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专题 20.1 数据的分析【八大题型】
【人教版】
【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】....................................................................................2
【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】........................................................................2
【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】........................................................................................3
【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】....................................................................................4
【题型5 出错情况下的统计量问题】...................................................................................................................4
【题型6 利用方差判断稳定性】...........................................................................................................................5
【题型7 四种统计量的选择】...............................................................................................................................6
【题型8 统计量的综合应用】...............................................................................................................................7
【知识点1 平均数】
平均数：
x k +x k +⋯+x k
x= 1 1 2 2 n n
k +k +⋯+k x x x k k k
加权平均数： 1 2 n （ 1、 2… n的权分别是 1、 2… n）
x=x'+a
新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： 。
x' =x −a x' =x −a x' =x −a
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， 1 1 ， 2 2 ，…， n n
1
x'= (x' +x' +⋯+x' )
n 1 2 n x ,x ,⋯,x , x' ,x' ,⋯,x' ,
。 是新数据的平均数（通常把 1 2 n 叫做原数据， 1 2 n 叫做
新数据）。
【知识点2 众数与中位数】
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
【知识点3 方差】
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +…+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】
【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展
了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），
则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，25，45，35，
那么45是这组数据的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最低气
1 3 2 5 3
温
由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____．
【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示：
平时成绩
考试类
期中成绩 期末成绩
别
单元1 单元2 单元3 单元4 单元5
成绩 87 84 81 83 90 86 88
(1)计算小明该学期的平时平均成绩．(2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该学期的总评成绩．
【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】
【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的
中位数小于4，则a的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一
元二次方程x2−7x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5次上学途中所花时间（单位：min）x，y，10，
11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+ y2的值为（ ）
A．192 B．200 C．208 D．400
【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2x，4，有唯一的
众数4，则这组数据的中位数是______．
【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】
【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对A、B两名小主持人进行了专业素质、
创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：
应聘者 专业素质 创新能力 外语水平 应变能力
A 73 85 78 85
B 81 82 80 75
如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）
【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种
的葡萄树中各采摘了10棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克❑ 2）
如下表所示：
品种 甲 乙 丙 丁
平均数（x
21 24 25 25
）
方差（S2） 1.8 1.9 1.8 2
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______．
【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88
分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是________.【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽
取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，
那么甲、乙两班的优秀率的关系是__________________________．
班级 人数 中位数 平均数
甲班 27 104 97
乙班 27 106 96
【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】
【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据a、b、c的平均数为5，则2a−3、2b−3、2c−3
的平均数是___________．
【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如果m个数的平均数是a，
另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______．
【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）将一组数据的每一个数
都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为( )
A．31 B．30 C．1 D．29
【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数据1，2，3，4
的平均数为k ；数据5，6，7，8的平均数为k ；k 与k 的平均数是k；数据1，2，3，4，5，6，7，8的平
1 2 1 2
均数为m，那么k与m的关系是（ ）
A．k>m B．k=m C．k1.64
C．x>7.5，s2<1.64 D．x=7.5，s2<1.64
【题型6 利用方差判断稳定性】
【例6】（2022·全国·八年级）山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高
单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心
－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷
库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）
【变式6-1】（2022·北京·二模）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前
对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水
平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．【变式6-2】（2022·湖南·涟源市长郡蓝田中学七年级期末）甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射
靶5次，成绩统计如下：
命中环数/环 7 8 9 10
甲命中的频数/次 2 2 0 1
乙命中的频数/次 1 3 1 0
(1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？
(2)谁的射击成绩更稳定？
【变式6-3】（2022·浙江·浣江教育八年级期中）某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）
班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
(1)求九（1）班的平均数和九（2）班的中位数；
(2)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
【题型7 四种统计量的选择】
【例7】（浙江省绍兴市新昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）2021年，党中央国务院赋予
浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍
富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（ ）A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小
C．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大
【变式7-1】（四川省南充市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）数学李老师回忆当年大学毕业参
加公招，笔试成绩88分，进入前二分之一再面试．这个描述用到的统计量是所有笔试者成绩的（
）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【变式7-2】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级第二次模拟考试数学试题）某运动员为备战南京青
奥会，刻苦进行训练，为了判断他的成绩是否稳定，教练对他近阶段10次训练的成绩进行统计和分析，那
么教练最需要了解该运动员这10次成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【变式7-3】（2022•江阴市校级三模）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试
成绩，林老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考 79分以上，一半的学生考不到79分．”王
老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王
老师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．平均数、极差
C．中位数、方差 D．中位数、众数
【题型8 统计量的综合应用】
【例8】（2022·江苏盐城·九年级期中）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度
等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分
制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
7 9
甲种西瓜（分) 85 86 88 96 96
5 0
8 9
乙种西瓜（分) 83 87 90 92 94
0 0甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西
a b 96
瓜
乙种西
88 90 c
瓜
(1)a=_______，b=_______，c=_______；
(2)从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出
他们的理由．
【变式8-1】（重庆市万州区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）为了让万州区义务教育阶段学生
更加深入地了解新型冠状肺炎，从而增强学生的自我防护意识，万州区教委组织了一次新型冠状肺炎相关
防疫知识竞赛，通过学校选拔和推荐，对进入此次决赛的小学组和初中组各20名学生的成绩进行了整理和
分析，给出了部分信息如下：
小学组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100 分)表1
67 89 88 65 75 76 80 85 88 92
98 100 66 73 86 86 87 95 86 78
初中组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100分)表 2
76 83 89 68 68 95 83 86 86 67
77 86 90 84 68 100 86 73 93 86
整理数据：(用X表示学生决赛成绩)表3
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90分及以上
小学组学生 3 4 9 4决赛成绩
初中组学生
4 3 9 4
决赛成绩
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：表4
优秀率
平均数 中位数 众数 （80分及
以上）
小学组学
生决赛成 83 86 b 65%
绩
初中组学
生决赛成 82.2 a 86 65%
绩
(1)表中a= ，b= ；
(2)本次决赛各组分别设一等奖2名，二等奖3名，三等奖5名，在初中的小虎在此次决赛中成绩为86分，他
说只要知道一个数据就能确定是否得奖了，你认为他是根据 知道的 (填"平均数”、”中位数”、”众
数”、"优秀率") ；
(3)根据表4中的数据，你认为哪个组在此次决赛中表现比较好？请说明理由．
【变式8-2】（云南省昭通市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）为弘扬民族精神，传播传统文化，
某县教育系统将组织“弘扬传统文件化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加
初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛．
(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只
需知道这19位同学成绩的______；（填：平均数或众数或中位数）
(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：
签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 8.5 9.1 9.2 8.6 9.3 8.8 9.6 8.9 8.7 9.7
签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19
成绩 9.8 9.1 8.9 9.3 9.6 8.8 9 8.7 9.3
2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”
14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！”
请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近
三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38．你
认为______号选手的成绩比较稳定．
【变式8-3】（江苏省盐城市大丰区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）某学校从九年级同学中任
意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统
计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
根据上面的信息，解答下列问题：
(1)甲组的平均成绩为______分，甲组成绩的中位数是______，
乙组成绩统计图中m=______，乙组成绩的众数是______；
(2)根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．
