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专题 27.5 图形的位似变换【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别位似图形】..........................................................................................................................................2
【题型2 确定位似中心】..........................................................................................................................................4
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】.........................................................................................................6
【题型4 求位似图形的相似比】..............................................................................................................................9
【题型5 画位似图形】............................................................................................................................................12
【题型6 求位似图形的线段长度】........................................................................................................................17
【题型7 求位似图形的周长】................................................................................................................................20
【题型8 求位似图形的面积】................................................................................................................................23
【题型9 求位似图形的坐标】................................................................................................................................28
【题型10 与位似图形相关的规律】........................................................................................................................31
知识点：图形的位似变换
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标
的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图
形；
b．两个位似图形的位似中心只有一个；
c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边
平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位
似中心的位变而位变。
f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
【题型1 辨别位似图形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形
与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延
伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对
【答案】A
【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，
故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．
淇淇向外扩张得到的新的正方形的边长为❑√2+1，且仍为正方形，
故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．
故两人说法正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在
墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图
中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连
线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与
△A′B′C′不存在位似关系的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：A、△ABC与△A'B'C'是位似关系，故此选项不合题意；
B、△ABC与△A'B'C'是位似关系，故此选项不合题意；
C、△ABC与△A'B'C'是位似关系，故此选项不合题意；
D、△ABC与△A'B'C'对应边BC和B'C'不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
【题型2 确定位似中心】
【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′位似，则位似中心
是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．
【详解】根据题意，得位似中心为点D，
故选A．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中
心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
【答案】D【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形
上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.
【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.
【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若
位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．
【答案】(2，1)
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即
可．
【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．
故答案为：(2，1)．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．
【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意；B、 ，位似中点在图形上，符合题意；
C、 ，位似中点在图形外部，不合题意；
D、 ，位似中点在图形外部，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】
【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点
D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出
△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答
案．
【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
1
∵将△ABC的三边缩小到原来的 ，
2
∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；
∵面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位
似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线
所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于
相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对
应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和
性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；
位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③
正确，符合题意；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．
位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．
故选：A．
【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
【答案】C【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，
∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；
C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；
D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，
故选C．
【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O
为位似中心，将△ABC扩大得到△AB C ,且△ABC 与△AB C 的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
1 1 1 1 1 1
A．△ABC∽△A B C B．△AB C 的周长为6+3❑√2
1 1 1 1 1 1
C．△AB C 的面积为3 D．点B 的坐标可能是(6，6)
1 1 1 1
【答案】C
【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平
方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.
【详解】A. △ABC∽△A B C ，故A正确；
1 1 1
B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=❑√2，所以△ABC的周长为2+❑√2，由周长比等于位似比可得
△AB C 的周长为△ABC周长的3倍，即6+3❑√2，故B正确；
1 1 1
1 1
C. S = ×1×1= ,由面积比等于位似比的平方，可得△AB C 的面积为△ABC周长的9倍，即
△ABC 2 2 1 1 1
1
×9=4.5，故C错误；
2
D. 在第一象限内作△AB C 时，B 点的横纵坐标均为B的3倍，此时B 的坐标为（6,6），故D正确；
1 1 1 1 1
故选C.
