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专题 14.3 乘法公式【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】..................................................................................................................2
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】..................................................................................................................4
【题型3 由完全平分式求字母的值】......................................................................................................................5
【题型4 平方差公式的几何背景】..........................................................................................................................7
【题型5 完全平方公式的几何背景】....................................................................................................................12
【题型6 乘法公式的应用】....................................................................................................................................16
【题型7 乘法公式的证明】....................................................................................................................................19
【题型8 由乘法公式求最值】................................................................................................................................23
【题型9 乘法公式的规律探究】............................................................................................................................25
【题型10 乘法公式中的新定义问题】....................................................................................................................29
知识点：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公
式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公
式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边
都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2
倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】
【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502−49×51= ．
【答案】1
【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
按照平方差公式将49×51进行转化为(50−1)×(50+1)，即可简便计算结果.
【详解】502−49×51
=502−(50−1)×(50+1)
=502−(502−1)
=502−502+1
=1．
故答案为：1．
【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：
(1)99×101；
(2)20012−1．
【答案】(1)9999
(2)4004000
【分析】本题考查平方差公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=(100−1)(100+1)
=1002−12
=10000−1
=9999；
（2）解：原式(2001+1)(2001−1)
=2002×2000
=4004000．
2019
【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算： = .
20192−2020×2018【答案】2019.
【分析】原式利用数的变形化为平方差公式2020×2018=(2019+1)(2019−1)=20192−1，计算即可求
出值．
【详解】解：∵2020×2018=(2019+1)(2019−1)=20192−1
2019 2019 2019
∴ =
= =2019
20192−2020×2018 20192−(20192−1) 1
故答案是：2019.
【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：
{( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ))
1012÷ 1− 1− 1− … 1− 1− = ．
22 32 42 20222 20232
【答案】2023
1 ( 1)( 1)
【分析】利用平方差公式将1− 变形为 1− 1+ ，通过相邻的项约分化简即可求解．
n2 n n
{( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ))
【详解】解：1012÷ 1− 1− 1− … 1− 1− =
22 32 42 20222 20232
{( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ))
=1012÷ 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ … 1− 1+ 1− 1+
2 2 3 3 4 4 2022 2022 2023 2023
(1 3 2 4 3 5 2021 2023 2022 2024)
=1012÷ × × × × × ×…× × × ×
2 2 3 3 4 4 2022 2022 2023 2023
(1 2024)
=1012÷ ×
2 2023
1012
=1012÷
2023
2023
=1012×
1012
=2023
故答案为：2023．1 ( 1)( 1)
【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将1− 变形为 1− 1+ ．
n2 n n
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】
【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【答案】−12
【分析】首先根据题意得出x2−y2=(x+ y)(x−y)=2(y−x)且x2+ y2=2(x+ y)+10，从而进一步得出
x+ y=−2，由此进一步求出xy的值，最后再通过将所求式子分解为(x+ y)(x2+ y2−xy)+2进一步计算即
可.
【详解】∵x2=2y+5，y2=2x+5，
∴x2−y2=(x+ y)(x−y)=2(y−x)，x2+ y2=2(x+ y)+10，
∵x≠ y，而(x+ y)(x−y)=2(y−x)，
∴x+ y=−2，
∴x2+ y2=2(x+ y)+10=6=(x+ y) 2−2xy，
∴xy=−1，
∴x3+2x2y2+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)+2=−2×7+2=−12，
故答案为：−12.
【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.
【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4 y2=36，则xy= ．
【答案】7
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算
即可．
【详解】解：∵ x+2y=8，x2+4 y2=36，
∴(x+2y) 2=64，
∴x2+4xy+4 y2=64，
∴xy=7，
故答案为：7．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果a2−2a=1，那么代数式a(a−2)+(a−1) 2的值为
（ ）A．−1 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类
项，最后整体代入即可．
【详解】解：a(a−2)+(a−1) 2
=a2−2a+a2−2a+1
=2a2−4a+1
=2(a2−2a)+1；
当a2−2a=1时
原式=2×1+1
=3．
故选：C．
( 1)
【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足(a2+1)(b2+4)=8ab，则a b+ = ．
b
5
【答案】
2
【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由(a−1) 2≥0，(b−2) 2≥0
，(a2+1)(b2+4)=8ab，得a=1，b=2，代入求解即可．
【详解】解：∵(a−1) 2≥0，(b−2) 2≥0，
∴a2+1≥2a，b2+4≥4b，当a=1及b=2时，等号成立，
∴(a2+1)(b2+4)≥8ab，当a=1及b=2时，等号成立，
∵(a2+1)(b2+4)=8ab，
∴a=1，b=2，
( 1) ( 1) 5
∴a b+ =1× 2+ = ．
b 2 2
5
故答案为： ．
2【题型3 由完全平分式求字母的值】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单
项式Q是 ．
【答案】±4x , 4x4，-1，-4x2
【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个
数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x; ②如果如果这里首末两项是Q和1，
则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.
【详解】解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)2
4x2+1+4x4 = (2x2+1)2;
∴加上的单项式可以是±4x , 4x4,-1，-4x2中任意一个,
故答案为：±4x , 4x4，-1，-4x2
【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.
