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专题 13.3 角平分线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】..............................................................................................................1
【题型2 由角平分线的性质求面积】......................................................................................................................5
【题型3 由角平分线的性质比较大小】..................................................................................................................9
【题型4 由角平分线的性质进行证明】................................................................................................................13
【题型5 证明是角平分线】....................................................................................................................................17
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】...........................................................................................................21
【题型7 尺规作角平分线】....................................................................................................................................24
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】.......................................................................................................27
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】...................................................................................33
【题型10 角平分线的实际应用】............................................................................................................................40
知识点1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为
∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB=20cm，AC=8cm，DF = cm．【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据△ABC的面积是
1 1
28cm，列式得 AB⋅ED+ AC⋅DF=28，即可得到答案．
2 2
【详解】解：在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵ △ABC的面积是28cm，
1 1 1
∴ AB⋅ED+ AC⋅DF=28，即 (AC+AB)⋅FD=28，
2 2 2
1
∴ ×(8+20)FD=28，
2
∴FD=2cm，
故答案为：2．
【变式1-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，AC=4,BD=3,DC=2，
则AB= ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”
是解题的关键．
作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，利用三角形的面积公式可得
AB BD
= ，代入数据计算即可．
AC CD
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图所示，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，S AB
∴ △ABD = ，
S AC
△ACD
S BD
又∵ △ABD = ，
S CD
△ACD
AB BD AB 3
∴ = ，即 = ，
AC CD 4 2
解得：AB=6．
故答案为：6．
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABD中，BC平分∠ABD，DE为高，
∠ACB=135°，△ABD的面积为6，AE=4，则BD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构
造全等三角形．
延长BD，过点A作AF⊥BD于点F，易得∠DCB=45°，则∠ADF=45°+∠DBC，进而推出
∠DAF=45°−∠DBC，∠DAE=45°−∠ABC，则∠DAE=∠DAF，通过证明
△ADE≌△ADF(HL)，得出AE=AF=4，结合三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：延长BD，过点A作AF⊥BD于点F，
∵∠ACB=135°，
∴∠DCB=180°−∠ACB=45°，
∴∠ADF=∠DCB+∠DBC=45°+∠DBC，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF=90°−∠ADF=90°−(45°+∠DBC)=45°−∠DBC，
∵∠DCB=∠DAE+∠ABC=45°，
∴∠DAE=45°−∠ABC，∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∴∠DAE=∠DAF，
∵AF⊥BD，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵DE=DF，AD=AD ，
∴△ADE≌△ADF(HL)，
∴AE=AF=4，
∵△ABD的面积为6，
1 1
∴ BD⋅AF= BD×4=6，
2 2
解得：BD=3，
故答案为：3．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，
∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F，AC=8，BC=12， 则BF的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连
接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 EA=EB，由角平分线的
性质得EG=EF，由HL得Rt△EFC≌Rt△EGC由全等三角形的性质得CF=CG，同理可得BF=AG，