【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题
的关键.【题型4 求位似图形的相似比】
【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x
、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知
AC=3❑√2，若点A′的坐标为(1,2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
【答案】B
【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求
两个正方形的相似比．
【详解】解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3❑√2，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
1
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是 ．
3
故选：B．【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的
边长．
【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似
图形是 （用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为 ．
1
【答案】 △GEH /0.5
2
【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断△ABC的位似图形是△GEH，然后计算
OB与OE的比得到位似比．
OB 1
【详解】解：以点O为位似中心，△ABC的位似图形是△GEH，△ABC与△GEH的位似比为 = ．
OE 2
1
故答案为：△GEH， ．
2
【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行或共线．
【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位
似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′
(1,2)，B′(
2,
2) ，C′(2
,−
1)
，则△A′B′C′与
3 3 3
△ABC的位似比是 ．1
【答案】1：3/
3
【分析】本题考查了位似图形的性质．由△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位似中
心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′
(1,2)，B′(
2,
2) ，C′(2
,−
1)
，根据位似图形的性质，
3 3 3
即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．
【详解】解：∵△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位似中心，得到的位似图形
△A′B′C′三个顶点分别为A′
(1,2)，B′(
2,
2) ，C′(2
,−
1)
，
3 3 3
∴AB=❑√(3−6) 2+(6−2) 2=5, BC=❑√(2−6) 2+(−1−2) 2=5, AC=❑√(2−3) 2+(−1−6) 2=5❑√2，
A′B′=❑ √ (1−2) 2+ ( 2− 2) 2 = 5 ，B′C′=❑ √ (2 −2 ) 2 + ( − 1 − 2) 2 = 5 ，
3 3 3 3 3 3
A′C′=❑ √ (2 −1 ) 2 + ( − 1 −2 ) 2 = 5❑√2 ，
3 3 3
A′B′ B′C′ A′C′ 1
∴ = = = ，
AB BC AC 3
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3．
故答案为：1：3．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是
OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比为
．
1
【答案】1:2/
2【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位
似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得P′Q′∥PQ，P′R′∥PR，Q′R′∥QR，
P′Q′ P′R′ Q′R′ 1
= = = ，得出△P′Q′R′∽△PQR，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图
PQ PR QR 2
形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图
形，这个点叫做位似中心，从而即可求解．
【详解】解：∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，
P′Q′ P′R′ Q′R′ 1
∴P′Q′∥PQ，P′R′∥PR，Q′R′∥QR， = = = ，
PQ PR QR 2
∴△P′Q′R′∽△PQR，
又∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，
∴点P′与点P，点Q′与点Q，点R′与点R的连线都经过点O，
∴△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，其位似中心是点O，
P′Q′ P′R′ Q′R′ 1
∵ = = = ，
PQ PR QR 2
∴△P′Q′R′与△PQR的位似比为1:2，
故答案为：1:2．
【题型5 画位似图形】
【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为A(−2,2)
，B(−4,0)，C(−4,−4)，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且
相似比是1:2．
(1)请画出△A′B′C′；
(2)请直接写出△A′B′C′各顶点的坐标；(3)若△ABC内部一点M的坐标为（a,b），则点M的对应点M′的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)A′ (1,−1)，B′ (2,0)，C′ (2,2)
a b
(3)(− ,− )
2 2
【分析】本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M′的横纵坐标．
【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求．
（2）解：由图可得，A′ (1,−1)，B′ (2,0)，C′ (2,2)．
a b
（3）解：由题意可得，点M′的坐标为(− ,− )．
2 2
a b
故答案为：(− ,− )．
2 2
【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅
用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的△A B C ．
1 1 1
AM 3
(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得 = ．
BM 2
(3)在图3中，利用格点在AC边上作－个点D，使得△ABD∽ACB．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应
用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据位似图形的定义，延长CA到点A ，使得C A =2CA，延长CB到点B ，使得CB =2CB，连结
1 1 1 1
A B ，可证明△ABC与△A B C 位似，位似比为1:2，所以△A B C 即为所求；
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）在点C的左侧作水平线段BC=5个单位长度，连结AC，在BC上取点N，使BN=2个单位长度，过
AM 3
点N沿格点线作NM∥AC，交AB于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得 = ，所以点M就
BM 2
是所求的点；
（3）过点A作AE⊥AC，使得AE=AC，点E恰为格点，过点B作BF∥AE，使得BF=AE，点F恰
为格点，BF与AC交于点D，则AC⊥BF，同时可证得∠ABC=90°，由此即可证明△ABD∽△ACB，
所以点D就是所求的点．
【详解】（1）如图，△A B C 即为所求作的三角形；
1 1 1
