
（3）
x3-1 x3+1 2(x2+1)
+ -
x3+2x2+2x+1 x3-2x2+2x-1 x2-1
(y-x)(z-x) (z- y)(x- y) (x-z)(y-z)
（4） + + ．
(x-2y+z)(x+ y-2z) (x+ y-2z)(y+z-2x) (y+z-2x)(x-2y+z)
1 1 1 7
【变式2-3】（2022·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且
x+ y y+z z+x 6
z x y
+ + ＝11，则x+y+z的值为（ ）
x+ y y+z z+x
72
A．12 B．14 C． D．9
7
【题型3 整式与分式的相加减运算】
1
【例3】（2022·贵州铜仁·八年级期末）计算： -1-x的结果是________．
1-x
5 2a-4
【变式3-1】（2022·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+ ）⋅ =_______．
2-a a+3
4x
【变式3-2】（2022·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= ．
x+1
(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
3 Q
(2)设y= - ，若x是整数，求y的整数值．
P 2
(1+c 1) 1+c 1
【变式3-3】（2022·河北·中考真题）由 - 值的正负可以比较A= 与 的大小，下列正确的是
2+c 2 2+c 2
（ ）
1 1
A．当c=-2时，A= B．当c=0时，A≠
2 21 1
C．当c<-2时，A> D．当c<0时，A<
2 2
【题型4 分式加减的实际应用】
【例4】（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行
器的速度为v，往返所需时间为t ；如果风速度为p(0<p<v)，则飞行器顺风飞行速度为(v+p)，逆风飞行
1
速度为(v-p)，往返所需时间为t ．则t 、t 的大小关系为（ ）
2 1 2
A．t <t B．t ≤t C．t ≥t D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【变式4-1】（2022·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种
糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n
ma+nb
千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为 （平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合
m+n
而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B
种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x 和x （用a、b的代数式表示）；
甲 乙
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x 与x 进行作差比较，即计算x -x 的差与0比
甲 乙 甲 乙
较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．
方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
【变式4-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为(100-ax)
100-ax
千米，乙距离终点为(100-bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满
100-bx
足的条件．
【变式4-3】（2022·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比
B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵4819=79×61，7比6大1，1+9=10，∴4819是“分解数”；又如：∵1496=44×34，4比3大1，4+4≠10，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数M=A×B为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为P(M)，A的个位数字与B的十
P(M)
位数字的和F(M)，令G(M)= ，当G(M)为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被
F(M)
2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
【题型5 比较分式的大小】
y+1 y
【例5】（2022·全国·七年级单元测试）设M= ，N= ，当x>y>0时，M和N的大小关系是（ ）
x+1 x
A．M>N B．M=N C．M<N D．不能确定
n n-1 n
【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·八年级期末）已知n>1，M= ，N= ，P= ，则
n-1 n n+1
M、N、P的大小关系为_____________．
【变式5-2】（2022·全国·九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+ y2+z2，
1 1 1 1 1 1
b=xy+ yz+zx，c= + + ，d= + + ．则a与b的大小关系是_______；c与d的大小关系是
x2 y2 z2 xy yz zx
______．
a+1 a+2
【变式5-3】（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M= ，N= ．
a+2 a+3
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2022·天津东丽·八年级期末）计算
（1）4a b (1) 2
⋅ ÷
3b 2a4 a
（2） a a2-a 1
÷ -
a-1 a2-1 a-1
【变式6-1】（2022·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣x-2y÷x2-4xy+4 y2，其中x＝﹣2，y
x+ y x2- y21
＝ ．
2
3 a2-4a+4
【变式6-2】（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A (a+1- )÷
a-1 a-1
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来
分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【变式6-3】（2022·全国·八年级单元测试）已知 x,y 为整数，且满足
(1 1)( 1 1 ) 2( 1 1 ) ，求 的值．
+ + =- - x+ y
x y x2 y2 3 x4 y4
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
x+1 x-1+2 x-1 2 2 x+1
的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ，则 是“和谐
x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x-1
分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
x+3 x-5 x-1 x+1
① ② ③ ④
3 x x+2 x2
x2+6x+3
(2)请将“和谐分式” 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
x+3
(3)应用：先化简( x ) x2-3x x+1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
x- ÷ ⋅
x+1 x2-9 x2+6x
【变式7-1】（2022·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶
3 3x
分式”，例如分式 与 互为“3阶分式”.