即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∵∠ACE+∠BCE=180°，
∠ACE+∠ECG=180°，
∴∠ECG=∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG=EF，
在Rt△EFC和Rt△EGC中，
{CE=CE)
，
EF=EG
∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），
∴CF=CG，
同理可得：Rt△BFE≌Rt△AGE，
∴BF=AG，
∴BC−CF=AC+CG，
∴12−CF=8+CF，
解得：CF=2，
∴BF=12−2=10，
故答案：10．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
【例2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知△ABC的周长是20，点O为∠ABC与∠ACB的平分
线的交点，且OD⊥BC于点D，若OD=1，则△ABC的面积是（ ）A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作OE⊥AB于E，
OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得到OE=OF=OD=1，根据三角形的面积公式计算即
可．
【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF=OD=1，
∴△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
1
= ×(AB+BC+AC)×OD
2
1
= ×20×1
2
=10，
故选：B．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，
BA:CA=3:4，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ADC的面积是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作
DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，得DM=DN，则
1 1 4
S :S =BD:DC= AB·DN: AC·DM=BA:CA=3:4，设△ABC的面积为a，则S = a，
△ABD △ADC 2 2 △ADC 7
1 1
由E为AC的中点，从而S = S = a，根据△OAE的面积比△BOD的面积大1，列出方程即可求
△BEC 2 △ABC 2
解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
1 1
∴S :S =BD:DC= AB·DN: AC·DM=BA:CA=3:4，
△ABD △ADC 2 2
4
设△ABC的面积为a，则S = a，
△ADC 7
∵E为AC的中点，
1 1
∴S = S = a，
△BEC 2 △ABC 2
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
4 1
∴ a− a=1，
7 2∴a=14，
4
∴S = ×14=8
△ADC 7
故选：C．
【变式2-2】（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，
DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的
距离相等是解题的关键．作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF=DH，证明
Rt△FDE≌Rt△HDG，Rt△FDA≌Rt△HDA，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD △ABC DF⊥AB DH⊥AC
是 的角平分线， ， ，
∴DF=DH，
在Rt△FDE和Rt△HDG中，
{DF=DH)
，
DE=DG
∴Rt△FDE≌Rt△HDG(HL)，
同理，Rt△FDA≌Rt△HDA(HL)，
设△EDF的面积为x，由题意得，
48−x=26+x，
解得x=11，即△EDF的面积为11，
故选：A
【变式2-3】（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，
S =24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分线CE交AB于E，则△ADE的面积为
△ABC
（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先根据角平分线的性质，得EM=EN= ℎ，通过同高，底边比就是面积比得
S =S =2S ，S +S +S =24，S =8，运用割补法得△ADE的面积=24−S −S ，进行代入数
3 1 2 3 2 1 △ADC 1 △ADC
值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作EM⊥BC，EN⊥AC，△BED，△EDC，△AEC的面积分别记
S ，S ，S
1 2 3
∠ACB CE AB E
∵ 的角平分线 交 于 ，
∴EM=EN=
ℎ
∵S =24，BD：CD=2：1，AC=BD，
△ABC
1
BD×ℎ
S 2 BD 2 1
则 1= = = ，S = AC×ℎ，S +S =S +2S =24（同高，底边比就是
S 1 DC 1 3 2 △ADC △ADB △ADC △ADC
2 DC×ℎ
2
面积比）
∴S =S =2S ，S +S +S =24，S =8
3 1 2 3 2 1 △ADC24 48
∴S = ，S =S =
2 5 3 1 5
48
则△ADE的面积=24−S −S =24− −8=6.4
1 △ADC 5
故选：C
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
【例3】（23-24八年级·辽宁本溪·期末）如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为
S ,△ACO的面积记为S ,△BCO的面积记为S ，关于S ,S ,S 之间的大小关系，正确的是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S +S =S B．S +S <S C．S +S >S D．S ⋅S =S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】C
【分析】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出△ABO和
△BOC和△AOC的高相等解答．
根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABO和△BOC和△AOC的高相等，
∵△ABO的面积记为S ，△ACO的面积记为S ，△BCO的面积记为S ，设高为h
1 2 3
1 1 1 1
∴S +S = AB⋅ℎ + AC⋅ℎ = (AB+AC)⋅ℎ，S = BC⋅ℎ，
1 2 2 2 2 3 2
由△ABC的三边关系得：AB+AC>BC，
∴S +S >S ，
1 2 3
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，BO、AO分别是△ABC中∠ABC、∠BAC的平分
线，OH⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为H、E、F，则OH、OE、OF长度的大小关系是
（ ）A．OH=OF≠OE B．OH=OE=OF