（2）如图，点M就是所求的点；（3）如图，点D就是所求的点．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1，点O和点A 在格点上，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上）．
1
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A B C ，点A、B、C的对应点分别为点A 、B 和C ；
1 1 1 1 1 1
(2)△A B C 与△ABC的周长之比为______．
1 1 1
【答案】(1)作图见解析；
(2)3∶1
【分析】（1）由点A、A 可得△ABC与△A B C 的位似比为1∶3，再根据位似图形的性质作图即可；
1 1 1 1
（2）根据位似图形的性质即可求解；
本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求；
1 1 1（2）解：∵OA ∶OA=3∶1，
1
∴△A B C 与△ABC的位似比为3∶1，
1 1 1
∴△A B C 与△ABC的周长之比为3∶1，
1 1 1
故答案为：3∶1．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格
点．A,B,C都是格点，点P在BC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将线段AB沿BC的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段CD，再将PC绕AC的
中点顺时针旋转180°，得到GA，画出线段GA；
1
(2)在图2中，将△APC以点C为位似中心缩小为原来的 得到△EFC，画出△EFC；
2
(3)在图3中，在AC上画一点M，在AB上画一点N，使得PM+MN最小．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用平移性质可画出CD，利用平行四边形的性质，连接P和AC的中点并延长交AD于点G
，即可得到答案；
1 1
（2）根据位似图形的性质得到CE= AC，CF= CP，取AC中点E和AP上一点G，连接EG并确定其
2 2中点Q，取AP上一点H，连接HQ并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边
形EHGM，连接EM并延长交BC于点F，根据平行线分线段成比例得到点F为CP的中点，则△EFC即为
所求作；
（3）首先确定点P关于AC的对称点P′：取格点B′，连接CB′，B′P，B′P交AC于点K，连接BK并延长
交CB′于点P′，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点P、P′关于AC对称；过点P′作AB
的垂线，确定点M、N：取格点C′，使得△B′CC′为等腰三角形，连接C′P′确定点J，连接CJ并延长确
定点T，连接P′T并延长，交AC于点M，交AB于点N，连接PM，即可获得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行
四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及
到的知识点的运用是解答的关键．【题型6 求位似图形的线段长度】
【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知
OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
EH OH 1
【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2，再由矩形ABCD与矩形EFGH位似可得 = =
AD OD 3
，最后代入计算即可．
【详解】解：∵OH:HD=1:2，
OH 1
∴ = ，
OD 3
∵矩形ABCD与矩形EFGH位似，
EH OH 1
∴ = =
AD OD 3
∵EH=2，
∴AD=6．
故选C．
EH OH 1
【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到 = = 是解答本题的关键．
AD OD 3
【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到
△A′B′C′，则AO:A A′的值为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．3:2【答案】B
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关
键．
【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上， AO:OA′=1:2，
∴AO:A A′=1:3，
故选：B．
【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，
连结A A′、BB′、CC′．已知BC=4，2OA=OA′，2OB=OB'，2OC=OC′．则D′E′的长度为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
1
【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，通过中位线的性质得出DE= BC=2，
2
1 1
再证明△ABC∽△A′B′C′，得出相似比为 ，即可得到DE= D′E′ ，从而得出答案，熟练掌握位似图形
2 2
的判定与性质是解题的关键．
【详解】∵ DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，
1 1
∴ DE= BC=2，D′E′= B′C′ ，
2 2
∵ 2OA=OA′，2OB=OB′，2OC=OC′，
∴ △ABC∽△A′B′C′，
1
∴相似比为 ，
21
∴ BC= B′C′ ，
2
1
∴ DE= D′E′ ，
2
∴ D′E′=4，
故选：B．
【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形
AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为
．
【答案】❑√5
【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的
AF 3
内部，且相似比为3:4，得 = ，即可求出AF长，然后由CF=AC-A即可求解．
AC 4
【详解】解：如图，连接AC，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√82+42=4❑√5，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，
∴点F在AC上，
AF 3 AF 3
∴ = ，即 = ，
AC 4 4❑√5 4
∴AF=3❑√5，
∴CF=AC-AF=4❑√5-3❑√5=❑√5，故答案为：❑√5．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【题型7 求位似图形的周长】
【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△≝¿．若
AD=OA，则△ABC与△≝¿的周长之比为（ ）
A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2
【答案】D
【分析】根据题意求出△ABC与△≝¿的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．
【详解】解：以点O为位似中心，将△ABC放大得到△≝¿，
∴AB∥DE，
∵AD=OA，
∴AB:DE=OA:OD=1:2，
∴△ABC与△≝¿的位似比为1:2，
∴△ABC与的周长之比为1:2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相
似比．
OC
【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，若 =2，△ABC的周长
OF
为8，则△≝¿的周长为（ ）A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
AC OC
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得△ABC∽△≝¿， = =2，然后根据相似三角形
DF OF
的性质解决问题，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那
么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同
一点；对应边平行或共线．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△≝¿，
AC OC
∴ = =2，
DF OF
∴△ABC的周长:△≝¿的周长=2:1，
