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专题 13.3 角平分线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】..............................................................................................................1
【题型2 由角平分线的性质求面积】......................................................................................................................5
【题型3 由角平分线的性质比较大小】..................................................................................................................9
【题型4 由角平分线的性质进行证明】................................................................................................................13
【题型5 证明是角平分线】....................................................................................................................................17
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】...........................................................................................................21
【题型7 尺规作角平分线】....................................................................................................................................24
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】.......................................................................................................27
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】...................................................................................33
【题型10 角平分线的实际应用】............................................................................................................................40
知识点1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为
∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB=20cm，AC=8cm，DF = cm．【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据△ABC的面积是
1 1
28cm，列式得 AB⋅ED+ AC⋅DF=28，即可得到答案．
2 2
【详解】解：在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵ △ABC的面积是28cm，
1 1 1
∴ AB⋅ED+ AC⋅DF=28，即 (AC+AB)⋅FD=28，
2 2 2
1
∴ ×(8+20)FD=28，
2
∴FD=2cm，
故答案为：2．
【变式1-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，AC=4,BD=3,DC=2，
则AB= ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”
是解题的关键．
作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，利用三角形的面积公式可得
AB BD
= ，代入数据计算即可．
AC CD
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图所示，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，S AB
∴ △ABD = ，
S AC
△ACD
S BD
又∵ △ABD = ，
S CD
△ACD
AB BD AB 3
∴ = ，即 = ，
AC CD 4 2
解得：AB=6．
故答案为：6．
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABD中，BC平分∠ABD，DE为高，
∠ACB=135°，△ABD的面积为6，AE=4，则BD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构
造全等三角形．
延长BD，过点A作AF⊥BD于点F，易得∠DCB=45°，则∠ADF=45°+∠DBC，进而推出
∠DAF=45°−∠DBC，∠DAE=45°−∠ABC，则∠DAE=∠DAF，通过证明
△ADE≌△ADF(HL)，得出AE=AF=4，结合三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：延长BD，过点A作AF⊥BD于点F，
∵∠ACB=135°，
∴∠DCB=180°−∠ACB=45°，
∴∠ADF=∠DCB+∠DBC=45°+∠DBC，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF=90°−∠ADF=90°−(45°+∠DBC)=45°−∠DBC，
∵∠DCB=∠DAE+∠ABC=45°，
∴∠DAE=45°−∠ABC，∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∴∠DAE=∠DAF，
∵AF⊥BD，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵DE=DF，AD=AD ，
∴△ADE≌△ADF(HL)，
∴AE=AF=4，
∵△ABD的面积为6，
1 1
∴ BD⋅AF= BD×4=6，
2 2
解得：BD=3，
故答案为：3．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，
∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F，AC=8，BC=12， 则BF的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连
接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 EA=EB，由角平分线的
性质得EG=EF，由HL得Rt△EFC≌Rt△EGC由全等三角形的性质得CF=CG，同理可得BF=AG，
即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∵∠ACE+∠BCE=180°，
∠ACE+∠ECG=180°，
∴∠ECG=∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG=EF，
在Rt△EFC和Rt△EGC中，
{CE=CE)
，
EF=EG
∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），
∴CF=CG，
同理可得：Rt△BFE≌Rt△AGE，
∴BF=AG，
∴BC−CF=AC+CG，
∴12−CF=8+CF，
解得：CF=2，
∴BF=12−2=10，
故答案：10．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
【例2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知△ABC的周长是20，点O为∠ABC与∠ACB的平分
线的交点，且OD⊥BC于点D，若OD=1，则△ABC的面积是（ ）A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作OE⊥AB于E，
OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得到OE=OF=OD=1，根据三角形的面积公式计算即
可．
【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF=OD=1，
∴△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
1
= ×(AB+BC+AC)×OD
2
1
= ×20×1
2
=10，
故选：B．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，
BA:CA=3:4，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ADC的面积是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作
DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，得DM=DN，则
1 1 4
S :S =BD:DC= AB·DN: AC·DM=BA:CA=3:4，设△ABC的面积为a，则S = a，
△ABD △ADC 2 2 △ADC 7
1 1
由E为AC的中点，从而S = S = a，根据△OAE的面积比△BOD的面积大1，列出方程即可求
△BEC 2 △ABC 2
解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
1 1
∴S :S =BD:DC= AB·DN: AC·DM=BA:CA=3:4，
△ABD △ADC 2 2
4
设△ABC的面积为a，则S = a，
△ADC 7
∵E为AC的中点，
1 1
∴S = S = a，
△BEC 2 △ABC 2
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
4 1
∴ a− a=1，
7 2∴a=14，
4
∴S = ×14=8
△ADC 7
故选：C．
【变式2-2】（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，
DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的
距离相等是解题的关键．作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF=DH，证明
Rt△FDE≌Rt△HDG，Rt△FDA≌Rt△HDA，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD △ABC DF⊥AB DH⊥AC
