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专题 22.5 实际问题与二次函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 销售问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 行程问题】..................................................................................................................................................6
【题型3 拱桥问题】................................................................................................................................................12
【题型4 喷水问题】................................................................................................................................................21
【题型5 增长率问题】............................................................................................................................................28
【题型6 投球问题】................................................................................................................................................32
【题型7 隧道问题】................................................................................................................................................39
【题型8 实物模型问题】........................................................................................................................................45
【题型9 图形问题】................................................................................................................................................53
【题型10 动点问题】................................................................................................................................................59
【题型1 销售问题】
【例1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）2022年秋，奥密克戎病毒肆虐，许多人被封控在家不能外出，网店
速度发展起来，杰达网店销售的消毒液很畅销，已知消毒液成本为每瓶20元，调查发现，每天的销售量
y(kg)是销售单价x（元）（其中20≤x≤30）的一次函数，部分数据整理如下表：
销售单价x/
20 25
元
销售量y/kg
200 180
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价x为多少元时，每天的销售利润W最大？最大利润是多少元？
(3)疫情期间，杰达网店老板决定每买一瓶消毒液就捐赠m元(m>1)后，每天的最大利润为1120元，求m的
值．
【答案】(1)y=−4x+280(20≤x≤30)
(2)当售价为30元时，每天的销售利润W最大，最大值为1600元
(3)m=3【分析】（1）根据题意，待定系数法求解析式即可；
（2）表示出W与x的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定每天销售利润最大时的销售单价，进一步
求出最大利润即可；
（3）表示出W与x的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定每天销售利润最大时的销售单价，根据最
大利润为1120元列方程，求解即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0,k,b为常数)，
将x=20，y=200和x=25，y=180代入，
得¿，
{k=−4)
解得 ，
b=280
∴y=−4x+280(20≤x≤30)；
（2）W =(x−20)(−4x+280)
=−4x2+360x−5600
=−4(x−45) 2+2500，
∵20≤x≤30，
当x=30时，W取得最大值，最大值为−4×225+2500=1600(元)，
∴当售价为30元时，每天的销售利润W最大，最大值为1600元；
（3）W =(x−20−m)(−4x+280)
=−4x2+(360+4m)x−5600−280m
90+m 2
=−4(x− ) +m2−100m+2500，
2
90+m
∵20≤x≤30，且30< ，
2
∴当x=30时，W取得最大值，
90+m 2
根据题意，得−4(30− ) +m2−100m+2500=1120，
2
解得m=3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意并根据题意求出函数关系式是解题的关
键．
【变式1-1】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活
环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家
垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为10元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系：当x=12时，y=96；当x=20时，y=80．
(1)若该公司获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的函数解析式；
(2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
【答案】(1)W =−2x2+140x−1200
(2)当销售单价定为30元时，商场可获最大利润，最大利润是1200元
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到W与x之间的函数关系式，
（2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可．
【详解】（1）解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为y=kx+b，
∵当x=12时，y=96；当x=20时，y=80．
{12k+b=96) {k=−2)