∵△ABC的周长为8
∴△≝¿的周长为4．
故选：D．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：
OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
【答案】B
【分析】由△ABC与△≝¿是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△≝¿的位似比是1:3，从而得出
△ABC周长：△≝¿周长=1:3，由此即可解答．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿是位似图形，且OA:OD=1:3，
∴△ABC与△≝¿的位似比是1:3．
则△ABC周长：△≝¿周长=1:3，
∵△ABC的周长为2，
∴△≝¿周长=2×3=6故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的
距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．
【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，
OA 2
已知 = ，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
A′ A 5
【答案】28
【分析】根据位似的性质，得到AB∥A′B′，推出△OAB∽△OA′B′，进而求出四边形ABCD与四边形
A′B′C′D′的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．
OA 2
=
【详解】∵ ，
A A′ 5
OA 2
=
∴ ，
OA′ 7
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
AB OA 2
= =
∴ ，
A′B′ OA′ 7
∴四边形ABCD的周长∶四边形A′B′C′D′的周长=2:7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A′B′C′D′的周长为28，
故答案为：28．
【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是
解题的关键．【题型8 求位似图形的面积】
【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．
OE 2
若 = ，四边形ABCD的面积是25，则四边形EFGH的面积是（ ）
EA 3
100 50
A．4 B．10 C． D．
9 3
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质；先根据位似的性质得到
EF OE EF 2
= ，四边形ABCD与四边形EFGH相似，，再利用比例的性质得 = ，然后根据相似多边形的
AB OA AB 5
面积比等于相似比的平方求解即可；掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键.
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
EF OE
∴ = ，
AB OA
四边形ABCD与四边形EFGH相似，
OE 2
∵ = ，
EA 3
OE 2
∴ = ，
OA 5
EF 2
∴ = ，
AB 5
∴
S
四边形EFGH =
(OE) 2
，
S OA
四边形ABCD
∴
S
四边形EFGH =
(2) 2
25 5
解得：S =4；
四边形EFGH
故选：A．【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四
边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2:3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD
的面积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为
80 26
【答案】 /2
27 27
【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质．连接AC，根据平行四边形的性质先求出
CF 2
S ，由PF∥AD证得△CPF∽△CAD，求出 = ，据此求解即可得到答案．
△ACD CD 3
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，面积为20，
1
∴S = ×20=10，
△ACD 2
∵▱ABCD和▱ECFP是以B为位似中心的位似图形，
∴点A、P、C在同一条直线上，PF∥AD，
∴△CPF∽△CAD，
CF 2
∴ = ，
CD 3
4 40
∴S = S = ，
△CPF 9 △CAD 9
1 40
∴S = S = ，
△DPF 3 △CPF 27
1 40
同理S = S = ，
△BPE 3 △CPE 2780
∴△PBE与△PDF的面积之和为 ．
27
80
故答案为： ．
27
【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：
2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△OBA∽△OED，
AB OA 1 1
∴ = = ，即△ABC与△DEF的相似比为 ，
DE OD 3 3
1 2 1
∴△ABC与△DEF的面积比＝( ) ＝ ，
3 9
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的
平方是解题的关键．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方
1
形A′B′C′D′，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为 ，若整个图形的
2
外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）A．2+❑√2 B．4+2❑√2 C．6+3❑√2 D．8+4❑√2
【答案】C
【分析】由正方形的性质及旋转性质可得DF=DG=D′F=C′G=1，且△DFG为等腰直角三角形，可以
推出FG=❑√2，可以计算出图2中整个图形面积为S +4S ，通过位似图形的性质可得图2中
正方形ABCD △DFG
1
间空白部分面积为： (8+4❑√2)=2+❑√2，最后求出阴影部分的面积即可．
4
【详解】如图，
∵正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，整个图形的外围周长为16，
∴DF=DG=D′F=C′G=1，且△DFG为等腰直角三角形，
∴FG=❑√2，
1
∴图2中整个图形面积：S +4S =(2+❑√2) 2+4× ×1×1=8+4❑√2
正方形ABCD △DFG 2
1
∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为 ，
2
1
∴图2中间空白部分面积为： (8+4❑√2)=2+❑√2
4图2中阴影部分面积为：8+4❑√2−(2+❑√2)=6+3❑√2
故选：C
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、位似图形等几何知识点及其应用；应牢固掌握
旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【题型9 求位似图形的坐标】
【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图， Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若
B(−4,4)，F(2,1)则位似中心的坐标为（ ）
( 3)
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,3) D． 0,
2
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出
PC
=2，进而得出答案．
PG
【详解】解：如图所示，连接BF，交CG于点P，
∵对应点B和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，
∴C(0,4)，G(0,1)，CB=4，FG=2，CG=3，
由题意可得：△BCP∽△FGP，
CB PC
∴ = =2，
GF PG∴2GP=3−GP，
解得：GP=1，
∴位似中心到点G的距离是1，
∴位似中心的坐标为(0,2)，
故选：B．
【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点 E 4, 2, F 2, 2 ，以
O 为位似中心，按 2：1 的相似比把EFO 缩小为EF O ，则点 E 的对应点 E 的坐标为
.
