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专题 15.5 分式方程的应用【十大题型】
【人教版】
【题型1 行程问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 工程问题】..................................................................................................................................................4
【题型3 销售问题】..................................................................................................................................................8
【题型4 比例问题】................................................................................................................................................12
【题型5 古文问题】................................................................................................................................................15
【题型6 数字问题】................................................................................................................................................17
【题型7 图形问题】................................................................................................................................................19
【题型8 和差倍分问题】........................................................................................................................................23
【题型9 素材问题】................................................................................................................................................25
【题型10 方案设计问题】........................................................................................................................................32
知识点：列分式方程解实际应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的等量关系。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。
【题型1 行程问题】
【例1】（23-24八年级·云南昭通·期末）由于重庆独特的地貌，轨道交通成为了重庆人最信赖、最可靠的
出行方式，而有些站台到进出口有不短的距离，所以电动扶梯大大方便了人们的出行，图1是地铁1号线
进场口站的一段平地电梯，如图2所示电梯AB的长度为120米，小刚和小明两人不乘电梯在地面匀速行
6
走，小刚每分钟行走的路程是小明的 倍，且1.5分钟后，小刚比小明多行走15米．
5(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米？
(2)若两人在平地电梯上行走，电梯向前行驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在电梯上行走，
40
当小刚到达B处时，小明还剩 米才到达B处，求平地电梯每分钟行驶多少米？
3
【答案】(1)小明每分钟走50米，小刚每分钟走60米
(2)每分钟行驶30米
【知识点】分式方程的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用)
6
【分析】（1）设小明每分钟走x米，则小刚每分钟走 x米，根据题意，列出一元一次方程求解即可．
5
（2）设平地电梯每分钟行驶y米，则小刚每分钟走(60+ y)米，小明每分钟走(50+ y)米，根据小刚走120
( 40)
米用时间与小明走 120− 米用时间相等，列出分式方程求解即可．
3
6
【详解】（1）设小明每分钟走x米，则小刚每分钟走 x米，根据题意，得
5
(6 )
x−x ×1.5=15，
5
6
解得x=50, x=60，
5
答：小明每分钟走50米，小刚每分钟走60米．
（2）设平地电梯每分钟行驶y米，则小刚每分钟走(60+ y)米，小明每分钟走(50+ y)米，
根据题意，得
( 40)
120−
3 120 ，
=
50+ y 60+ y
解得y=30，
答：平地电梯每分钟行驶30米．
【点睛】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，正确列出方程并规范求解是解题的关键．【变式1-1】（23-24八年级·河北承德·期末）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放
在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，
他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少
20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍．
(1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？
(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？
【答案】(1)小明步行的速度是80米/分
(2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关
键．
（1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）求出小明总共需要的时间进行比较即可．
【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分
2400 2400
根据题意得： − =20，
x 3x
解得：x=80
经检验x=80是原方程的解．
答：小明步行的速度是80米/分．
2400 2400
（2）根据题意得，小明总共需要： + +2=42>40．
80 240
答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆．
【变式1-2】（23-24八年级·重庆江北·期末）甲、乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，
甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．
【答案】甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为6千米/小时．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲的速度为3x千米/小时，则乙的速度为4x千米/小时，根据题
10 6 20
意列 − = ，解方程并检验可得答案，解题的关键是读懂题意，列出分式方程．
4x 3x 60
【详解】解：设甲的速度为3x千米/小时，则乙的速度为4x千米/小时，
10 6 20
根据题意得： − = ，
4x 3x 60解得：x=1.5，
经检验，x=1.5是原分式方程的解，
∴3x=4.5，4x=6，
答：甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为6千米/小时．
【变式1-3】（23-24八年级·云南曲靖·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30
日24时正式通车运营，全长49km的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条
全长58km的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，
由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路
从广南到那洒需要几小时．
2
【答案】该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时
3
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车
由普通公路从广南到那洒需要2x小时，再根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平
均速度快30km/h列出方程求解即可．
【详解】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要2x小
时．
49 58
依题意，得 − =30，
x 2x
2
解得 x= ，
3
2