∴ ，解得
20k+b=80 b=120
∴y=−2x+120，
∴W =(x−10)⋅(−2x+120)
=−2x2+140x−1200，
（2）解：∵W =−2x2+140x−1200=−2(x−35) 2+1250，
∵x≤30，抛物线开口向下，在x=35的左侧，y随x的增大而增大，
∴x=30时，W有最大值，最大值为1200元．
答：当销售单价定为30元时，商场可获最大利润，最大利润是1200元．
【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以
上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)y=−0.1x2+1.5x
(2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元
【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键．
（1）将(1,1.4),(3,3.6)代入y=ax2+bx，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式．
（2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值
求解即可．
【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为y=ax2+bx，
将(1,1.4),(3,3.6)代入y=ax2+bx，得
{ a+b=1.4 ) {a=−0.1)
，解得
9a+3b=3.6 b=1.5
∴二次函数解析式为y=−0.1x2+1.5x．
（2）设购进A产品m吨，购进B产品(10−m)吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则
w=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m)=−0.1m2+1.2m+3=−0.1(m−6) 2+6.6
∵−0.1<0，
∴当m=6时，W有最大值6.6．
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受
国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存
在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最
大，最大利润是多少？
【答案】(1)y=−10x+700(2)当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式．
（1）结合已知的图象，用待定系数法可得y与x之间的函数关系式为y=−10x+700；
（2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得x≤46，设每天获取的利润为w元，可得：
w=(−10x+700)(x−30)=−10(x−50) 2+4000，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获
取的利润最大，最大利润是3840元．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将(40,300)，(55,150)代入得：
{40k+b=300)
，
55k+b=150
{k=−10)
解得 ，
b=700
∴y=−10x+700；
（2）∵每天“中国结”的销售量不低于240件，
∴−10x+700≥240，
解得x≤46，
设每天获取的利润为w元，
根据题意得：w=(−10x+700)(x−30)=−10(x−50) 2+4000，
∵−10<0，抛物线对称轴是直线x=50，
∴x=46时，w取最大值，最大值是−10×(46−50) 2+4000=3840（元)，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【题型2 行程问题】
【例2】（23-24·浙江杭州·一模）如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑
过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的
时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v=10t，高度h与
1
时间t满足关系：ℎ = gt2 （g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20
2
（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达
B点时的速度是多少？
(2)小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v
（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：
1
g=− aT2+vT（a≠0，a是常数），当v=20（厘米/秒）时，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小
2
车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T=4秒时，小车在水平地面BE上
滑行的距离为多少？
【答案】(1)当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时
小车到达B点时的速度是30厘米/秒
(2)小车在水平地面BE上滑行的距离为168cm
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，准确求出函数解析式是解题关键．
（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把ℎ =45代入解析式求出t，再把
t的值代入y=10t求出速度v；
1
（2）先把v=20，s=50，T=5代入s=− aT2+vT求出a的值，再根据ℎ =125h求出t，再求出v，然
2
后求出s即可．
1
【详解】（1）解：当t=2， ℎ =20时，20= g×22 ，
2
解得g=10，
1
∴ℎ = ×10t2=5t2 ；
2
∴当ℎ =45时，5t2=45，
解得t=3或t=−3（舍去），
此时v=10×3=30(cm/s)，
答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；
1
（2）把v=20，s=50，T=5代入s=− aT2+vT，
2
1
则50=− ×a×52+20×5，
2
解得a=4，
∴s=−2T2+vT，
当ℎ =125时，5t2=125，
解得t=5或t=−5（舍去），
∴v=10×5=50(cm/s)，
∴s=−2×42+50×4=168(cm)．
答：小车在水平地面BE上滑行的距离为168cm．
【变式2-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达
40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道
顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滑行时间x/s 0 1 2 3 4
2
滑行距离s/m 0 6 14 36
4
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无
人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？