【答案】（2，-1）或（-2，1）．
【分析】由在直角坐标系中，点E（-4，2），F（-2，-2），以O为位似中心，按2：1的相似比把 EFO
缩小为 E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标． △
【详解△】解：∵点E（-4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把 EFO缩小为 E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，-1）或（-2，1）． △ △
故答案为（2，-1）或（-2，1）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解此题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中
心．若点B的坐标为(2，3)，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为 ．
【答案】(−2,0)
DE OD 3 CD DE
【分析】根据位似图形的概念得到 = ，求出OD= ，再证明DE∥OP，得到 = ，即可求
BC AB 2 CO OP出OP，得到答案．
【详解】∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(2，3)，
∴AB=OC=3，OA=2，
∵点E的横坐标为−1，
∴DE=OF=1
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
DE OD
∴ = ，
BC AB
1 OD
∴ = ，
2 3
3
∴OD= ，
2
∵∠COP=∠CDE=90°
∴DE∥OP，
∴△CDE~△COP，
CD DE
∴ = ，
CO OP
3
3−
∴ 2 1 ，
=
3 OP
解得：OP=2，
∴点P的坐标为(−2，0)，
故答案为：(−2，0)．
DE OD
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出 = 是解题
BC AB
的关键．
【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O(0,0)，
B(2,0)，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，则点
A对应点A′的坐标为（ ）(1 ❑√3)
A． , B．(2❑√3,2)或(−2❑√3,−2)
2 2
C．(4,4❑√3) D．(2,2❑√3)或(−2,−2❑√3)
【答案】D
【分析】根据题意可得OA=OB=2，如图：过A作AC⊥x轴于C，再根据等边三角形的性质可得
1 ❑√3
OC= OB=1,AC= OA=❑√3，即可确定点A(1,❑√3)，再根据题意可得△OA′B′与△OAB位似为2
2 2
比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵等边三角形OAB的顶点O(0,0),B(2,0)，
∴OA=OB=2，
过A作AC⊥x轴于C，
∵△AOB是等边三角形，
1 ❑√3
∴OC= OB=1,AC= OA=❑√3,
2 2
∴A(1,❑√3),
∵△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，
∴△OA′B′与△OAB位似比为2比1，
∴点A的对应点A′的坐标是(2,2❑√3)或(−2,−2❑√3)．故选：D．
【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中
心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【题型10 与位似图形相关的规律】
【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8
1
的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA B ，其边长OA 缩小为OA的
1 1 1 2
1
，经第二次变换后得到等边三角形OA B ，其边长OA 缩小为OA 的 ，经第三次变换后得到等边三角形
2 2 2 1 2
1
OA B ，其边长OA 缩小为OA 的 ，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OA B ．的顶点A
3 3 3 2 2 n n n
1
的坐标为（ ，0），则n的值是（ ）
28
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可．
【详解】∵△OAB是等边三角形，边长为8，
∴点A的坐标为（8，0），
1
由位似变换的性质可知，点A 的坐标为（8× ，0），即（4，0），
1 2
1
点A 的坐标为（8× ，0），即（2，0），
2 22
1 1
由题意得，8× = ，
2n 28解得，n=11，
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键．
【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位
长度，以点P为位似中心作正方形PA A A ，正方形PA A A ……按此规律作下去，所作正方形的顶
1 2 3 4 5 6
点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P(−3,0)，A (−2,1)，A (−1,0)，A (−2,−1)，则顶点
1 2 3
A 的坐标为（ ）
2024