【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2−kx+36是一个完全平方式，则k= ．
【答案】±12
【分析】本题主要考查完全平方式，利用完全平方式的结构特征即可求出结果．
【详解】解：∵ x2−kx+36是一个完全平方式
即(x±6) 2= x2±12x+36
∴k=±12
故答案为：±12．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2(k+1)x+16是一个完全平方式，则k的值为
（ ）
A．2 B．3或−5 C．1 D．±2
【答案】B
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征
判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵x2+2(k+1)x+16是一个完全平方式，
∴2(k+1)=±4×2，
解得：k=3或k=−5，
故选：B．
【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+x4+ 是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
1 1
【答案】
x6； ;2x3
4 4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2 ，分情况讨论：
1 1 2
（1）当x4相当于2ab项时， x2+x4+ x6=(x+ x3 ) ，可满足题意；
4 2
1 1 2
（2）当x2相当于2ab项时，x2+x4+ =(x2+ ) ，可满足题意；
4 2
（3）当x4与x2相当于a与b，则需要求的是2ab项，则x2+x4+2x3=(x+x2
)
2，可满足题意.
1 1
故答案为
x6； ；2x3
.
4 4
【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个
形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
1 1
【答案】(1) (a+b)(a−b)或 (a2−b2)
4 4
(2)方法一：(a+b)(a−b)，方法二：a2−b2；公式：(a+b)(a−b)=a2−b2
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题
的关键．
（1）根据梯形的面积公式求解即可；
（2）方法一：用（1）中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．(a−b)
(a+b)×
【详解】（1）解：根据题意得：梯形的面积为 2 1 ，
= (a+b)(a−b)
2 4
1
或：(a2−b2)÷4= (a2−b2)；
4
1 1
故答案为： (a+b)(a−b)或 (a2−b2)；
4 4
[1 )
（2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即 (a+b)(a−b) ×4=(a+b)(a−b)；
4
方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2−b2．
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b
．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2−4b2 B．4ab C．a2−b2 D．ab
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为x，正方形①的边长为y，由图1可得x+ y=a，
x−y=b，即可得(x+ y)(x−y)=ab，得到x2−y2=ab，再由图2可得
S =4x2−4 y2=4(x2−y2)=4ab，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键．
阴影
【详解】解：设正方形②的边长为x，正方形①的边长为y，
由图1可得，x+ y=a，x−y=b，
∴(x+ y)(x−y)=ab，
即x2−y2=ab，
∴S =4x2−4 y2=4(x2−y2)=4ab，
阴影
故选：B．
【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，
图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+2m)(a−2m)，
Q=(a+m)(a−m)，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体
挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒
等式．
【答案】（1）−3m2；（2）Pb）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结
论中，不正确的有（ ）A．(a−b) 2=28； B．ab=26
C．a2+b2=80 D．a2−b2=64
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，(a+b) 2=132，(a−b) 2=28，
再根据公式变形逐项进行判断即可．
【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b，中间的小正方形的边长为a−b，
∴(a+b) 2=132，(a−b) 2=28，
∴(a+b) 2−(a−b) 2=132−28，a2+2ab+b2=132，
∴a2+2ab+b2−a2+2ab−b2=104，
∴4ab=104，
∴ab=26，
∴a2+b2=132−2ab=132−2×26=80，
∵(a+b) 2=132，(a−b) 2=28，
∴[(a+b)(a−b)) 2 =(a+b) 2 (a−b) 2=132×28=3696，
∵a>b，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=❑√3696≠64，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
【变式5-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等
式(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为(2a+b)(a+b)，
各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2．(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
(2)已知等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，请你画出一个相应的几何图形；
(3)请你设计一个几何图形，并解释：(a+b)(a−b)=a2−b2．
【答案】(1)(a+b) 2=a2+2ab+b2；
(2)见解析；
(3)图见解析，解释见解析．
【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解
题的关键；
（1）利用正方形的面积公式即可证明．
（2）画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可；
（3）把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b，宽为a−b的长方形即
可．
【详解】（1）解：在图2中，大正方形的边长为(a+b) 2，
组成大正方形的5个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有(a+b) 2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b) 2=a2+2ab+b2；
（2）解：如图3所示：整体大长方形的长为x+p，宽为x+q，组成长方形的4个部分的面积和为x2+(p+q)x+pq，
因此有(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；
（3）解：如图4，
把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b，宽为a−b的长方形，
因此可以验证(a+b)(a−b)=a2−b2．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（23-24八年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼
池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【答案】7
【分析】设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得ab=1，a+b=3，由完全平方公式变形得
a2+b2=(a+b) 2−2ab，整体代入数据即可求解．
【详解】解：设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得ab=1，a+b=3，
由完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2得，
a2+b2=(a+b) 2−2ab=32−2×1=9−2=7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形和完全平方公式灵活变式应
用．【变式6-1】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的
清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为(a−2b)m的正方形．(0<2b0,
∴b=16．【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影
部分的面积是解题关键．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中
边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（01)，结合题意构造平方差公式
的形式进行求解即可．
【详解】解：（1）a=1×(2+1)(22+1)(24+1)⋯(22048+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(22048+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)⋯(22048+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)⋯(22048+1)
=24096−1，
故答案为：24096−1；
（2）b=(3+1)(32+1)(34+1)⋯(31024+1)
1
= (3−1)(3+1)(32+1)(34+1)⋯(31024+1)
2
32048−1
= ；
2
（3）(2+3i)(2−3i)=22−(3i) 2=4−9i2=4−9×(−1)=13，
故答案为：13；
（4）∵i2=−1，
∴i4=(i2) 2 =(−1) 2=1，则i8=(i4) 2 =1，……
∴i2n=1(n>1)，
[1+(2i) 2)[1+(2i) 4)[1+(2i) 8)⋯ [1+(2i) 256)[1+(2i) 512)=(1+22i2)(1+24i4)(1+28i8)⋯(1+2256i256)(1+2512i512)
=(1−22)(1+24)(1+28)⋯(1+2256)(1+2512)
．