(3)小明出发多久后与无人机相遇？
【答案】(1)s=x2+5x，y=−2x+120；
(2)小明滑完整个赛道需要耗时10s；(3)小明出发8s与无人机相遇．
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
（1）设s关于x的函数解析式为s=ax2+bx+c，用待定系数法可得s=x2+5x；根据题意得
y=150−30−2x=−2x+120，
（2）在s=x2+5x中，令s=150可解得小明滑完整个赛道需要耗时10s；
（3）由x2+5x=−2x+120可解得小明出发8s与无人机相遇．
【详解】（1）解：设s关于x的函数解析式为s=ax2+bx+c，
将(0,0)，(1,6)，(2,14)代入得：
{
c=0
)
a+b+c=6 ，
4a+2b+c=14
{a=1
)
解得 b=5 ，
c=0
∴s=x2+5x；
根据题意得y=150−30−2x=−2x+120，
∴s关于x的函数解析式为s=x2+5x，y关于x的函数解析式为y=−2x+120；
（2）解：在s=x2+5x中，令s=150得：
150=x2+5x，
解得x=10或x=−15（舍去），
∴小明滑完整个赛道需要耗时10s；
（3）解：由x2+5x=−2x+120得：x=8或x=−15，
∴小明出发8s与无人机相遇．
【变式2-2】（23-24·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众
基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶
段和途中阶段龙舟划行总路程s(m)与时间t(s)的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s=kt2 (k≠0)；
途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s(m)与
时间t(s)的函数表达式为s=k(t−70) 2+ ℎ(k≠0)．(1)求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围；
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s，当t=90s时，求该龙舟划行的总路程；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.85m/s，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队
完成训练总路程所需时间．
1
【答案】(1)k= ，02.5，所以在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
25 25
（3）求出船到桥是时间，再求出水位上升的高度即可判断．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米．
由题意得，D(5,−ℎ)，B(10,−ℎ−3)，
代入y=ax2，得：
{ 25a=−ℎ )
100a=−ℎ−3
{ a=− 1 )
解得， 25 ，
ℎ
=11
∴抛物线的解析式为y=− x2 ；
25
16
（2）当x=4时，y=− ，
25
16 84
∵− −(−4)= >2.5
25 25
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
35
（3）船行驶的时间= =7小时．7×0.25=1.75m<3m，
5
∴该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥、
【点睛】本题考查二次函数的实际应用、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是学会利用待定系数
法构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决实际问题．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB
宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
1
【答案】（1）y=- x2（2）从正常水位开始，持续10小时到达警戒线
25
【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），再根据题意得到C（-5，-1），利用待定系
数法即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即
可．
【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2.
∵CD＝10 m，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，
∴C(－5，－1)．
把点C的坐标代入y＝ax2，1
得a＝－ ，
25
1
故抛物线的解析式为y＝－ x2.
25
（2）∵AB宽20 m，
∴可设A(－10，b)．
1
把点A的坐标代入抛物线的解析式y＝－ x2中，
25
解得b＝－4，
∴点A的坐标为(－10，－4)．
设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)，
∴EF＝3 m.
∵水位以每小时0.3 m的速度上升，
∴3÷0.3＝10(时)．
答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式．
【变式3-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）根据以下素材，探索完成任务：
探究
素材 任务
步骤
确定 在图2中建立合适的
如图1是某市一抛物线型拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，
拱桥 直角坐标系，求抛
某时测得水面宽8m，拱顶离水面4m；
形状 物线的函数表达式
由于受暴雨天气影响，水位正以0.2米/时的速度持续上涨，一货船
应用 请通过计算说明该
载货后高于水面部分的截面为长方形，宽为6m，顶部离水面
知识 货船不能通过该抛
1.5m，从距离拱桥120千米的码头出发，以 40千米/时的速度行驶
解答 物线型拱桥；
经过拱桥；
拟定 直接写出一种调整
为了能让货船通过拱桥，船长决定先在码头调整货物摆放(保持高
设计 后能通过拱桥的截
于水面部分的截面面积不变)，但在码头调整物资需42分钟．
方案 面宽＿m与高＿m．1
【答案】确定拱桥形状：y=− x2+4；应用知识解答：见解析；拟定设计方案：调整后能通过拱桥的截
4
面宽4m与高2.25m
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数图象和性
质即可求解.
【详解】（确定拱桥形状：）
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为：y=ax2+c(a≠0)，
由题图可知，抛物线经过A(4,0)、B(0,4)，
{16a+c=0) { a=− 1 )
则 ，解得 4 ，
c=4
c=4
1
∴抛物线的函数表达式为：y=− x2+4.
4
（应用知识解答：）
解：根据题意如图，
由题意可知，货船从码头出发到拱桥时间为：120÷40=3（小时），
则由题意可知，水位上涨：0.2×3=0.6（米），
即货船顶点离水面为：1.5+0.6=2.1（米），
1 7
由货船宽6米，由图可知：当x=3时，y=− ×32+4= =1.75，即C(3,1.75)
4 4
∵2.1>1.75，
∴该货船不能通过该抛物线型拱桥.