A．(1347,0) B．(672,−675) C．(672,675) D．(1350,0)
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当A 、A 、A 的坐标的变化情况，总结规律，根
1 2 3
据规律解答即可．
【详解】解：∵A (−1,0)，A (1,0)，A (3,0)，A (5,0)，…，
2 5 8 11
∴A (2n−3,0)，
3n−1
∵2024=3×675−1，
∴A 的坐标为(2×675−3,0)，即(1347,0)，
2024
故选：A．
【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）如图，正方形A B C D 可看成是分别以A、B、C、
1 1 1 1
D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到原来的3倍），由正方形
ABCD到正方形A B C D ，我们称之作了一次变换，再将正方形A B C D 作一次变换就得到正方形
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C D ，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形A B C D ，若正方形ABCD的面
2 2 2 2 2005 2005 2005 2005
积是1，那么正方形A B C D 的面积是多少（ ）
2005 2005 2005 2005A．32005 B．32004 C．34010 D．34009
【答案】C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为32005 ，从
而计算面积即可.
【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后
正方形的边长为：9=32，三次变换后正方形的边长为：27=33，…n次变换后正方形的边长为：3n，故作
2005次变换后的正方形的边长为32005，
此时正方形的面积为：32005×32005=34010，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是
解题关键.
【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A B C A 与正方形
1 1 1 2
1
A B C A 是以O为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点A ，A ，A 在x轴上，延长A C 交射线
2 2 2 3 2 1 2 3 3 2
OB 与点B ，以A B 为边作正方形A B C A ；延长A C ，交射线OB 与点B ，以A B 为边作正方
1 3 3 3 3 3 3 4 4 3 1 4 4 4
形A B C A ；…按照这样的规律继续作下去，若OA =1，则正方形A B C A 的面积为
4 4 4 5 1 2022 2022 2022 2023
．
【答案】24042A B 1
【分析】先根据位似比求出 1 1= ，再证明△OA B ∽△OA B ，得到OA =2，A A =1，
A B 2 1 1 2 2 2 1 2
2 2
A B =2，OA =4，同理证明△OA B ∽△OA B ，得到A B =4，从而得到正方形A B C A 的面
2 2 3 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2
积为(20) 2 ，正方形A B C A 的面积为(21) 2 ，正方形A B C A 的面积为(22) 2 ，……，据此发现规律即可
2 2 2 3 3 3 3 3
得到答案．
1
【详解】解：∵正方形A B C A 与正方形A B C A 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
1 1 1 2 2 2 2 3 2
，
A B 1
∴ 1 1= ，
A B 2
2 2
∵A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1 2 2
∴A B ∥A B ，
1 1 2 2
∴△OA B ∽△OA B ，
1 1 2 2
A B OA 1
∴ 1 1= 1= ，
A B OA 2
2 2 2
∵OA =1，
1
∴OA =2，
2
∴A A =OA −OA =2−1=1，
1 2 2 1
∴正方形A B C A 的边长为1=20，
1 1 1 2
A B 1
∵ 1 1= ，
A B 2
2 2
∴A B =2，
2 2∴正方形A B C A 的边长为2=21，
2 2 2 3
∴A A =A B =2，
2 3 2 2
∴OA =OA +A A =2+2=4，
3 2 2 3
同理可得△OA B ∽△OA B ，
2 2 3 3
A B OA 2 1
∴ 2 2= 2= = ，
A B OA 4 2
3 3 3
∴A B =4，
3 3
∴正方形A B C A 的边长为4=22，
3 3 3 4
∴正方形A B C A 的面积为12=(20) 2 ，
1 1 1 2
正方形A B C A 的面积为22=(21) 2 ，
2 2 2 3
正方形A B C A 的面积为42=(22) 2 ，
3 3 3 4
……
∴正方形A B C A 的面积是(22022−1) 2 =24042．
2022 2022 2022 2023
故答案为：24042．
【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合
性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并
发现规律是解题关键．
