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专题 19.1 函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别函数的相关概念】..............................................................................................................................1
【题型2 根据实际问题列函数关系式】..................................................................................................................3
【题型3 确定自变量的取值范围】..........................................................................................................................4
【题型4 函数图象上点的坐标特征】......................................................................................................................6
【题型5 列表法表示函数关系】..............................................................................................................................7
【题型6 解析法表示函数关系】............................................................................................................................10
【题型7 描点法作函数图象】................................................................................................................................13
【题型8 图象法表示函数关系】............................................................................................................................18
【题型9 函数图象的识别】....................................................................................................................................21
【题型10 动点问题的函数图象】............................................................................................................................25
知识点1：函数的相关概念
1. 常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量 ；数值始终不变的量叫做常量。
2. 函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
【题型1 辨别函数的相关概念】
【例1】（24-25八年级·贵州毕节·期末）一个长方体的长为12，宽为b(b<12)，高为1，体积为V，体积
V随着宽b的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．b，V都是因变量 B．b是因变量，V是自变量
C．b，V都是自变量 D．b是自变量，V是因变量
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，常量与变量的概念即可求解．
【详解】解：∵体积V随着长b的变化而变化，，
∴b是自变量，V是因变量，故选：D．
【变式1-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握“设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确
定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量”是解题的关键．
根据函数的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
B．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
C．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
D．当x<0时，y有两个值与之对应，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示
牌，其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而
变化，
故选：D．【变式1-3】（24-25八年级·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
1
A．|y)=x B．y=− x
2
6
C．y=3x+1 D．y=
x
【答案】A
【分析】本题考查了函数概念：对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函
数；根据函数概念逐一进行判断即可．
【详解】解：对于|y)=x，当x=1时，则y=±1，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的
函数；
1 6
对于y=− x、y=3x+1、y= ，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取
2 x
值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故选：A．
【题型2 根据实际问题列函数关系式】
【例2】（24-25八年级·福建厦门·期中）一个弹簧，不挂物体时长6cm，挂上物体后，所挂物体质量每增
加1kg，弹簧就伸长0.25cm，但总质量不得超过10kg，则弹簧的总长度y（单位：cm）与所挂物体质量x
（单位：kg）之间的函数解析式是 ，其中自变量x的取值范围是 ．
【答案】 y=0.25x+6 0≤x≤10
【分析】弹簧的总长度=初始长度+挂物体后伸长的长度，其中初始长度为6cm，挂xkg物体后，弹簧伸长
0.25xcm．
【详解】解：由于不挂物体时弹簧长6cm，即当x=0时，y=6，
所挂物体质量每增加1kg，弹簧就伸长0.25cm，
故所求y与x之间的函数关系式为y=0.25x+6．
由于物体质量不超过10kg，故0≤x≤10．
故答案为：y=0.25x+6，0≤x≤10．
【点睛】考查函数关系式及函数自变量的取值范围，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关
键．应注意一次函数的一般形式为y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），以及自变量的取值范围．
【变式2-1】（24-25八年级·全国·课后作业）某种储蓄月利率是0.36%，今存入本金100元，则本息和y
（元）与所存月数x（个）之间的函数解析式是 .
【答案】y=0.36x+100
【分析】根据本金、利息和时间之间的关系，利息=本金×月利率×月数，本息和=本金+利息，即可得出答案．
【详解】根据题意，y=100+100×0.36%×x=0.36x+100.
故填y=0.36x+100.
【点睛】本题考查用关系式法表示变量之间的关系.能理清题意找出本金、利息和时间之间的关系是解决此
题的关键.
【变式2-2】（24-25八年级·山东济南·期末）出租车的收费标准为：5km以内（含5km）起步价为8元，
超过5km后每1km收1.5元，如果用s(s≥5km)表示出租车行驶的路程，y表示的是出租车应收的车费，
请你表示y与s之间的表达式 .
【答案】y＝1.5s＋0.5
【分析】根据乘车费用＝起步价＋超过5千米的付费，即可得出答案．
【详解】解：当s≥5时，y＝8＋1.5（s−5）＝1.5s＋0.5；
故答案为：y＝1.5s＋0.5．
【点睛】本题主要考查函数关系式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价＋
超过5千米的付费．
【变式2-3】（24-25八年级·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，
能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销
售额y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=x(100−x) B．y=x(100−6x)
C．y=(100−x)(15+x) D．y=(100−6x)(15+x)
【答案】D
【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为(100−6x)千克，再根据销售额=售价×数量进行求解即可．
【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为(100−6x)千克，
由题意得，y=(x+15)(100−6x)，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
【题型3 确定自变量的取值范围】
x
【例3】（24-25八年级·河南周口·期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x+5
A．x≠−5 B．x≠5 C．x>−5 D．x<−5
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可．【详解】解：由题意，得
x+5≠0，
∴x≠−5．
故选A．
【变式3-1】（24-25·湖南长沙·二模）在函数y=❑√x−2024，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥2024
【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定.