（拟定设计方案：）解：根据题意如图，
42
由题意可知，货船在码头调整货物和从码头到拱桥时间为：120÷40+ =3.7（小时），
60
则由题意可知，水位上涨：0.2×3.7=0.74（米），
∵货船保持高于水面部分的截面面积不变，原来横截面面积6×1.5=9（平方米）
∴调整后货船横截面的宽为4米，货船顶部离水面2.25米，横截面面积保持不变；
则货船从码头到达桥拱时，货船顶点离水面为：2.25+0.74=2.99（米），
1
由货船宽4米，由图可知：当x=2时，y=− ×22+4=4，即C(2,4)
4
∵4>2.99，
∴该货船能通过该抛物线型拱桥.则调整后能通过拱桥的截面宽4m与高2.25m．
【变式3-3】（23-24·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名
片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省
大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥
为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180
米，跨径布置为180+460+180=820m．
3
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为 ，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间
20
的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函
数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决
问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低
点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的
速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看
到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（−70，−21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距
离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧
再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
3
【答案】(1)①(230,69)；②y= x2 ；③63m
2300
(2)不超过6分钟
25
(3)光源应放在(−70,−21)和(− ,−21)之间
23
【分析】（1）①作BD⊥x轴于D点，由题意得AB=L=460，根据S:L= 求出S的值，即可得BD的
20
长，由此可得B点的坐标；
②设y=ax2，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式；
③设最长的吊杆为EF，由题意得OF=230−10=220，代入表达式中求出y的值，即可得EF的长，即吊
杆的长．
（2）作MN∥x轴，交抛物线于M、N两点，则y = y =6.9，求出M、N两点的横坐标，进而可得MN
M N
的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果．
3
（3）设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，先求出直线CB的表达式为y= x，由
10
3
GH∥CB可知直线GH与直线CB的k相同，设直线GH的表达式为y= x+m，联立抛物线和直线的表
10
69
达式可得3x2−690x−2300m=0，由Δ=0，求出m的值为− ，由此可得GH直线的表达式为
4
3 69
y= x− ，求出G点的坐标即可得到答案．
10 4
【详解】（1）①如图，作BD⊥x轴于D点，
由题意得AB=L=460，
1
∴OD= L=230，
2
3
∵S:L= ，
20
3 3
∴S= L= ×460=69，
20 20
∴BD=69，
∴点B的坐标为(230,69)；
②设y=ax2，
把B(230,69)代入得2302 ⋅a=69，
69
解得a= ，
2300
3
∴y与x的函数解析式为：y= x2 ；
2300
③如图，设最长的吊杆为EF，∵吊杆间距10m，
∴DF=10，
∴OF=230−10=220，
3 3
由y= x2 得，x=220时，y= ×2202≈63，
2300 2300
∴EF≈63，
∴最长的吊杆的长度约为63m．
（2）如图，作MN∥x轴，交抛物线于M、N两点，
3
由题意知y = y =6.9，代入抛物线解析式得 x2=6.9，
M N 2300
解得x =−23❑√10，x =23❑√10，
1 2
∴x =−23❑√10，x =23❑√10，
M N
∴MN=2×23❑√10=46❑√10，
46❑√10+150
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为： ≈5.9<6，
50
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟．（3）
设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，
设直线CB的表达式为y=kx+b，则
{−21=−70k+b)
，
69=230k+b
{ k= 3 )
解得 10 ，
b=0
3
∴直线CB的表达式为：y= x．
10
∵GH∥CB，
∴直线GH与直线CB的k相同，
3
设直线GH的表达式为y= x+m，
10
3
{ y= x2)
2300
联立 ，
3
y= x+m
10
3 3
得 x2= x+m，
2300 10
整理得3x2−690x−2300m=0，
∵直线GH与抛物线只有一个交点，
∴Δ=(−690) 2−4×3×(−2300m)=0，
69
解得m=− ，
43 69
∴直线GH的表达式为y= x− ．
10 4
3 69
当y=−21时，−21= x− ，
10 4
25
解得x=− ，
2
25
∴G(− ,−21)，
2
25
∴光源应放在(−70,−21)和(− ,−21)之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上．
2
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函
数与一次函数的交点问题是解题的关键．