x+1 1+x
10x
（1）分式 与 互为“5阶分式”；
3+2x
2x 2y
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
x+ y2 y+x2a 2b
（3）若分式 与 互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
a+4b2 a2+2b
【变式7-2】（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们
1 1
的积，即M-N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如 与 ，因为
x+1 x+2
1 1 1 1 1 1 1 1
- = ， × = ，所以 是 的“关联分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
2 2 2
(1)已知分式 ，则 ______ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
a2-1 a2+1 a2-1
1
(2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“关联分式”为N，则 -N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
∴( 1 ) 1 ，
+1 N=
x2+ y2 x2+ y2
1
∴N= ．
x2+ y2+1
a-b
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
2a+3b
y
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：______；
x
②用发现的规律解决问题：
4n-2 4m+2
若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
mx+m mx+n
【变式7-3】（2022·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式
5 5x 5 5x
互为“n和分式”．例如： + =5，我们称两个分式 与 互为“5和分式”．解答下列问
x+1 x+1 x+1 x+1
题：
4
（1）分式 与分式________互为“4和分式”；
x+1
2x 2y
（2）分式 与分式 互为“________和分式”；
x+ y x+ y
1 1
（3）已知xy=1，两个分式 与 是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明
x+1 y+1理由；
3x 3 y
（4）若分式 与 互为“3和分式”（其中x，y为正数），求xy的值．
x+ y2 x2+ y
【题型8 分式运算的规律探究】
1
【例8】（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝ ，例如：f（3）
1+x
1
1 1 1 3 1 1 1 1 1 1
＝ = ，f（ ）= =1- ，计算：f（ ）+ f（ ）+ f（ ）+ …f（ ）+ f（ ）+ f
1+3 4 3 1 4 2006 2005 2004 3 2
1+
3
（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【变式8-1】（2022·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
2 ( 1-4) 2
第1个等式： × 2- = ；
32-4 1 1
4 ( 2-4) 2
第2个等式： × 2- = ；
42-4 2 2
6 ( 3-4) 2
第3个等式： × 2- = ；
52-4 3 3
8 ( 4-4) 2
第4个等式： × 2- = ；
62-4 4 4
10 ( 5-4) 2
第5个等式： × 2- = ；……
72-4 5 5
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【变式8-2】（2022·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
x-1 x-1 x -1 1
观察分式 的变形过程和结果， = + =1- ．
x x x x x
x-1
填空：若x为小于10的正整数，则当x=_______时，分式 的值最大．
x
（2）探究二：
a2+2a-2
观察分式 的变形过程和结果，
a-1a2+2a-2 (a-1) 2+4a-3 (a-1) 2+4(a-1)+1 1 1
= = =a-1+4+ =a+3+ ．
a-1 a-1 a-1 a-1 a-1
x2+2x-1
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式 的变形结果．
x-1
【问题解决】
（3）当 时，求分式x2-2|x|-1的最小值．
-2<x≤1
|x|-2
【变式8-3】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，
是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常
规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体
代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
(x2+2x)(x2+2x+2)+1
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x= y
原式
= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2+2x+1) 2 =(x+1) 4
1 1
例2：已知ab=1，求 + 的值．
1+a 1+b
1 1 ab 1 b 1
解： + = + = + =1
1+a 1+b ab+a 1+b 1+b 1+b
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；
(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1
(2)计算：(1-2-3-⋯-2021)×(2+3+⋯+2022)-(1-2-3-⋯-2022)×(2+3+⋯+2021)=______
1 1
(3)①已知ab=1，求 + 的值；
1+a2 1+b2
5a 5b 5c
②若abc=1，直接写出 + + 的值．
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂： 。
2.若 ，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则 。据此，可解决某些条件求值问题。【题型9 整数指数幂的运算】
【例9】（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：
4x2y⋅(-x y2) 3 ÷ y
；
（2）化简：(x) 2 y3 ．
⋅
y 4x2
【变式9-1】（2022·甘肃陇南·八年级期末）计算：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3＝_____．
【变式9-2】（2022·河北·唐山市第三十三中学八年级阶段练习）已知
a2 ⋅(am) 3 =a-4
，则m的值为______．
【变式9-3】（2022·贵州铜仁伟才学校八年级阶段练习）化简下列式子，使结果只含有正整数指数幂：
（-2a﹣2b3）2（﹣2a4b﹣3）=________（a≠0，b≠0）．
【题型10 科学计数法表示小数】
【例10】（2022·辽宁锦州·七年级期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150
吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×10-10吨 B．1.5×10-11吨 C．15×10-12吨 D．1.5×10-9吨
【变式10-1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm
用科学记数法表示为6.7×10n mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【变式10-2】（2022·河北·卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n
为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58 B．5.58 C．-0.58 D．-0.42
【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方
千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