【详解】解：由题意得：x−2024≥0，解得：x≥2024．
故答案为：x≥2024．
【变式3-2】（24-25八年级·安徽亳州·期末）函数y=−2x2+4中，自变量x的取值范围是（ ）．
A．x≠0 B．x<0 C．x>0 D．一切实数
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数的自变量取值范围．
【详解】解：函数y=−2x2+4中，自变量x的取值范围是一切实数．
故选：D．
1
【变式3-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）函数y=
自变量x的取值范围是 ．
√3 x+1
【答案】x≠−1
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得：√3 x+1≠0，
∴x≠−1；
故答案为x≠−1．
【点睛】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
知识点2：求函数的值
(1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多
个．
(2) 函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，
即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型4 函数图象上点的坐标特征】
【例4】（24-25八年级·广东湛江·期末）下列函数中，经过点(−2，3)的是（ ）2
A．y=−x2+7 B．y=4−2x C．y= +2 D．y=x−1
x
【答案】A
【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上点的坐标满足函数解析式进行逐项判断即
可．
【详解】解：A、当x=−2时，y=−(−2) 2+7=3，故函数y=−x2+7图象经过点(−2，3)，此选项符合
题意；
B、当x=−2时，y=4−2×(−2)=8≠3，故函数y=4−2x图象不经过点(−2，3)，此选项不符合题意；
2 2
C、当x=−2时，y= +2=1≠3，故函数y= +2图象不经过点(−2，3)，此选项不符合题意；
−2 x
D、当x=−2时，y=−2−1=−3≠3，故函数y=x−1图象不经过点(−2，3)，此选项不符合题意，
故选：A．
{x2+2(x≤2))
【变式4-1】（24-25八年级·北京朝阳·期末）若函数y= ，则当函数值y＝8时，自变量x的
2x(x>2)
值等于 ．
【答案】−❑√6或4
【分析】把y＝8，分别代入解析式，再解方程，要注意x的取值范围.
【详解】由已知可得x2+2=8或2x=8,
分别解得x=❑√6(不符合题意舍去)，x=-❑√6，x=4
1 2 3
故答案为−❑√6或4
【变式4-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7
时，输出的y值相等，则b等于( )
【答案】-9
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．【详解】∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，解得：b=﹣9．
故答案为－9．
【点睛】本题考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
【变式4-3】（24-25八年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x=n时，函数
1 2
值分别是N 和N ，若存在正数n，使得N +N =1，则称函数y 和y 是“正和谐函数”．下列函数y 和
1 2 1 2 1 2 1
y 是“正和谐函数”的是（ ）
2
A．y =2x+1和y =3x+2 B．y =−x+3和y =2x−1
1 2 1 2
C．y =−x−1和y =3x−2 D．y =−x+1和y =2x+3
1 2 1 2
【答案】C
【分析】分别列方程计算即可．
2
【详解】A、2x+1+3x+2=1，解得x=− ，不合题意；
5
B、−x+3+2x−1=1，解得x=−1，不合题意；
C、−x−1+3x−2=1，解得x=2，符合题意；
D、−x+1+2x+3=1，解得x=−3，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义，函数的知识，以及解一元一次方程，掌握新定义的含义是解题的关键．
知识点3：函数的三种表示形式
（1）列表法
（2）图象法
（3）解析式法
【题型5 列表法表示函数关系】
【例5】（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围
内，其关系如表所示，下列说法错误的是（ ）
温度/℃ −20 −10 0 10 20 30
传播速度/
318 324 330 336 342 348
(m/s)
A．传播速度是自变量，温度是传播速度的函数
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s【答案】A
【分析】此题主要考查了常量与变量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数
值始终不变的量称为常量．根据所给表格，结合变量和自变量定义可得答案．
【详解】解：A、温度是自变量，传播速度是传播速度的函数，故原题说法错误；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为10°C时，声音10s可以传播3360m，故原题说法正确；
D、温度每升高10°C，传播速度增加6m/s，故原题说法正确；
故选：A．
【变式5-1】（24-25八年级·辽宁丹东·期末）火星探测车是在火星登陆用于火星探测的可移动探测器，为
人类了解火星做出了巨大贡献．为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该
材料导热率K（W/m⋅K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为
0.55W/m⋅K，则温度为 ．
25
温度T（℃） 100 150 200 300
0
导热率K（W/m⋅K
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
）
【答案】500℃/500摄氏度
【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据
表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m⋅K，
所以(0.55÷0.05−1)×50=500℃，
所以，当导热率为0.55W/m⋅K时，温度为500℃，
故答案为：500℃．
【变式5-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）一个蓄水池有水60m3，打开放水阀门匀速放水，水池中的水
量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（min） 2 3 5 8 …
5
水池中的水量（m3） 54 45 36 …
1
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数
B．每分钟放水3m3
C．放水30min后，水池中的水全部放完D．放水10min后，水池中还有水30m3
【答案】C
【分析】根据表格数据找到每分钟排水量即可．