经检验 x= 是原方程的解，且符合题意．
3
2
答：该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时．
3
【题型2 工程问题】
【例2】（23-24八年级·河南漯河·期末）某地对一段长达2400米的河堤进行加固，施工队在加固800米后，
采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
(1)施工队原来每天加固河堤多少米？
(2)若承包商原来每天支付给施工队的工资为2000元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了
20%，那么完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为多少元？
【答案】(1)原来每天加固河堤80米(2)完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为58400元
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解．
5
（1）设原来每天加固河堤a米，则采用新的加固模式后每天加固a(1+25%)= a米，然后根据用26天完
4
成了全部加固任务，列方程求解即可；
（2）先算出提高工作效率后每天加固的长度，然后进行求解即可．
5
【详解】（1）解：设原来每天加固河堤a米，则采用新的加固模式后每天加固a(1+25%)= a米．
4
800 2400−800
+ =26
根据题意得： a 5 ，
a
4
解这个方程得：a=80，
经检验可知，a=80是原分式方程的根，并符合题意；
答：原来每天加固河堤80米；
5 5
（2）解：根据题意得 a= ×80=100(米)，
4 4
800 2400−800
所以，承包商支付给工人的工资为： ×2000+ ×2000×(1+20%)=58400(元)．
80 100
故完成整个工程后承包商共支付给施工队的工资为58400元．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏淮安·期末）某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程
队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿
化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完
成绿化的面积．
【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积为100xm2．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据工作时间=工
作总量÷工作效率结合两队独立完成面积为400m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分
式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
400 400
根据题意得： − =4，
x 2x解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴2x=100．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积100xm2．
【变式2-2】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．
甲机器人比乙机器人每小时少搬运20kg，甲机器人搬运400kg所用时间与乙机器人搬运600kg所用的时
间相同，问乙种机器人每小时搬运多少kg的产品？
(1)下面是孙丽，王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：
____________同学的．
400 600
孙丽同学：设乙每小时搬运xkg产品，根据题意，得 = ，
x x+20
王宁同学：设乙搬运600kg产品所用时间为x小时，根据题意，得
400 600
= −20
x x
(2)请把错误的方程改正过来，并写出完整的解答过程．
【答案】(1)孙丽
(2)乙机器人每小时搬运60kg产品．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】（1）直接利用甲机器人搬运400kg所用时间与乙机器人搬运600kg所用时间相等以及甲机器人
比乙机器人每小时少搬运20kg分别得出等式求出答案；
（2）利用分式方程的解法进而计算得出答案；
本题考查了分式方程的应用，解题的关键读懂题意，列出分式方程式．
400 600
【详解】（1）孙丽同学设乙机器人每小时搬运xkg产品，根据题意，得 = ，
x−20 x
400 600
王宁同学设乙机器人搬运600kg产品所用时间为x小时，根据题意，得 = −20，
x x
∴错误的是：孙丽同学，
故答案为：孙丽；
（2）设乙机器人每小时搬运xkg产品，
400 600
根据题意，得 = ，
x−20 x
解得：x=60，
经检验x=60是原方程的解且符合题意，答：乙机器人每小时搬运60kg产品．
【变式2-3】（23-24八年级·宁夏中卫·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里
路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研
学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草
方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块1m×1m的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作
6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦
草方格？
(1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程：
36 36
小聪： =1.5×
x x+6
36 36
小慧： − =6
x 1.5x
则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______．
(2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
(3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完
成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求
出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务．
【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间
(2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块
(3)不能，每小时至少多做12块
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程的应用：
（1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可；
（2）解分式方程即可；
（3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果．
36 36
【详解】（1）解：小聪所列方程 =1.5× ，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙
x x+6
队完成任务所需时间的1.5倍，
故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量
36 36
小慧所列方程 − =6，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块，
x 1.5x
故x表示乙队完成任务所需时间；36 36
（2）解： =1.5× ，得：x=12，
x x+6
经检验x=12是原方程的解，
∴x+6=18，
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
36 36
解： − =6，得：x=2；
x 1.5x
经检验x=2是原方程的解，
36
∴ =18，18−6=12；
x
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
4
（3）不能；1小时20分钟= 小时
3
4
甲队已完成：12× =16（块）；
3
4
乙队已完成：18× =24（块）；
3
还剩余：36−16+36−24=32（块）；
两队合作1小时可完成：(12+18)×1=30（块），
30<32，
故不能完成；
32−30=2（块）；
答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务．
【题型3 销售问题】
【例3】（2024·山西忻州·八年级期末）忻州市五台县近年来结合“核桃富民”战略的优势，以低成本投入
在核桃树下种植蘑菇菌棒，打造林下经济试点，开辟农民增收致富的新渠道．现有A，B两种菌棒，已知
4
张伯伯种植的每个A种菌棒平均收获蘑菇的重量是每个B种菌棒的 倍，若要两种菌棒各可收获蘑菇180
3
千克，B种菌棒需种植的个数比A种菌棒多30个．(1)求每个A，B种菌棒分别平均可收获蘑菇多少千克？
(2)通过前期销售，市场反映良好，需求递增，现有200千克的蘑菇需求订单，已知张伯伯现计划种植A，B
两种菌棒共120个，若在不增加菌棒数量的前提下，则A种菌棒至少种植多少个，张伯伯才能完成这一订
单？
【答案】(1)每个A种菌棒可收获蘑菇2千克，每个B种菌棒可收获蘑菇1.5千克
(2)40个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用