【题型4 喷水问题】
【例4】（23-24九年级·河北邢台·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某
公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷
水时的截面示意图．
(1)喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱
刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB
为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高ℎ m，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的取值范围．
1
【答案】(1)①图见解析，y=− (x−3) 2+0.8；②7m
20
(2)0.212m≤ℎ≤0.5m
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系
是解题的关键．
（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
②令y=0，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可；
1
（2）由题意可得CD=0.5m，BC=0.8m，分别代入y=− (x−3) 2+k，求出k的最小值和最大值，再令
20
x=0，求得OA的最小值和最大值，即可得出答案．
【详解】（1）①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为y=a(x−3) 2+0.8
把A(0,0.35)代入得0.35=a(0−3) 2+0.8
1
解得：a=−
20
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−3) 2+0.8；
20
1
②令y=0，得0=− (x−3) 2+0.8，
20
解得：x =7，x =−1（舍去）
1 2
∴B(7,0)
∴OB=7
∴喷灌器底端O到点B的距离7m；
（2）如图所示：∵CD=0.5m BC=0.8m
，
∴D(6.2,0.5)，E(7,0.5)
1
设y=− (x−3) 2+k
20
1
把D(6.2,0.5)代入得0.5=− ×(6.2−3) 2+k
20
解得：k=1.012
1
∴y=− (x−3) 2+1.012
20
当x=0时，
1
y=− ×(0−3) 2+1.012=0.562
20
∴OA =0.562m
min
∴ℎ =0.562−0.35=0.212m
1
设y=− (x−3) 2+k′ ，
20
1
把E(7,0.5)代入得0.5=− (7−3) 2+k′
20 ❑
解得：k′=1.3
1
∴y=− (x−3) 2+1.3
20
1
当x=0时，y=− (0−3) 2+1.3=0.85
20
∴OA =0.85m
max
∴ℎ =0.85−0.35=0.5m
∴使水柱落在花坛的上方DE边上，ℎ的取值范围为0.212m≤ℎ≤0.5m．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口
中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为y=−2(x−ℎ) 2+k(0≤x≤ℎ)，水柱的最大高度为8dm．
(1)当射水鱼在原点O处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在A(2,6)处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发．
①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以2dm/s的速度水平向右逃离，同时射水鱼以2.5dm / s的速度水平向
右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
【答案】(1)y=−2(x−2) 2+8(0≤x≤2)
(2)①射水鱼需要向右游动1dm才能击中昆虫；②经过2s射水鱼恰好能击中昆虫
【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①令y=6，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可
【详解】（1）解：∵水柱的最大高度为8dm，
∴k=8，
∵射水鱼在原点O处，
∴将(0,0)代入y=−2(x−ℎ) 2+8，得0=−2(0−ℎ) 2+8，
解得ℎ =2或ℎ =−2（舍去），
∴水柱的解析式为y=−2(x−2) 2+8(0≤x≤2)
（2）解：①令y=6，得−2(x−2) 2+8=6，
解得x=1或x=3，∵0≤x≤2，
∴x=1，
∴射水鱼需要向右游动1dm才能击中昆虫．
2−1
②由题意得，t= =2s，
2.5−2
∴经过2s射水鱼恰好能击中昆虫．
【变式4-2】（23-24九年级·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了
很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的
调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过
研究发现，以地面为x轴，以喷枪所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点
1
到地面的距离为y(m)，水流的最高点与喷枪的水平距离为x(m)，且满足y= x+2.5(x≥0)．
2
请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，求水流的最高点到地面的距离；
(3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到1m，参考数据❑√21≈4.58）．
【答案】(1)2.5
(2)6m
(3)16m
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
1
（1）将x=0代入y= x+2.5(x≥0)即可求解；
2
1
（2）将x=7代入y= x+2.5(x≥0)即可求解；
2
（3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为w=a(x−7) 2+6，将(0,2.5)代入求出a的值，再令w=0，求出对应的x的值即可．
1
【详解】（1）解：将x=0代入y= x+2.5(x≥0)，得y=2.5，