【详解】解：A、根据表格数据知：蓄水池原有水60m3，每分钟水闸排水3m3．
水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数，故A正确，不符合题意．
B、∵每分钟水闸排水3m3．故B正确，不符合题意．
C、∵3×20=60．故放水20min后，水池中的水全部放完，故C错误，符合题意．
D、放水10分钟，还剩水：60−10×3=30(m3 )，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是提取表格数据反应的信息．
【变式5-3】（24-25八年级·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方
米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存
水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
85 70
游泳池的存水/立方米 780 546
8 2
(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为t小时，游泳池的存水量为Q立方米，写出Q与t的函数关系式．（不要求写自变量范围）
【答案】(1)放水时间，游泳池的存水；
(2)见解析；
(3)Q=936−78t．
【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识；
（1）根据题中表格即可完成；
（2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格；（3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式．
【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水；
（2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
78 46
游泳池的存水/立方米 858 702 624 546 390
0 8
（3）解：Q与t的函数关系式为Q=936−78t．
【题型6 解析法表示函数关系】
【例6】（24-25八年级·黑龙江大庆·开学考试）对于关系式y=3x−5，下列说法：①x是自变量，y是因
变量，5是常量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间
的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤
【答案】D
【分析】根据变量之间的关系可知，x为自变量，y为因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用
三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
【详解】解：①x是自变量，y是因变量，5是常量，正确；
②x的数值可以任意选择，正确；
③y是变量， 随x的变化而变化，原说法错误；
④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示，原说法错误；
⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确；
综上分析可知，正确的是①②⑤．
故选：D．
【点睛】本题考查了变量之间的关系，是基础知识，比较简单，解题的关键是熟练掌握变量之间的关系．
【变式6-1】（24-25八年级·陕西渭南·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：
y=0.3x+6(0≤x≤5)，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数 D．当x=1时，y=6.3
【答案】C
【分析】根据给出的函数关系式y=0.3x+6(0≤x≤5)结合函数的性质，对四个选项进行一一判断．
【详解】A. 从题意及给出的函数关系式可以得出：时间是自变量，水位高度是因变量，故A选项说法正
确；B. 从函数关系式可以得出：x，y都是变量，并且y的值与x有关, 故B选项说法正确；
C. 根据函数关系式：y=0.3x+6(0≤x≤5)，可以看出x的取取值范围是：0≤x≤5，故C选项说法错
误；
D. 当x=1时，y=0.3×1+6=6.3，故D选项说法正确；
故选 ：C
【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：
函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示
自变量的函数．
【变式6-2】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：
y=0.3x+6(0≤x≤5)，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量
B．y是变量，它的值与x有关
C．当y=7.2时，x=4.5
D．当x=1时，y=6.3
【答案】C
【分析】本题考查了函数关系式，根据给出的函数关系式y=0.3x+6(0≤x≤5)结合函数的性质逐一判断
即可求解，熟练掌握函数关系式的意义是解题的关键．
【详解】解：A、时间是自变量，水位高度是因变量，则正确，故不符合题意；
B、y是变量，它的值与x有关，则正确，故不符合题意；
C、当y=7.2时，即7.2=0.3x+6，
解得：x=4，则错误，故符合题意；
D、当x=1时，即y=0.3×1+6=6.3，则正确，故不符合题意；
故选C．
【变式6-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，梯形上底的长为8，下底长为x，高为10，梯形的面积
为y，则下列说法不正确的是（ ）
A．梯形面积y与下底长x之间的关系式为y=5x+40
B．当y=40时，x=0，此时它表示三角形面积
C．当x每增加1时，y增加5D．当x从15变到8时，y的值从105变化到80
【答案】D
【分析】本题考查了变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．根据梯形面积公式得出y与x之间的关
系；结合关系式逐项分析即可得解．
【详解】解∶A．∵梯形上底的长是8，下底的长是x，高是10，
1
∴梯形的面积y与下底长x之间的关系式为：y= (8+x)×10=5x+40，该项正确，不符合题意；
2
B．当y=40时，x=0，此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意；
C．∵y=5x+40，
∴当x每增加1时，y增加5，故该选项正确，不符合题意；
D．当x=15时，y=5×15+40=115，
当x=8时，y=5×8+40=80，
当x从15变到8时，y的值从115变化到80，故该选项错误，符合题意；
故选∶D．
知识点4：函数的图象
1. 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它
的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
2. 用描点法画函数的图象的一般步骤
a、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
b、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对