4
【分析】（1）设每个B种菌棒可收获蘑菇x千克，则每个A种菌棒可收获蘑菇 x千克，然后根据“B种
3
菌棒需种植的个数比A种菌棒多30个”列方程求解；
（2）设A种菌棒种植m个，则B种菌棒种植(120−m)个，然后根据200千克的订单数量列不等式求解．
4
【详解】（1）解：设每个B种菌棒可收获蘑菇x千克，则每个A种菌棒可收获蘑菇 x千克．
3
180 180
− =30
根据题意，得 x 4 ，
x
3
解得x=1.5，
经检验，x=1.5是原分式方程的根，且符合题意．
4
∴每个A种菌棒可收获蘑菇： ×1.5=2（千克），
3
答：每个A种菌棒可收获蘑菇2千克，每个B种菌棒可收获蘑菇1.5千克；
（2）解：设A种菌棒种植m个，则B种菌棒种植(120−m)个，
根据题意，得2m+1.5(120−m)≥200，
解得m≥40，
答：A种菌棒至少种植40个，张伯伯才能完成这一订单．
【点睛】本题考查分式方程和不等式的实际应用，找到等量关系或不等量关系列方程或不等式是本题解题
关键，注意分式方程要检验．
【变式3-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）数字乡村建设是加快农业农村现代化的一项重要举措，智慧水产建设是数字乡村建设的重要一环．某乡村鱼塘计划购进智能水质传感器和云平台增氧机若干台，实现
智慧水产养殖，提升鱼塘产值．采购人员发现一台水质传感器比一台增氧机贵1000元，用9000元购买的
水质传感器的数量与6000元购买的增氧机的数量相同．
(1)分别求一台水质传感器和一台增氧机的售价．
(2)若鱼塘采购资金为40000元，两种设备共购进15台，则最多可购买多少台水质传感器？
【答案】(1)一台水质传感器的售价为3000元，一台增氧机的售价为2000元
(2)该鱼塘最多可购买10台水质传感器
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设一台水质传感器的售价为x元，则一
台增氧机的售价为(x−1000)元，根据“用9000元购买的水质传感器的数量与6000元购买的增氧机的数
量相同，”列方程求解即可；
（2）设购买m台水质传感器，则购买(15−m)台增氧机，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设一台水质传感器的售价为x元，则一台增氧机的售价为(x−1000)元．
9000 6000
由题意得 = ，
x x−1000
解得x=3000，
经检验x=3000是分式方程的解且符合实际，
∴x−1000=2000．
答：一台水质传感器的售价为3000元，一台增氧机的售价为2000元．
（2）解：设购买m台水质传感器，则购买(15−m)台增氧机．
由题意得3000m+2000(15−m)≤40000，
解得m≤10．
答：该鱼塘最多可购买10台水质传感器．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆·期中）列方程解应用题：
人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油
站同时又配有充电桩．
(1)在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时
内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内
共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？
(2)一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的10
倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行
3
驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用
为多少元？
【答案】(1)充电桩和加油枪分别有12个，8个
(2)新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元
【知识点】分式方程的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程在实际生活中的应用，正确理解题意，建立方程是解决本题
的关键．
（1）设服务区的充电桩有x个，则加油枪有(x−4)个，建立方程：2x+7(x−4)=80，解方程即可；
10
（2）新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用y元，则燃油汽车平均每公里的汽油费为 y元，由
3
250 60
− =100
题意得：10 y ，再解分式方程即可，注意需要检验．
y
3
【详解】（1）解：设服务区的充电桩有x个，则加油枪有(x−4)个，
由题意得：2x+7(x−4)=80，
解得：x=12，
则x−4=12−4=8，
答：充电桩和加油枪分别有12个，8个．
10
（2）解：设新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用y元，则燃油汽车平均每公里的汽油费为 y
3
元，
250 60
− =100
由题意得：10 y ，
y
3
解得：y=0.15，
经检验：y=0.15是原方程的解，且符合题意．
答：新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元
【变式3-3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格
销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购
入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二
次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
【答案】(1)商场第一次购入的空调每台进价是2400元
(2)最多将8台空调打折出售
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会
有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一
个则用来设未知数．解答分式方程时，一定要注意验根．
（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购入该种型
号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元”列出分式方程解答即可；
（2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二
次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
【详解】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得：
24000 52000
×2= ，
x x+200
解得：x=2400，
经检验x=2400是原方程的根，且符合题意，
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元；
（2）设将y台空调打折出售，根据题意，得：
24000 ( 52000 )
3000× +(3000+200)×0.95 y+(3000+200)× −y ≥(24000+52000)×(1+22%)，
2400 2400+200
解得：y≤8，
答：最多将8台空调打折出售．
【题型4 比例问题】
【例4】（23-24八年级·江苏南通·开学考试）甲、乙两种糖果的单价分别为20元/千克和24元/千克，将两
种糖果按一定的比例混合销售．在两种糖果混合比例保持不变的情况下，将甲种糖果的售价上涨8%，乙种
糖果的售价下跌10%，使调整前后混合糖果的单价保持不变，则两种糖果的混合比例应为：甲：乙= ．
【答案】3：2
【知识点】分式方程的实际应用
【详解】试题分析：仔细审题，发现题中有一个等量关系：混合前糖果的单价=混合后糖果的单价，根据这个等量关系列出方程，进而求出问题的解．
解：设甲：乙=1：k，即混合时若甲糖果需1千克，乙糖果就需k千克，
20+24k 20(1+8%)+24(1−10%)k
根据题意，得= = ，
1+k 1+k
2
解得：k= ，
3
所以甲、乙两种糖果的混合比例应为甲：乙=3：2．
故答案为3：2．
【变式4-1】（2024·云南昆明·一模）古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比
约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若王老师身高165cm，肚脐到脚底的长度为100cm，为使
王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．10cm
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设选择高跟鞋的跟高约为x厘米，根据“最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比约为
0.618”列方程，求解即可．
【详解】设选择高跟鞋的跟高约为x厘米，由题意得
100+x
=0.618
165+x
解得x≈5
所以，选择高跟鞋的跟高约为5厘米．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，能够根据题意列出分式方程是解题的关键．
【变式4-2】（23-24八年级·山东·课后作业）在暑假社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生
产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A，B，C三种型号，它们的
数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示.