C．OH≠OF=OE D．OH≠OE≠OF
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质，由OB平分∠ABC，OH⊥BC，OF⊥AB，得出OF=OH，同
理可得OF=OE即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，OF⊥AB，
∴OF=OH，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OF=OE，
∴OH=OE=OF，
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，
PC=3，则PD的大小关系是（ ）
A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能确定
【答案】A
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据垂线段
最短解答．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE=PC=3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选：A．
【点睛】此题考查的是角平分线的性质和垂线段最短的应用，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和
垂线段最短是解题关键．
【变式3-3】（23-24八年级·广东惠州·开学考试）如图，在∠AOB中，OC平分∠AOB，OA>OB，
∠OAC+∠OBC=180°，则AC与BC之间的大小关系是（ ）
A．AC=BC B．AC>BC C．AC<BC D．无法确定
【答案】A
【分析】作CD⊥OA，垂足为D，CE⊥OB交OB延长线于点E，再根据角平分线的性质得出DC=CE，
证明△ADC≌△BEC(AAS)，得出AC=BC即可．
【详解】解：作CD⊥OA，垂足为D，CE⊥OB交OB延长线于点E，则∠ADC=∠BEC=90°，∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴DC=CE，
∵∠OAC+∠OBC=180°，∠CBE+∠OBC=180°，
∴∠OAC=∠CBE，
在△ADC和△BEC中，
{∠OAC=∠CBE
)
∠ADC=∠BEC ，
CD=CE
∴△ADC≌△BEC(AAS)，
∴AC=BC，
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是添加辅助线来证明三角形全等．
【题型4 由角平分线的性质进行证明】
【例4】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，
AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．求证：AD=AB+CD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题
的关键．
如图所示，作EF⊥AD于点F，根据角平分线的性质可得EF=EB，根据中点的性质可得EF=EC，再根
据全等三角形的判定可得Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），由此可得
AF=AB，FD=CD，由此即可求解．
【详解】证明：如图所示，作EF⊥AD于点F，则∠AFE=∠DFE=90°，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB⊥BC，DC⊥BC，∠B=∠C=90°，
∵AE平分∠BAD，
∴EF=EB，
∵点E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴EF=EC，
在Rt△AFE和Rt△ABE中，
{AE=AE)
，
EF=EB
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），
∴AF=AB，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
{DE=DE)
，
EF=EC
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴FD=CD，
∵AD=AF+FD，且AF+FD=AB+CD，
∴AD=AB+CD．
【变式4-1】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB
，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：∠B=∠C．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证
明．
根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，
{DE=DF)
，
BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B=∠C．
【变式4-2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D
，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．
(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题．
（1）证明∠EGA=90°，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°
∵EG∥CD，
∴∠EGA=∠CDA=90°
∵∠A+∠AEG+∠EGA=180°
∴∠A+∠AEG=180°−∠EGA=180°−90°=90°
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，
∴EC=EG
【变式4-3】（23-24八年级·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段
描述：在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．
(1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数
学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论．
(2)知识拓展：如图（3）所示，如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD=CD，试证明：
AB=CB．
【答案】(1)BD⊥AC，AO=OC（BD垂直平分AC），证明见解析
(2)详见解析
【分析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此
题关键．
（1）根据已知条件可证得△ADB≌△CDB，利用全等三角形的性质和已知条件可得△AOD≌△COD，
从而可得∠AOD=∠COD，OA=OC，由此可得结论；
（2）过点D分别作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为E，F，然后由角平分线的性质得DE=DF，根
据直角三角形全等的判定与性质可得结论．
【详解】（1）猜想：BD⊥AC，AO=OC（BD垂直平分AC），证明如下：
如图（1）∵AD=CD，AB=CB，
在△ADB和△BCD中，
{AB=BC
)
AD=DC ，
BD=BD
∴△ADB≌△CDB(SSS)，
∴∠ADO=∠ODC，
在△AOD和△ODC中，{
AD=DC
)
∠ADO=∠ODC ，
OD=OD
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD，OA=OC，