应的各点。
c、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
【题型7 描点法作函数图象】
【例7】（24-25八年级·全国·课后作业）画出函数y=−2x+1的图象．
(1)列表：
x … −1 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
(3)判断点A(−3,−5)，B(2，3)，C(3,−5)是否在函数y=−2x+1的图象上；(4)若点P(m，9)在函数y=−2x+1的图象上，求出m的值．
【答案】(1)3，1，-1
(2)见解析
(3)点A、B不在函数y=−2x+1的图象上，点C在其图象上
(4)-4
【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题
的关键
（1）分别把x的值代入函数的解析式，计算求出y的值；
（2）在平面直角坐标系中描出点(−1,3)、(0,1)和(1,−1)，再连线即可；
（3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可；
（4）把点P的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：当x=−1时，y=−2×(−1)+1=3，
当x=0时，y=−2×0+1=1，
当x=1时，y=−2×1+1=−1，
故答案为：3，1，−1；
（2）解：如图：
（3）解：∵当x=−3时，y=−2×(−3)+1=7≠−5；
当x=2时，y=−2×2+1=−3≠3；
当x=3时，y=−2×3+1=−5，
∴点A、B不在函数y=−2x+1的图象上，点C在其图象上．
（4）解：∵点P(m，9)在函数y=−2x+1的图象上，
∴−2m+1=9，解得m=−4．
【变式7-1】（24-25八年级·天津津南·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数y=−x的图象．
(1)列表：
x ... −2 −1 0 1 2 ...y ... ...
(2)描点并连线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将x的值代入函数解析式求出y值填表即可；
（2）将每一组x，y的值作为一个点的横纵坐标在坐标系中描出并连线即可得到函数图象．
【详解】（1）解：列表：
x ... −2 −1 0 1 2 ...
y ... 2 1 0 −1 −2 ...（2）
【点睛】此题考查了列表法画函数图象，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键．
【变式7-2】（24-25八年级·福建三明·期中）问题：探究函数y=|x)−1的图象与性质．请按下面的探究过
程，补充完整：
(1)函数y=|x)−1的自变量x的取值范围是________；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 …
y … 3 2 m 0 −1 0 1 2 …
m的值为________；
(3)在如图网格中，建立平面百角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【答案】(1)任意实数
(2)1
(3)见解析(4)见解析
【分析】本题考查了求函数值，画函数图象，根据函数图象写出函数的性质；
（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．
【详解】（1）解：在函数y=|x)−1中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：当x=−2时，m=|−2|−1=1，
故答案为：1；
（3）解：描点、连线，画出函数的图象如图：
（4）解：由函数图象可知，
①函数有最小值为−1；
②当x>0时，y随x的增大而增大．
【变式7-3】（24-25八年级·河南焦作·期末）如图，P是A´B与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是
A´B上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，
请补充完整：(1)对于点C在A´B上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自
变量的函数；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
1
(3)结合函数图象，解决问题：当PD= PC时，AD的长度约为 cm．（保留一位小数）
2
【答案】(1)AD、PC、PD；
(2)见解析；
(3)2.3和4.0．
【分析】（1）根据变量与函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量，即可求解；
（2）描点画出如图图象；
1
（3）PD＝ PC，观察表格数据即可求解．
2
【详解】（1）解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量；
故答案为：AD、PC、PD；
（2）（2）描点画出如图图象；（3）从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3cm和4.0cm；
故答案为：2.3和4.0．
【点睛】本题考查动点的函数图像，此类问题主要通过描点画出函数图像，根据表格和函数图像查出相应
的近似数值，一定要仔细观察．
【题型8 图象法表示函数关系】
【例8】（24-25八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）
与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ）
A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是6min
C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54mD．摩天轮的半径是35m
【答案】D
【分析】分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得：
A、变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意；B、摩天轮转一周所用的时间是6min，说法正确，故本选项不合题意；
C、摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m，说法正确，故本选项不合题意；
D、摩天轮的半径是：（70-5）÷2=32.5（m），原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用
数形结合思想解答．
【变式8-1】（24-25八年级·陕西铜川·期末）张华上午8点骑自行车外出办事，中途休息了一段时间，然
后加速到达目的地，办完事情后按原路匀速返回，如图表示他离家的距离S（千米）与所用时间t（时）之
间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
(1)在这个过程中自变量是__________，因变量是__________；
(2)张华何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
(3)张华何时返回？何时到家？返回的速度是多少？
【答案】(1)所用时间t，离家的距离S