是 的角平分线， ， ，
∴DF=DH，
在Rt△FDE和Rt△HDG中，
{DF=DH)
，
DE=DG
∴Rt△FDE≌Rt△HDG(HL)，
同理，Rt△FDA≌Rt△HDA(HL)，
设△EDF的面积为x，由题意得，
48−x=26+x，
解得x=11，即△EDF的面积为11，
故选：A
【变式2-3】（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，
S =24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分线CE交AB于E，则△ADE的面积为
△ABC
（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先根据角平分线的性质，得EM=EN= ℎ，通过同高，底边比就是面积比得
S =S =2S ，S +S +S =24，S =8，运用割补法得△ADE的面积=24−S −S ，进行代入数
3 1 2 3 2 1 △ADC 1 △ADC
值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作EM⊥BC，EN⊥AC，△BED，△EDC，△AEC的面积分别记
S ，S ，S
1 2 3
∠ACB CE AB E
∵ 的角平分线 交 于 ，
∴EM=EN=
ℎ
∵S =24，BD：CD=2：1，AC=BD，
△ABC
1
BD×ℎ
S 2 BD 2 1
则 1= = = ，S = AC×ℎ，S +S =S +2S =24（同高，底边比就是
S 1 DC 1 3 2 △ADC △ADB △ADC △ADC
2 DC×ℎ
2
面积比）
∴S =S =2S ，S +S +S =24，S =8
3 1 2 3 2 1 △ADC24 48
∴S = ，S =S =
2 5 3 1 5
48
则△ADE的面积=24−S −S =24− −8=6.4
1 △ADC 5
故选：C
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
【例3】（23-24八年级·辽宁本溪·期末）如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为
S ,△ACO的面积记为S ,△BCO的面积记为S ，关于S ,S ,S 之间的大小关系，正确的是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S +S =S B．S +S S D．S ⋅S =S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】C
【分析】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出△ABO和
△BOC和△AOC的高相等解答．
根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABO和△BOC和△AOC的高相等，
∵△ABO的面积记为S ，△ACO的面积记为S ，△BCO的面积记为S ，设高为h
1 2 3
1 1 1 1
∴S +S = AB⋅ℎ + AC⋅ℎ = (AB+AC)⋅ℎ，S = BC⋅ℎ，
1 2 2 2 2 3 2
由△ABC的三边关系得：AB+AC>BC，
∴S +S >S ，
1 2 3
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，BO、AO分别是△ABC中∠ABC、∠BAC的平分
线，OH⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为H、E、F，则OH、OE、OF长度的大小关系是
（ ）A．OH=OF≠OE B．OH=OE=OF
C．OH≠OF=OE D．OH≠OE≠OF
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质，由OB平分∠ABC，OH⊥BC，OF⊥AB，得出OF=OH，同
理可得OF=OE即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，OF⊥AB，
∴OF=OH，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OF=OE，
∴OH=OE=OF，
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，
PC=3，则PD的大小关系是（ ）
A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能确定
【答案】A
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据垂线段
最短解答．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE=PC=3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选：A．
【点睛】此题考查的是角平分线的性质和垂线段最短的应用，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和
垂线段最短是解题关键．
【变式3-3】（23-24八年级·广东惠州·开学考试）如图，在∠AOB中，OC平分∠AOB，OA>OB，
∠OAC+∠OBC=180°，则AC与BC之间的大小关系是（ ）
A．AC=BC B．AC>BC C．ACAD)，求证：BC−AC=BD−AD．
【尝试探究】在图①中，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC．因为∠BAC的平分线
与∠ABC的平分线交于点O，所以OD=______=______．所以CO是∠ACB的平分线……
请同学们补充后面的解答过程．
【类比延伸】如图②，在四边形ABCD中，各角的平分线交于点O，试判断AB、BC、CD、AD间的数
量关系，并加以证明．
【答案】[尝试探究]OE，OF，证明见解析；[类比延伸]AB+CD=AD+BC，证明见解析．
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义的性质，正确理解题意是解题的关键．
[尝试探究]利用角平分线的性质得出OD=OE=OF，然后利用HL证明Rt△ADO≌Rt△AFO，得出
AD=AF，同理得出，BD=BE，CF=CE，最后利用线段的和差关系即可得证
[类比延伸]过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，然后仿照[尝试探
究]证明即可．
【详解】解：[尝试探究]OE，OF，
如图， 过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC．
∵∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，
∴OD=OE=OF．
∴CO是∠ACB的平分线，
在Rt△ADO与Rt△AFO中，¿，
∴Rt△ADO≌Rt△AFO，∴AD=AF，
同理，BD=BE，CF=CE，
∴BC−AC=BE+CE−AF−CF=BE−AF=BD−AD，
[类比延伸]
解∶AB+CD=AD+BC，
理由∶过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，
∵BO平分∠ABC，
∴OE=OF，
∵BO=BO，
∴Rt△BOE≌Rt△BOF，
∴BE=BF，
同理，CF=CM，DM=DN，AN=AE，
∴AB+CD=AE+BE+CM+DM，AD+BC=AN+BF+CF+DN，
∴AB+CD=AD+BC．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期中）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC
，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，得出∠AMB=∠AOB=36°，①正确；根据全等三角形的性质得
出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，则
∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得
出MO平分∠AMD，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC
，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出
∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA∠BAC>∠BFA，则AB≠BF，假设不成立，③错误．
综上，①②④正确；
故选：C．【题型10 角平分线的实际应用】
【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，道路AO和BO的交叉区域（∠AOB的内部）为一个
公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游
乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键．
作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：如图，作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，交点P即为所作．
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在
其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查角平分线的性质，尺规作图，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键．
利用角平分线的作法，得出两三角形内角平分线的交点即为小亭中心的位置．
【详解】解：如图所示，点P为小亭中心的位置．【变式10-2】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，
围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相
等．请在图中找出点P．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析．
【分析】由点P到三面围墙的距离都相等，所以P是∠ABC,∠BCD的角平分线的交点，作出两个角的角
平分线的交点即可．
【详解】解：分别作∠ABC,∠BCD的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
【变式10-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）直线l，l，l 表示三条相互交叉的公路，现在拟建一
1 2 3
个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图痕迹，不要求写作
法）【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交
点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
∴满足条件的点P有四个，如图所示：
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意此题答案不唯一，小
心别漏解．