∴∠DOC=90°，
∴BD⊥AC；
（2）证明：如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为E，F，
∵BD ∠ABC
平分 ，
∴DE=DF，
∵BD=BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL)，
∴BE=BF，
∵ED=FD，AD=CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴AE=CF，
∴BE+AE=CF+BF，即AB=CB．
知识点2：角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB【题型5 证明是角平分线】
【例5】（2024八年级·全国·专题练习）如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且
BE=CF，求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据“角的内部到角
两边距离相等的点在角平分线上”证得结论．
先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF=DE，由此可得出结论．
【详解】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
{∠BED=∠CFD
)
∠BDE=∠CDF ，
BE=CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
【变式5-1】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且
FG=MN，S =S ，求证：点P在∠AOB的平分线上．
△PFG △PMN
【答案】见解析
【分析】本题考查的是角平分线的判定定理“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．过点P分别向OA，OB作垂线，再根据FG=MN，S =S 即可得出PE=PH，由此可得出结论．
△PFG △PMN
【详解】解：点P在∠AOB的平分线上．
理由：过点P分别向OA，OB作垂线，
1 1
∵S = FG⋅PE S = MN⋅PH FG=MN S =S
△PFG 2 △PMN 2 △PFG △PMN
， ， ，
，
∴PH=PE，
∴点P是在∠AOB的平分线上．
【变式5-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知：如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE
和CD交于点F，BF=CF，BD=CE．求证：点F在∠A的平分线上．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
根据垂直可得∠BDF=∠CEF=90°，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等可
得△BDF≌△CEF，根据全等三角形的对应边相等可得DF=EF，根据角的内部到角两边距离相等的点
在角的平分线上即可证明．
【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°，
在△BDF和△CEF中，
{∠DFB=∠EFC
)
∠BDF=∠CEF ，
CF=BF∴△BDF≌△CEF(AAS)
∴DF=EF，
又∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上．
【变式5-3】（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，
AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
(1)求证：AE=CD；
(2)求证：AE⊥CD；
(3)求证：MB平分∠AMD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明△ABE≌△CBD是解
题的关键．
（1）欲证明AE=CD，只要证明△ABE≌△CBD；
（2）由△ABE≌△CBD，推出∠BAE=∠BCD，由∠NMC=180°−∠BCD−∠CNM，
∠ABC=180°−∠BAE−∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°
（3）过B分别作BP⊥AE,BQ⊥CD，垂足分别为P，Q，根据△ABE≌△CBD可得S =S ，
△ABE △CBD
AE=CD，可得BP=BQ，进而可证明结论．
【详解】（1）∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
{
AB=CB
)
∠ABE=∠CBD ，
BE=BD∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠NMC=180°−∠BCD−∠CNM，∠ABC=180°−∠BAE−∠ANB，
又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，
∴∠NMC=∠ABC=90°，
∴AE⊥CD．
（3）过B分别作BP⊥AE,BQ⊥CD，垂足分别为P，Q，
∵△ABE≌△CBD，
∴S =S ,AE=CD，
△ABE △CBD
∴BP=BQ，
∴B点在∠AMD的平分线上，
即MB平分∠AMD．
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】
【例6】（23-24八年级·甘肃定西·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的
接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与
射线OA于点M，连接OP．若∠BOP=26°，则∠AMP的大小为（ ）A．48° B．52° C．56° D．64°
【答案】B
【分析】设上面的直尺与射线OA的交点为E，直尺宽度为h，过点P作PD⊥OB，垂足为D，根据题
意，得到PD=PE= ℎ，从而判定OP平分∠AOB，得到∠AOP=∠BOP=26°，根据直尺的对边平行，
得到∠AOP=∠BOP=∠MPO=26°，结合∠AMP=∠AOP+∠MPO=52°判断即可．
【详解】如图，设上面的直尺与射线OA的交点为E，直尺宽度为h，
过点P作PD⊥OB，垂足为D，
所以PD=PE= ℎ，
所以OP平分∠AOB，
所以∠AOP=∠BOP=26°，
因为直尺的对边平行，
所以∠AOP=∠BOP=∠MPO=26°，
所以∠AMP=∠AOP+∠MPO=52°．
故选B．
【点睛】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握角的平分线的判
定定理是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=45°，则
∠AOB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】此题考查角平分线判定定理，由题意可知OP平分∠AOB，即可得到∠AOB=2∠POB解题．
【详解】解：∵点P到∠AOB两边的距离相等，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠POB=2×45°=90°，故选D．
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点I到Rt△ABC三边的距离
相等，则∠AIB的度数为 ．
【答案】135°/135度