2
即该喷枪的出水口到地面的距离为2.5m，
故答案为：2.5；
1 1
（2）解：将x=7代入y= x+2.5(x≥0)，得y= ×7+2.5=6，
2 2
即水流的最高点到地面的距离为6m；
（3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，水流的最高点到地面的距离为6m，
∴此时抛物线的顶点坐标为(7,6)，
设抛物线的解析式为w=a(x−7) 2+6，
将(0,2.5)代入w=a(x−7) 2+6，得2.5=a(0−7) 2+6，
1
解得a=− ，
14
1
∴ w=− (x−7) 2+6，
14
1
当w=0时，− (x−7) 2+6=0，
14
解得x =7+2❑√21≈7+2×4.58≈16，x =7−2❑√21（负值舍去），
1 2
∴水流的射程约为16m．
【变式4-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根
水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位
置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
(1)根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象：(2)求y与x的函数表达式；
(3)公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷
泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不
小于0.5米，己知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水
头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
【答案】(1)见解析
1
(2)y=− x2+x+0.5
4
(3)公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．
【分析】
本题主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移．
（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）设函数表达式为y=a(x−k) 2+ ℎ，先由图得到函数顶点为(2,1.5)，再将(0,0.5)代入计算即可；
（3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【详解】（1）
以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
（2）
由上图可得函数图象顶点为(2,1.5)，
根据图象可设二次函数的解析式为：y=a(x−2) 2+1.5，
将(0,0.5)代入y=a(x−2) 2+1.5，
1
解得a=− ，
41 1
∴抛物线的解析式为：y=− (x−2) 2+1.5=− x2+x+0.5；
4 4
（3）
1
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y=− x2+x+0.5+n，
4
2
由题意可知，当横坐标为时2+ =3时，纵坐标的值不小于1.8+0.5=2.3，
2
1
∴ − ×32+3+0.5+n≥2.3，
4
解得n≥1.05，
∴水管高度至少向上调节1.05米，
∴1.05+0.5=1.55（米)，
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．
【题型5 增长率问题】
【例5】（23-24九年级·江苏无锡·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实
现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月
份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50．
（1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得
的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是
多少万元？
（2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，
与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月
份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）．
（参考数据：❑√51=7.14，❑√52=7.21，❑√53=7.28，❑√54=7.35）
【答案】(1)4000万；(2)a=13
【详解】试题分析：（1）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，
该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元；
（2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，
每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%．
试题解析：（1）根据图象知道当x=1，p=80，
当x=4，p=95，
设p=kx+b，
80=k+b k=5
∴ { ，解得{ ，
95=4k+b b=75
∴p=5x+75；根据k＞0，y随x增大而增大，
∴当x=5时，p最大，p=5×5+75=100万元；
∴5月份的利润是：100万×40=4000万元；
（2）（2）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，
而当x=5时，y=40，
∴6月份的二氧化碳排放量为40（1-a%），
7月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）2，
5月份的利润为4000万元，
∴6月份的利润为100（1+50%）×40（1-a%），
7月份的利润为100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2，
∴100（1+50%）×40（1-a%）+100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2=3×4000，
∴a=13．
考点：二次函数的应用.