(2)11时到达目的地，在那里逗留了1时，目的地离家30千米；
(3)12时返回，14时到家，返回的速度是15千米/时．
【分析】（1）根据函数的定义可以判断；
（2）由离家最远时，路程不再随时间的增加而增加，此时的横坐标就是到达目的地的时间，再利用横坐
标作差即可得出在那里逗留的时间；
（3）利用速度=路程÷时间，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：在这个过程中自变量是所用时间，因变量是离家的距离；
故答案为：所用时间t，离家的距离S
（2）解：观察图象得：张华11时到达目的地，在那里逗留的时间为12-11=1时，目的地离家30千米；
（3）张华12时返回，14时到家，
30
返回的速度是 =15千米/时．
14−12【点睛】本题考查了函数图象，解题的关键是学会读懂图象信息解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-2】（24-25八年级·广东深圳·期末）深圳地铁14号线，也称“深圳地铁东部快线”，它起于福田
区岗厦北交通枢纽，途至坪山区沙田，采用自动化无人驾驶技术，全长50.34km，最高运行速度可达
120km/h．如图，为地铁14号线从黄木岗站到罗湖北站行驶的速度−时间图象，根据图象，下列分析错
误的是（ ）
A．自变量是行驶时间，因变量是行驶速度
B．地铁加速用时比减速用时长
C．地铁匀速前进的时长为2.5min
D．在这段时间内地铁的最高运行速度为90km/h
【答案】B
【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，根据图象逐项判断即可，读懂图象是解题的关键．
【详解】解：A、根据题意可知：自变量是行驶时间，因变量是行驶速度，故此选项正确，不符合题意；
B、根据图象可知地铁加速时间是0.5min，减速时间是1min，故地铁加速用时比减速用时短，故此选项错
误，符合题意；
C、根据图象可知地铁匀速前进的时长为3−0.5=2.5(min)，故此选项正确，不符合题意；
D、根据图象可知在这段时间内地铁的最高运行速度为90km/h，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【变式8-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上骑行到目的
地B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示．根据图中
提供的信息，有下列说法：
①他们都骑行了18千米，但不是同时到达目的地．
②甲在中途停留了0.5小时．
③乙比甲晚出发了0.5小时，却早到了0.5小时．④相遇后甲的速度大于乙的速度．
其中不符合图象描述的说法是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得
到正确的结论．
【详解】解：①观察图象得：他们都行驶了18千米，故①正确；
②观察图象得：甲在中途停留了1−0.5=0.5（小时），故②正确；
③观察图象得：乙比甲晚出发了0.5小时，故③正确；
④观察图象得：相遇后，甲到达目的地用的时间比乙到达目的地所用时间多用0.5小时，而行驶的路程相
等，因此相遇后甲的速度小于乙的速度，故④错误；
∴不符合图象描述的说法是④．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象以及通过函数图象的知信息的能力，利用数形结合思想解答是解题的关
键．
【题型9 函数图象的识别】
【例9】（24-25八年级·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：
第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：
第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间
的关系；
第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通
话时间的关系．
用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（ ）A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3）
C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1）
【答案】C
【分析】小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系；小丽去奶奶家吃饭，
小丽离家的距离从0开始变大，到达奶奶家吃饭的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至变为
0；奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数的关系，据此即
可得到答案．
【详解】解：∵小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系，
∴该变化对应图象（1），
∵小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，
∴该变化对应图象（3），
∵奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数关系，
∴该变化对应图象（2），
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生
活经验．
【变式9-1】（24-25·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息
了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.s表示离家路程，t表示骑行时间，下列函数图
象能表达这一过程的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】因为小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，可求其行驶的路程对照排除错误选项，“在原地休
息”对应在图象上表示时间在增加，而距离不变，即这一线段与x轴平行，“回到原出发地”表示终点的
纵坐标为0，综合分析选出正确答案．
【详解】解：∵400×5=2000（米）=2（千米），
∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米，
而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B，
又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，
∴排除选项C，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解函数图象的意义．
【变式9-2】（24-25八年级·全国·竞赛）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A悬于盛有水
的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高
度，则下图中能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系