若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：(1)从上述统计图可知，A型玩具有________套，B型玩具有_____套，C型玩具有______套；
(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，求a的值并且求每人每小时组装C型
玩具多少套？
【答案】(1) 132，48，60；(2) a=4，6(套)
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、分式方程的实际应用
【分析】（1）根据题意，可得三套玩具各自的百分比与总套数，计算可得三套玩具各自的件数；
（2）根据题意，每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，根据条形图可得各自的时
间，列出关系式解可得a的值．
【详解】（1）A型玩具：240×55%=132（套）；
B型玩具：240×（1﹣55%﹣25%）=240×20%=48（套）；
C型玩具：240×25%=60（套）．
16 12
（2）依题意，得： = ，解得：a=4．
8 2a−2
经检验，a=4是所列方程的根，所以a的值为4．
当a=4时，2a－2=6．故每人每小时组装C型玩具6套．
【点睛】本题考查了扇形图、条形图的综合运用，解题的关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的
关系．
【变式4-3】（23-24八年级·重庆大渡口·期末）防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完
毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给A、B、C三个小区且全部分完．第二周先拿出第
1
二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的 分发给A小区，则A小区两周收到的口罩数
4
量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若B、C小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则B小
区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（ ）
A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用、列代数式
【分析】先设出相应的量，利用题意表示出它们的关系，再列式求解即可．
【详解】解：设第一批和第二批口罩数量分别为a和b，B小区第二周收到的口罩数量为x，由题意可得如
下信息：
A B C 三个小区口罩总量1 3 1
第一周 a a a a
8 8 2
第二周 0.2b x 0.8b
∵A小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9，
(1 )
∴ a+0.2b :(a+0.8b)=2:9，
8
35
∴b= a，
8
由B、C小区两周收到的口罩数量之比为3：4，
∴A、B、C三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2:3:4，
(1 ) (3 ) (3 )
∴ a+0.2b : a+x =2:3即a: a+x =2:3，
8 8 8
9
∴x= a，
8
9
a
x 8 9
∴ = = ，
a+b 35 43
a+ a
8
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式的应用，解题关键是正确理解题意，根据其中的比例关系正确表示出第一周
和第二周的A和B两个小区的口罩数量，以及求出a和b的数量关系，本题较为抽象，学生在审题上易出
现困难．
【题型5 古文问题】
【例5】（2024·北京海淀·八年级期末）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫
商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，
三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“do，mi，so”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为
15个单位长，最短弦为10个单位长，求中间弦的长度．
【答案】12
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为x，列式求解即可，掌握分式的
运用是解题的关键．
【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为x，1 1 1 1
∴ − = − ，
15 x x 10
解得，x=12，
检验，当x=12时，原式有意义，
∴中间弦的长度为12 ．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉
的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不
等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲
20
的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖 个克罗索．”此题中第一个
3
农妇的每个鸡蛋价格是（ ）
1 1 1 1
A． 个克罗索 B． 个克罗索 C． 个克岁索 D． 个克罗索
3 4 5 6
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查列分式方程解应用题．根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求得这两名农妇各带来
多少个鸡蛋，再计算出第一个农妇每个鸡蛋的单价即可．
【详解】解：设第一个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了(100−x)个．由题意得：
20
15 3 ．
⋅x= ⋅(100−x)
100−x x
解得：x=40，
检验：当x=40时，x(100−x)≠0，符合题意．
100−x=60．
即第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
1
∴第一个农妇的鸡蛋价格为：15÷60=0.25= 个克罗索．
4
故选：B．
【变式5-2】（2024·江西萍乡·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战
国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善
行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当
善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？100
【答案】 里
3
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设善行者走x里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走x里时就追上了不善行者，
x−10 100−10−20
根据题意， =
x 100
100
解得x=
.
3
100
答：善行者走 里时追上了不善行者.
3
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市
场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，
也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一
份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规
定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间？请同学们帮助解决．
【答案】规定时间为7天
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题
的关键．
根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为(x+1)天，快马所需的时间为
(x−3)天，利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设规定时间为x天，
900 900
根据题意得： =2×
x−3 x+1
解得：x=7
经检验x=7是原分式方程的解
答：规定时间为7天．
【题型6 数字问题】
【例6】（2024八年级·全国·专题练习）有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1
1，则分数值等于 ，原分数是 ．
2
4
【答案】
7
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】由分子加1，分子则比分母少2可知，原来分子比分母少1+2=3，如果设原来的分子是x，则分
1
母是x+3，又由分母加1，则分数值等于 即可列出方程，由此解答即可．
2
【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是x+1+2，由题意列出方程
x 1
=
x+1+2+1 2
x 1
所以 = ，
x+4 2
所以2x=x+4，
解得：x=4，经检验符合题意；
所以4+1+2=7；
4
因此这个分数是 ；
7
4
故答案为：
7