【分析】本题考查角平分线的判定，根据点I到Rt△ABC三边的距离相等，得出点I在△ABC的角平分线
上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【详解】解：∵点I到Rt△ABC三边的距离相等，
∴点I在△ABC的角平分线上，即AI与BI都是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠IAB= ∠CAB，∠IBA= ∠CBA，
2 2
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
1 1
∴∠IAB+∠IBA= (∠CAB+∠CBA)= ×90°=45°，
2 2
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=180°−45°=135°，
∴∠AIB的度数为135°．
故答案为：135°．
【变式6-3】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上
的点，CE=BF，S =S ，且∠BAD=42°，则∠BAC的值是 ．
△DCE △DBF
【答案】84°/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，由三
角形面积公式得出DG=DH，从而得出AD平分∠BAC，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
，
1 1
∵S = BF⋅DG，S = CE⋅DH，CE=BF，S =S ，
△BDF 2 △CDE 2 △DCE △DBF
∴DG=DH，
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×42°=84°，
故答案为：84°．
【题型7 尺规作角平分线】
【例7】（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分
∠BAC的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个
图形的作法进行判断即可．
【详解】解：①是尺规作图作角的平分线，故正确；
②作的是BC的垂直平分线，得到BD=DC，故错误；
③作图可以得到AD平分∠BAC，故正确；
④作图可以得到∠BAD=∠BDA=∠BAC，故正确，
故选：C.
【变式7-1】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，(1)请用尺规作图法在AC边上求作一点P，使得点P到边AB，BC的距离相等，（保留作图痕迹，不写作
法）
(2)若CP=1，AB=3，求△ABP的面积．
【答案】(1)见解析
3
(2)
2
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，与AC的交点即为点P；
（2）作PQ⊥AB，由角平分线的性质可得PQ=PC=1，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求：
（2）解：作PQ⊥AB，如图所示：
由（1）可得，BP平分∠ABC，
∵PQ⊥AB,PC⊥BC
∴PQ=PC=1
1 1 3
△ABP的面积为： ×AB×PQ= ×3×1=
2 2 2【点睛】本题考查了角平分线的性质及尺规作图．掌握角平分线的性质是解题关键．
【变式7-2】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在∠ABC内求做一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且PG=PH．
【答案】作图见解析
【分析】连接GH，作出线段GH的垂直平分线和∠ABC的平分线，线段GH的垂直平分线和∠ABC的平
分线的交点即为点P．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂
直平分线的作法是解题的−关键．
【变式7-3】（2024·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．请用尺规作图法，在
边BC上求作一点M，使得S =2S ．（保留作图痕迹，不写作法）
△ABM △ACM
【答案】见详解
【分析】本题主要查了尺规作图法作角平分线的性质，掌握基本的尺规作图成为解答本题的关键．如图，
用尺规作∠A的角平分线，交BC于点M，M即为所求．
【详解】如图，点M即为所求；∵ ∠A
作 的角平分线，
∴∠BAM=∠CAM=30°，
AM
∴ =2，
MC
∵∠B=∠BAM
∴BM=AM
∴BM=2MC，
1 1
∵S = BM·AC，S = MC·AC
△ABM 2 △ACM 2
∴S =2S
△ABM △ACM
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，
∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
(1)求证：DE平分∠ADC；
(2)若AB=6，AD=4，CD=8，且S =18，求△ABE的面积．
△ACD
【答案】(1)证明见解析
(2)△ABE的面积为9．
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线
上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE=∠CAD=40，根据角平分线的
判定与性质得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；1 1
（2）设EG=x，则EF=EH=EG=x，根据S =S +S =18，即： ×4x+ ×8x=18，求
△ACD △ADE △CDE 2 2
1
得，x=3，根据S = AB⋅EF，计算求解即可．
△ABE 2
【详解】（1）证明：如图，过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵EF⊥AB，∠AEF=50°，
∴∠FAE=90°−50°=40°，
∵∠BAD=100°，
∴∠CAD=180°−∠BAD−∠FAE=40°，
∴∠FAE=∠CAD=40°，
∴CA为∠DAE的平分线，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF=EH，
∴EG=EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC；
（2）设EG=x，则EF=EH=EG=x，
∵S =18，
△ACD
1 1
∴S =S +S = AD⋅EG+ CD⋅EH=18，
△ACD △ADE △CDE 2 2
∵AD=4，CD=8，
1 1
∴ ×4x+ ×8x=18，
2 2
解得，x=3，
∵AB=6，1 1
∴S = AB⋅EF= ×6×3=9，
△ABE 2 2
∴△ABE的面积为9．
【变式8-1】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于
点F，
(1)求证：点F在∠DAE的平分线上；
(2)若∠A=50°，求∠BFC的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)65°．
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握角平分线上
的点到这个角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．
（1）作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，根据角平分线的性质定理得到FM=FN，同
理得到FM=FN，根据角平分线的判定定理证明即可；
1