的大致图象是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实际问题在两个变量的变化关系，利用函数图象表示．
由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读书越来越大，全部离开
水面后，读数不变，由此得到图象．
【详解】解：由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越
大，全部离开水面后，读数不变，故弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函
数关系的大致图象为B；
故选：B．
【变式9-3】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯
的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y(cm)与注水时间x(s)
之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度y(cm)随时间x(s)的变化情况即可．【详解】解：先大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，
大烧杯的液面高度y保持不变，所以B选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y随时
间x的增加而增大，所以A选择项不符合题意；这时增加的速度较先前的慢，所以C选择项不符合题意，
D项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图
象得到函数是随自变量的增大，函数值是增大还是减小是解题的关键．
【题型10 动点问题的函数图象】
【例10】（24-25八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着
N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x,ΔMNR的面积为y，如果y关于x的函数
图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A．MN=5 B．长方形MNPQ的周长是18
C．当x=6时，y=10 D．当y=8时，x=10
【答案】D
【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选
项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误．
【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；
1
选项C，x=6时，点R在QP上， MNR的面积y= ×5×4=10，正确；
2
△
1
选项D，y=8时，即8= ×5x，解得x=3.2，
2
1
或8= ×5(13−x)，解得x=9.8，
2
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问
题，读懂函数图象是解题关键．
【变式10-1】（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．
动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S
与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，写出
①AB= ；
②CD= （提示：过A作CD的垂线）；
③BC= ．
【答案】 3 6 5
【分析】根据图1和图2得当t=3时，点P到达A处，即AB=3；当S=15时，点P到达点D处，即可求
解．
【详解】①当t=3时，点P到达A处，即AB=3．
故答案是：3；
②过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，
1
∴DE=CE= ，
2
∴CD=6，
故答案是：6；1 1
③当S=15时，点P到达点D处，则S= CD•BC= （2AB）•BC=3×BC=15，
2 2
则BC=5，
故答案是：5．
【点睛】考查了动点问题的函数图象，注意分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形等的综合利用，具
有很强的综合性.
【变式10-2】（24-25八年级·广东深圳·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从
B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若
AB=6cm，试回答下列问题．
(1)此题的自变量是 ，因变量是 ．
(2)如图甲，BC的长是 cm；图甲图形面积是 cm．
(3)如图乙，图中的a是 ，b是 ．
【答案】(1)时间t；面积S
(2)8；60
(3)24；17
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得
出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
（1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积；
（2）根据函数图象可判断出BC、EF的长度，进一步计算即可求解；
（3）根据三角形的面积计算公式，进行求解．
【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和△ABP的面积；
故答案为：时间t；面积S；
（2）解：已知当P在BC上时，以AB为底的三角形的高在不断增大，到达点C时，开始不变，由第二个图
得，
P在BC上移动了4秒，
∴BC=4×2=8cm．在CD上移动了2秒，
∴CD=2×2=4cm，
在DE上移动了3秒，
∴DE=3×2=6cm，
∵AB=6cm，
∴EF=AB−CD=2cm，
∴图甲图形面积是8×6+6×2=60(cm2)
故答案为：8；60；
（3）解：由图得，a是点P运行4秒时△ABP的面积，
1
∴S = ×6×8=24，
ΔABP 2
b为点P走完全程的时间：t=(8+6+6+14)÷2=17(s)，
∴a=24，b=17．
故答案为：24；17．
【变式10-3】（24-25八年级·河南漯河·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的
速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车
相遇．在此过程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．下列说法：①
乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是(7,80)；④n=7.4．其中说法正确的是
（填写序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量
【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快
40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离
4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动
时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