【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，关键是找出等量关系，设出未知数，列方程
解答比较简便．
【变式6-1】（23-24八年级·贵州铜仁·期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，
4
那么所得的两位数与原来的两位数之比是 ，原来得两位数是 ．
7
【答案】63
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答．
【详解】解：设这个两位数个位上的数为x，
10x+6 4
则可列方程： = ，
6×10+x 7
整理得66x＝198，
解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根
据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式6-2】（23-24八年级·全国·课后作业）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被
个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案】34
【知识点】解分式方程、分式方程的实际应用
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，两位数是10x+x+1，利用两位数减2除以个位数
字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，
10x+(x+1)−2
则： =8，
x+1
解方程得：x=3，
经检验：x=3是原方程的根，
所以个位上的数字为：x+1＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减
2除以个位数字，商是8列出方程．
【变式6-3】（23-24八年级·山东潍坊·期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位
数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为
4
，则这个二位数是 ．
7
【答案】84
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的
4
位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为 ”，即可得出关
7
于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
【详解】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），10(12−x)+x 4
根据题意得： ＝ ，
10x+(12−x) 7
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为84．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【题型7 图形问题】
【例7】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相
等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
(1)若图1中原长方形纸片长20cm，宽16cm，被剪掉的正方形边长为acm，折叠得到的无盖长方体纸盒的
长、宽、高之和为24cm，求a的值；
(2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正
方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制
作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组
有多少名同学？
【答案】(1)4
(2)15名
【知识点】分式方程的实际应用、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm”，列出方程，即可求解；
（2）设甲组有x名同学，则乙组有(20−x)名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙
组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：(20−2a)+(16−2a)+a=24
解得：a=4
答：a的值为4．
（2）解：设甲组有x名同学，则乙组有(20−x)名同学，根据题意得：4
60×
60 6 1，
= ×
x 20−x 2
解得：x=15
经检验，x=15是原方程的解且符合题意．
答：甲组有15名同学．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
【变式7-1】（23-24八年级·全国·单元测试）一个长方形的面积是180平方米，如果长减少3米，就成为正
方形，则这个长方形的周长是 米．
【答案】54
【知识点】分式方程的实际应用
180
【分析】设这个长方形的长为x米，则在长方形的宽为 米．所以正方形的边长为（x-3）米，根据正方
x
形的边长都相等的性质列出方程并解答．
180
【详解】解：设这个长方形的长为x米，则在长方形的宽为 米，
x
180
由题意，得x-3=
x
解得x=-12（舍去）或x=15．
经检验x=15是原方程的根，且符合题意．
180
所以2（x+ ）=2×（15+12）=54（米）
x
所以，这个长方形的周长是 54米．
故答案是：54米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级·河南信阳·阶段练习）如图，甲和乙均是容积为90立方分米无盖的长方体盒子．
(1)甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是___________分米；这个盒子的表面积是
_____________平方分米．（用含有a的式子表示）(2)乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米. 选用2元/平方分米的材料，制作甲乙两个盒子的底面，
乙盒子底面材料费用是甲盒子底面材料费用的2倍，求乙盒子的高．
90 360
【答案】(1)ℎ = ，a2+
a2 a
(2)5
【知识点】分式方程的实际应用、列代数式
【分析】（1）长方体体积为长宽高的乘积，已知甲的地面是边长为a的正方形，就可以求出高，长宽高已
知即可表示表面积．
（2）根据甲乙盒子的高的关系可以表示乙的高，根据地面材料费求出乙的底面积（长宽积），利用体积
建立关于高的关系方程，求出乙的高．
90 90 90 360
【详解】（1）解：a2 ⋅ℎ =90，则ℎ =
a2
，表面积= a2+2a⋅
a2
+2a⋅
a2
=a2+
a
（平方分米）
（2）解：设乙的高为x分米，甲的高为(x+5)分米．
90 90
依题意得： =2×
x x+5
解得： x=5
经检验x=5是此分式方程的解．
答：乙盒子的高为5分米．
【点睛】本题主要考了长方体的体积及表面积的知识，利用公式建立分式方程模型是解题关键．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）网购是现在人们常用的购物方式，通常网购的商品为防止损
坏会采用盒子进行包装，A，B均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子（如图）．
（1）图中A盒子底面是正方形，B盒子底面是长方形，A盒子比B盒子高6分米，A和B两个盒子都选用相
同的材料制作成侧面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中B盒子底面制作费用是A盒子底面制
作费用的3倍，当V =576立方分米时，求B盒子的高（温馨提示：要求用列分式方程求解）．
（2）在（1）的条件下，已知A盒子侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米，求制作一个A盒子的制作费
用是多少元？
（3）设a的值为（2）中所求的一个A盒子的制作费用，请分解因式；x2−31x+a= ．【答案】（1）B盒子的高为3分米；（2）制作一个A盒子的制作费用是240元；（3）(x−16)(x−15)．
【知识点】分式方程的实际应用、十字相乘法
【分析】（1）先以“B盒子底面制作费用是A盒子底面制作费用的3倍”为等量关系列出分式方程，再求
解分式方程，最后检验作答即得．
（2）先分别求出A盒子的底面积和四个侧面积，再求出各个面的制作费用之和即得．
（3）先依据（2）写出多项式，再应用十字相乘法因式分解即得．
【详解】（1）设B盒子的高为h分米．
576 576
由题意得： ×1.5= ×1.5×3
ℎ ℎ
+6
解得：ℎ =3
经检验得：ℎ =3是原分式方程的解．
答：B盒子的高为3分米．
（2）∵由（1）得B盒子的高为3分米
∴A盒子的高为：ℎ +6=9（分米）
576
∴A盒子的底面积为： =64（平方分米）
ℎ
+6
∴A盒子的底边长为：❑√64=8（分米）
∴A盒子的侧面积为：4×8×9=288（平方分米）
∵底面的材料1.5元/平方分米，侧面制作材料的费用是0.5元/平方分米
∴制作一个A盒子的制作费用是：64×1.5+288×0.5=240（元）
答：制作一个A盒子的制作费用是240元．
（3）∵由（2）得：a=240
∴x2−31x+a=x2−31x+240
∴x2−31x+a= (x−16)(x−15)
故答案为：(x−16)(x−15)．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用、整式的“十字相乘法”因式分解，实际问题找等量关系是解题关键，注意分式方程求解后的检验是易遗漏点；因式分解注意观察形式选择合适的方法，熟练掌握十字相乘
法因式分解是解题关键.