（2）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCF= (∠A+∠ABC)，
2
1
∠CBF= (∠A+∠ACB)，再利用三角形内角和定理便可求出∠F的度数；
2
【详解】（1）证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM=FN，
同理，FG=FN，
∴FM=FG，
又∵FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上；
（2）解：∵BF、CF为△ABC两外角∠CBD、∠BCE的平分线，∠A=50°，
1 1
∴∠BCF= (∠A+∠ABC)，∠CBF= (∠A+∠ACB)，
2 2
由三角形内角和定理得：
1
∠F=180°−∠BCF−∠CBF=180°− (∠A+∠ABC+∠A+∠ACB)
2
1
=180°− (∠A+180°)
2
1
＝90°− ×50°
2
=90°−25°=65°．
【变式8-2】（23-24八年级·河南许昌·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，
∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．
(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=16，AB=10，且S =24，则△ABE的面积．
△ACD
【答案】(1)∠ACE=37°
(2)证明见解析
(3)15
【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用
相关知识点成为解答本题的关键．（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后
根据∠ACE=∠ACD−∠ECH即可解答；
（2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定
义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据S =S +S 结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．
△ACD △ACE △CED
【详解】（1）解：∵∠ACB=106°，
∴∠ACD=180°−106°=74°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=53°，
∴∠ECH=90°−53°=37°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECH=74°−37°=37°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH，
∵∠ACE=∠ECH=37°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD=16，S =24，EM=EN=EH，
△ACD
1 1 1
∴ S =S +S = AC⋅EN+ CD⋅EH= (AC+CD)⋅EM=24，
△ACD △ACE △CED 2 2 2
1
即 ×16⋅EM=24，解得EM=3，
2
∵AB=10，
1
∴ S = AB⋅EM=15．
△ABE 2【变式8-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图①，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ABC的平
分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D(BD>AD)，求证：BC−AC=BD−AD．
【尝试探究】在图①中，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC．因为∠BAC的平分线
与∠ABC的平分线交于点O，所以OD=______=______．所以CO是∠ACB的平分线……
请同学们补充后面的解答过程．
【类比延伸】如图②，在四边形ABCD中，各角的平分线交于点O，试判断AB、BC、CD、AD间的数
量关系，并加以证明．
【答案】[尝试探究]OE，OF，证明见解析；[类比延伸]AB+CD=AD+BC，证明见解析．
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义的性质，正确理解题意是解题的关键．
[尝试探究]利用角平分线的性质得出OD=OE=OF，然后利用HL证明Rt△ADO≌Rt△AFO，得出
AD=AF，同理得出，BD=BE，CF=CE，最后利用线段的和差关系即可得证
[类比延伸]过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，然后仿照[尝试探
究]证明即可．
【详解】解：[尝试探究]OE，OF，
如图， 过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC．
∵∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，
∴OD=OE=OF．
∴CO是∠ACB的平分线，
在Rt△ADO与Rt△AFO中，¿，
∴Rt△ADO≌Rt△AFO，∴AD=AF，
同理，BD=BE，CF=CE，
∴BC−AC=BE+CE−AF−CF=BE−AF=BD−AD，
[类比延伸]
解∶AB+CD=AD+BC，
理由∶过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，
∵BO平分∠ABC，
∴OE=OF，
∵BO=BO，
∴Rt△BOE≌Rt△BOF，
∴BE=BF，
同理，CF=CM，DM=DN，AN=AE，
∴AB+CD=AE+BE+CM+DM，AD+BC=AN+BF+CF+DN，
∴AB+CD=AD+BC．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期中）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC
，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，得出∠AMB=∠AOB=36°，①正确；根据全等三角形的性质得
出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，则
∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得
出MO平分∠AMD，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC
，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出
∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA<OC，
故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
{
OA=OB
)
∠AOC=∠BOD ，
OC=OD
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，
∴∠AMB=∠AOB=36°，①正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
{∠OCA=∠ODB
)
∠OGC=∠OHD ，
OC=OD
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
{∠COM=∠BOM
)
OM=OM ，
∠CMO=∠BMO