【题型8 和差倍分问题】
【例8】（23-24八年级·山东威海·期末）A，B两公司全体员工踊跃地为甘肃地震捐款，A公司共捐款20
万元，B公司共捐款30万元．下面是A，B两公司员工的一段对话：
A公司员工：我们公司员工总数比你们少50人；
4
B公司员工：你们公司员工人均捐款数是我们公司人均捐款数的 ．
5
请问：A，B两公司各多少员工？
【答案】A公司有250人，B公司有300人．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；设B公司有x人，
4
则A公司有(x−50)人，利用人均捐款数=捐款总数÷捐款人数，结合A公司的人均捐款数是B公司的 ，
5
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出B公司的人数，再将其代入(x−50)中即可求出A公司
的人数．
【详解】解：设B公司有x人，则A公司有(x−50)人，
20 4 30
依题意得： = × ，
x−50 5 x
解得：x=300，
经检验，x=300是原方程的解，且符合题意，
∴x−50=300−50=250．
答：A公司有250人，B公司有300人．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏泰州·期末）甲、乙两所学校在某次捐款活动中各捐款4500元．已知甲学
校比乙学校人数多20%，乙学校比甲学校人均多捐1元．求甲、乙两学校各有多少人？
【答案】甲校有900人，乙校有750人
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙校由x人，则甲校由(1+20%)x人，根据“乙学校比甲学校人
均多捐1元”列分式方程求解即可．
【详解】解：设乙校有x人，则甲校有(1+20%)x人，
4500 4500
根据题意，得 = −1，
x (1+20%)x解得x=750，
经检验，x=750是原方程的解，
∴(1+20%)x=900，
答：甲校有900人，乙校有750人．
【变式8-2】（23-24八年级·山东泰安·期中）我区某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6000棵葡萄树．
在实际施工时，参与种植人数比计划人数多，这样每天实际种植葡萄树比原计划每天多20%，结果比原计
划提前2天完成种植任务．原计划每天种植多少棵葡萄树？
【答案】500棵
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天种树x棵，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设原计划每天种树x棵，
6000 6000
根据题意，得 − =2，
x (1+20%)x
解得x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
答：原计划每天种植500棵葡萄树．
【变式8-3】（2024·贵州·八年级期末）电商崛起，包裹量激增，人工分拣包裹速度已不能满足行业需求，
为提高包裹的分拣速 度， 某公司引入智能机器人分拣系统，机器人分拣包裹速度是人工分拣包裹速度的
5 倍，用 机器人和人工分别分拣 10000 件包裹，机器人所用时间比人工所用时间快8小时，求机器人与
人工分拣包裹的速度分别是每小时多少件？
【答案】机器人与人工分拣包裹的速度分别是每小时5000件、1000件
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设人工分拣包裹
的速度是每小时x件，则机器人分拣包裹的速度是每小时5x件，根据用机器人和人工分别分拣10000件包
裹，机器人所用时间比人工所用时间快8小时，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设人工分拣包裹的速度是每小时x件，则机器人分拣包裹的速度是每小时5x件，
10000 10000
由题意，得 − =8，
x 5x
解得x=1000，
经检验，x=1000是所列分式方程的根，且符合题意，
∴5x=5×1000=5000，答：机器人与人工分拣包裹的速度分别是每小时5000件、1000件．
【题型9 素材问题】
【例9】（23-24八年级·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务.
奶茶销售方案制定问题
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士
杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨
素
梅”共需53元．
材1
两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅 配料
芝士100mL/杯
茉莉清茶400mL/杯
杨梅肉
多肉
素
材2 满杯杨梅 配料
茉莉清茶500mL
/杯
杨梅肉
多肉
5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨
素
5
材3 梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的 倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
4
由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天
素
芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨
材4
梅”．
问题解决
任 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？务1
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（
任
确定奶茶的成本 总利润
务2 每杯利润=每杯售价−每杯成本= ）
数量
任 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共
拟定最优方案
务3 多少杯？
【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯
杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯
【知识点】分式方程的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即
可；
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为(17−a)元/杯，根据素材3列方程求解即可；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即
可求解．
【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，
由题意得：¿，
解得¿，
答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元，
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为(17−a)元/杯，
5
则“芝士杨梅”利润为 ⋅(17−a)元/杯，
4
400 480
+20=
由题意5 17−a ，
(17−a)
4
解得a=9，
经检验满足题意，
5 5
芝士杨梅成本：19− (17−a)=19− (17−9)=9（元/杯），
4 4
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，
4m
由题意得：400m+500n=17500，变形得n=35− ，
5
∵芝士配料不低于3500mL，∴m≥3500÷100=35且m是5的倍数，
{m=40) {m=35)
∴解得 ，
n=3 n=7
∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元，
{m=35)
当 时，总利润为266元，
n=7
{m=40)
当 时，总利润为264元，
n=3
∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出
二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成调查活动．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
素
为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
材1
调查 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：①七年级、八年级两支志愿者植树各
活动 720棵树苗；
素
材2 ②八年级比七年级人均植树多2棵树苗；
③八年级的学生人数比七年级的人数少20%．
交流 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集
质疑 到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题 任 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植
解决 务1 树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
小明同学还想知道参与此次活动的八年级（1）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果
问题 任
每人种9棵，还剩下12棵树苗；如果每人种12棵，则缺少24棵树苗，求八年级（1）班志愿
反馈 务2
者的人数和需种植的树苗数．
【答案】任务1：提出问题1：七年级的志愿者有90人，八年级的志愿者有72人；七年级人均植树8棵，八
年级人均植树10棵；任务2：八年级（1）班志愿者有12人，需种植120棵树苗．
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用
【分析】任务1：提出问题1：求出七、八年级志愿者的人数?设七年级的志愿者有x人，则八年级的志愿者
有(1−20%)x人，利用人均植树棵数=植树总棵数÷志愿者人数，结合八年级比七年级人均植树多2棵树苗，
可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即七年级志愿者人数），再将其代入(1−20%)x
中，即可求出八年级志愿者人数；提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数?设七年级人均植树y棵，则八年级人均植树(y+2)棵，利用
志愿者人数=植树总棵数÷人均植树棵数，结合八年级的学生人数比七年级的人数少20%，可列出关于y的
分式方程，解之经检验后，可得出y的值（即七年级人均植树棵数），再将其代入(y+2)中，即可求出八
年级人均植树棵数；
任务2：设八年级（1）班志愿者有m人，根据“如果每人种9棵，还剩下12棵树苗；如果每人种12棵，则
缺少24棵树苗”，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值（即八年级（1）班志愿者人数），
再将其代入(9m+12)中，即可求出八年级（1）班需植树的棵数；
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和
一元一次方程．
【详解】解：任务1：提出问题1：求出七、八年级志愿者的人数?