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA<OC矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形
全等是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分
线相交于点P，BE=BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP，下列结论：①∠ACB=2∠APB
；②S :S =PC:PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CFP．
△PAC △PAB
其中一定正确的有（ ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用
角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键．
【详解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴2∠PAB=∠CAB，2∠PBE=∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴2∠PAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
(1 ) (1 )
∵S :S = AC⋅PN : AB⋅PM =AC:AB；故②不正确；
△PAC △PAB 2 2
∵BE=BC，PB平分∠CBE，
∴PB垂直平分CE，故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∵PC平分∠BCD，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④不正确．
本题正确的有：①③，
故选：D．
【变式9-2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分
线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平
分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明△ABP≌△FBP(ASA)，即可判断②结论；证明
△APH≌△FPD(ASA)，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论．
【详解】
解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
1
∴∠BAD+∠ABE= (∠BAC+∠ABC)=45°，
2
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，BA=BF，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，
∴△APH≌△FPD(ASA)，∴PH=PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
【变式9-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=80°，连接BD，CE相交于点F，连接AF．下列结论：①BD=CE；②∠DFE=80°
；③△ABF≌△FCA；④∠AFB=50°．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质．利用手拉手模型证明△ABD≌△ACE，可得①②正确，
根据全等推导出AF是∠BFE的平分线可得④正确；利用反证法证明③不成立即可．
【详解】解：设AC、BD相交于点M，过点A作AH⊥BD，垂足为H，作AG⊥CE，垂足为G，∵∠BAC=∠DAE=80°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
{
AB=AC
)
∵ ∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CD，故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AMB=∠FMC，
∴∠CFM=∠BAC=80°，
∴∠DFE=∠CFM=80°，故②正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴AH=AG，
∵AH⊥BD，AG⊥CE，
∴FA平分∠BFE，
∵∠CFM=80°，
∴∠BFE=180°−80°=100°，
1
∴∠AFB= ∠BFE=50°，故④正确；
2
假设③正确，则一定有BF=AC，又AC=AB，则会有BF=AB，
∵∠BAC=80°，∠BFA=50°，
∴∠BAF>∠BAC>∠BFA，则AB≠BF，假设不成立，③错误．
综上，①②④正确；
故选：C．【题型10 角平分线的实际应用】
【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，道路AO和BO的交叉区域（∠AOB的内部）为一个
公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游
乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键．
作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：如图，作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，交点P即为所作．
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在
其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查角平分线的性质，尺规作图，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键．
利用角平分线的作法，得出两三角形内角平分线的交点即为小亭中心的位置．
【详解】解：如图所示，点P为小亭中心的位置．【变式10-2】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，
围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相
等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析．
【分析】由点P到三面围墙的距离都相等，所以P是∠ABC,∠BCD的角平分线的交点，作出两个角的角
平分线的交点即可．
【详解】解：分别作∠ABC,∠BCD的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
【变式10-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）直线l，l，l 表示三条相互交叉的公路，现在拟建一
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个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图痕迹，不要求写作
法）【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交
点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
∴满足条件的点P有四个，如图所示：
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意此题答案不唯一，小
心别漏解．