解决问题：设七年级的志愿者有x人，则八年级的志愿者有(1−20%)x人，
720 720
根据题意得： − =2，
(1−20%)x x
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意，
(1−20%)x=(1−20%)×90=72，
答：七年级的志愿者有90人，八年级的志愿者有72人；
提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数?
解决问题：设七年级人均植树y棵，则八年级人均植树(y+2)棵，
720 720
根据题意得： ×(1−20%)= ，
y y+2
解得：y=8，经检验，y=8是所列方程的解，且符合题意，
y+2=8+2=10，
答：七年级人均植树8棵，八年级人均植树10棵；
任务2：设八年级（1）班志愿者有m人，
根据题意得：9m+12=12m−24，解得：m=12，
∴9m+12=9×12+12=120，
答：八年级（1）班志愿者有12人，需种植120棵树苗．
【变式9-2】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）根据以下素材，探索完成任务
某中学701班自制一款组
素材1 合式的木质收纳架．如图
所示，已知单个收纳架由
2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，
竖杆长为32厘米．
可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件
素材2
的用料不能拼接而成．
解决问题
一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废）
方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根；
任务
拟定裁切方案
方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪
（一）
32厘米长的竖杆_________根；
方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪
32厘米长的竖杆_________根．
班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方
任务
核算材料费用 法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚
（二）
好得到所需要的用料？
同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装m根竖杆或(7−m)
任务
评价安装工效 根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所
（三）
需的时间与安装横杆所需的时间相同，求m的值．
【答案】任务一：5，3，1；任务二：8根，1根；任务三：5
【知识点】分式方程的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
任务一：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务二:利用方法②与方法③列出方程组求解即可；
任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或(7−m)根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即
可．
【详解】任务一：方法①：160÷32=5(根)
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
1
方法②：(160−60)÷32=3 ，
8
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
1
方法③：(160−2×60)÷32=1 ，
4
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根．
任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得：{x+2y=2×5) {x=8)
，解得： ．
3x+ y=5×5 y=1
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需
要的相应数量的用料．
5×5 5×2
任务三：依据题意得 = ，解得：m=5，
m 7−m
经检验，m=5是该方程的解．
【变式9-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的1.5倍，用108元购买钢笔的数量比
1 用60元购买笔记本的数量多2件．
素材 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比
2 笔记本少15支．
学校花费540元后，文具店赠送m张(1≤m<10)兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数
量与钢笔相同．
素材
3
问题解决
任务
【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
一
任务
【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
二
任务
【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
三
【答案】任务一：每支钢笔9元，每本笔记本6元；任务二：购买钢笔30支，笔记本45本；任务三：有3
种方案，分别为：①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；③7张兑换钢笔，
2张兑换笔记本
【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用：
任务一：解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，列出方程，即可求解；
任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意，列出方程组，即可求解；
任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则(m−y)张兑换笔记本．由题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，得：
108 60
−2= ，解得：x=6，
1.5x x
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．
6×1.5=9（元）
答：每支钢笔9元，每本笔记本6元；
任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意得：
{ a+15=b )
，
9a+6b=540
{a=30)
解得： ，
b=45
答：购买钢笔30支，笔记本45本；
任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则(m−y)张兑换笔记本．
3+2m
由题意得：30+5 y=45+10(m−y)，整理得：y= ，
3
∵1≤m<10，
{m=3) {m=6) {m=9)
∴ 或 或 ，
y=3 y=5 y=7
∴有3种方案，分别为：
①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本.
【题型10 方案设计问题】
【例10】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下
是两个工程队的施工规划．
甲工 前两天施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只
程队 按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天．
A方案：计划18千米按每天施工a千米完成，剩下的18千米按每天施工b千米完成，预计完成生
产任务所需的时间为t 天；
1
乙工
B方案：设完成施工任务所需的时间为t 天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天
程队 2
完成施工b千米；
特别说明：两种方案中的a,b地为正整数，且1≤a≠b≤9．
(1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？(2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由．
【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要5天；
(2)乙工程队应采取B方案，理由见解析
【知识点】异分母分式加减法、分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算：
（1）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，
这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可．
（2）先根据题意求出t ，t ，再利用作差法求出t ，t 的大小即可得到答案．
1 2 1 2
36−2x 36−2x
【详解】（1）解：根据题意得： − =3，
x 2x
9
解得：x＝ ，
2
9
经检验，x= 是所列方程的解，且符合题意，
2
9
36−2×
36−2x 2
∴2+ =2+ =5．
2x 9
2×
2
答：甲工程队完成施工任务需要5天；
（2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下：
36 72
18 18 18(a+b) t = =
根据题意得： t = + = ； 2 1 a+b．
1 a b ab (a+b)
2
18(a+b) 72
∴t −t = −
1 2 ab a+b
18(a+b) 2−72ab
=
ab(a+b)
18(a−b) 2
= ．
ab(a+b)
∵1≤a≠b≤9，
∴ab(a+b)>0，(a−b) 2>0，18(a−b) 2
∴ >0，即t −t >0，
ab(a+b) 1 2
∴t >t ，
1 2
∴乙工程队应采取B方案.
【变式10-1】（23-24八年级·四川成都·期中）位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟
大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．
七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论：
芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满．
敏敏：乙种大巴座位数比甲种多20%，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满．
(1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
(2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（x≠ y）．请分别写出每种加油方式的平均单价
（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
【答案】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个
x+ y 2xy
(2)方式一： ，方式二： ；选择方式二
2 x+ y
【知识点】列代数式、异分母分式加减法、分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式．
（1）设每辆甲种大巴车的座位数为a(a≠0)个，则每辆乙种大巴车的座位数为a(1+20%)=1.2a个，根据
“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可；
（2）根据“加油费用=加油量×加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加
油方式的平均单价的大小即可求解．
【详解】（1）解：设每辆甲种大巴车的座位数为a(a≠0)个，则每辆乙种大巴车的座位数为
a(1+20%)=1.2a个，
810 810
根据题意可得： = +3，
a 1.2a
解得：a=45，
经检验，a=45为原方程的解，
则1.2a=54，答：每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个；
100x+100 y x+ y
（2）解：按照方式一加油的平均单价为 = （元/升），
100+100 2
500+500 2xy
=
按照方式二加油的平均单价为500 500 x+ y（元/升），
+
x y
按方式一加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得：
x+ y 2xy (x+ y) 2−4xy (x−y) 2
− = = （元/升），
2 x+ y 2(x+ y) 2(x+ y)
∵x>0，y>0，且x≠ y，
(x−y) 2
∴x+ y>0，(x−y) 2>0，即 >0，
2(x+ y)
∴选择方式二加油更合算．
【变式10-2】（23-24八年级·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从
投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的1.5倍；
B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成；
C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成．
(1 1 ) x−3
已知一个同学按照C方案，设规定的时间为x天，根据题意列出方程：3 + + =1
x 1.5x 1.5x
(1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________．
(2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为0.8万元，乙队每施工一天所需费用为1.3万元，请你在如
期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
【答案】(1)甲、乙两队合作3天
(2)C方案，理由见解析
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查分式方程的应用；
(1 1 ) x−3
（1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程3 + + =1，可知方案C中“星号”部分为：
x 1.5x 1.5x
若甲、乙两队合作3天；
（2）根据题意先求得规定的天数，然后算出两种方案的费用之后，再根据题意选择节省工程款的方案．(1 1 ) x−3
【详解】（1）解：根据题意得出的方程为3 + + =1，则条件为：若甲、乙两队合作3天；
x 1.5x 1.5x
故答案为：若甲、乙两队合作3天;
1 1 x−3
（2）解：解方程3 ( + )+ =1，得：x=9，
x 1.5x 1.5x
经检验，x=9是原分式方程的解，所以规定的工期为9天
如期完成的两种施工方案需要的费用分别为：
B方案：1.3×9=11.7（万元）；
C方案：3×1.3+9×0.8=11.1 （万元），
∵11.7>11.1，
∴C方案更省钱.
【变式10-3】（23-24八年级·浙江杭州·期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数
据显示，新能源汽车零售渗透率达到了50.39%，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新
能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务．
(1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实
际用了多少天？
(2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中a≠b）
甲方案：设完成生产任务所需的时间为t 天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b
1
辆完成，则t = ______________天（用a，b的代数式表示）
1
乙方案：设完成生产任务所需的时间为t 天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则
2
t = ______________天（用a，b的代数式表示）
2
(3)在（2）的条件下，请判断t ，t 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】(1)完成第一项任务实际用了2天
200(a+b) 800
(2) ，
ab a+b
(3)t >t ，理由见解析
1 2
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的加减，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的
关键．
（1）设完成第一项任务实际用了x天，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合给出的两种方案列代数式即可；200(a−b) 2 200(a−b) 2
（3）两个代数式作差得t −t = ，利用a、b取值判断出 >0，进而得到t >t ．
1 2 ab(a+b) ab(a+b) 1 2
【详解】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需(x+2)天完成任务，
400 400
由题意，得 =2× ，
x x+2
解得x=2，
经检验，x=2是所列方程的解，且符合题意，
答：完成第一项任务实际用了2天；
200 200 200(a+b)
（2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间t = + = （天），
1 a b ab
400 800
1 1 t = = 800
乙方案中，由a× t +b× t =400得 2 1 1 a+b，即乙方案完成生产任务所需的时间t =
2 2 2 2 a+ b 2 a+b
2 2
（天），
200(a+b) 800
故答案为： ， ；
ab a+b
（3）解：t >t ，理由为：
1 2
200(a+b) 800
t −t = −
1 2 ab a+b
200(a+b) 2 800ab
= −
ab(a+b) ab(a+b)
200a2+400ab+200b2−800b2
=
ab(a+b)
200a2−400ab+200b2
=
ab(a+b)
200(a−b) 2
= ，
ab(a+b)
∵a、b都为正数，且a≠b，
∴(a−b) 2>0，ab>0，a+b>0，
200(a−b) 2
∴ >0，
ab(a+b)∴，则．