【变式5-1】（23-24九年级·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科
研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片
的单价为200元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为128元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)y=200(1−x) 2
(2)20%【分析】（1）利用经过两次降价后的价格=原价× ( 1−每次降价的百分率) 2，即可找出y与x之间了函数
关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为128元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合
题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）
∴依题意得：y=200(1−x) 2，
∴y与x之间的函数关系式为y=200(1−x) 2；
（2）依题意得：200(1−x) 2=128，
解得：x =0.2=20%，x =1.8（不符合题意，舍去），
1 2
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的
关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售
500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605
件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若
剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)10%
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量
×(1+日平均增长率) 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为(10+ y)元，销售数量为(500−20 y)件，根据每件盈
利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为(10+z)(500−20z)元，每天总纯利润为
(10+z)(500−20z)(1−10%)−0.9(500−20z)−102元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解
即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
500(1+x) 2=605，
解得： x =10%， x =−210% (不符合题意，舍去)，
1 2
∴x=10%，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
(10+ y)(500−20 y)=6000，
解得：y =10，y =5，
1 2
∵要使顾客得到实惠，
∴y=5，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
(10+z)(500−20z)(1−10%)−0.9(500−20z)−102=5100，
解得：z =z =8，
1 2
∴z=8，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关
键．
【变式5-3】（23-24·重庆沙坪坝·一模）我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房
间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低
2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都
5
比2月增加了 a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
2
【答案】（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可；（2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的
增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
{ x+ y=120① )
200x+300 y=28000②
把①×200得200x+200 y=24000③
用②-③得：100 y=4000，解得y=40
把y=40代入①中，解得x=80
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：
下调后A房间的房价=200−2a，B房间的房价=300(1−a%)
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
( 5 ) ( 5 )
下调后A房间的入住间数=80 1+ a% ，B房间的入住间数=40 1+ a%
2 2
( 5 ) ( 5 )
故三月份的总收入=80× 1+ a% (200−2a)+40× 1+ a% ×300×(1−a%)
2 2
又∵三月份比二月份总营业收入增加了a%
( 5 ) ( 5 )
∴80× 1+ a% (200−2a)+40× 1+ a% ×300×(1−a%)=28000×(1+a%)
2 2
( 5 )
即 1+ a% (16000−160a+12000−120a)=28000×(1+a%)
2
( 5 )
1+ a% (28000−280a)=28000×(1+a%)
2
( 5 )
1+ a% (100−a)=100×(1+a%)
2
5a 5
100+ −a− a2%=100+a
2 2
a 5
− a2%=0
2 2
解得：a=20，a=0（舍去）
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能
够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．【题型6 投球问题】
【例6】（23-24·浙江嘉兴·一模）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击
球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P
在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系C ：
1
y=−0.4(x−a) 2+3.2；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系C ：
2
y=−0.4x+b，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m．
(1)求a，b的值．
(2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度．并通过计算判断如果选
择吊球的方式能否使球过网．
(3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他
应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
【答案】(1)a=1，b=2.8
(2)能过网，见解析
39
(3)
40
【分析】（1）根据一次函数解析式和过点(2,2)解得b，再求出点P的坐标，代入二次函数求得a；
（2）选择扣球，利用一次函数求得网AB的高度，选择吊球，结合OA利用二次函数求得值与网高进行判
断即可；
（3）由吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，得点P的坐标为(0,2.5)，设向前移动m米，则二
次函数解析式为y=−0.4(x−1−m) 2+c，将x=5,y=0.4及点P的坐标代入，求出m即可．
【详解】（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m，
∴−0.8+b=2，解得b=2.8，∴一次函数解析式为y=−0.4x+2.8；
当x=0时，y=2.8，
则点P的坐标为(0,2.8)，
∴2.8=−0.4(0−a) 2+3.2，
解得a=1或a=−1（舍去）；
（2）令y=−0.4x+2.8中x=3，则y=−0.4×3+2.8=1.6，
∴球网AB的高度为1.6m，
选择吊球，二次函数y=−0.4(3−1) 2+3.2=1.6，
∴选择吊球的方式也刚好能使球过网；
（3）∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，
∴点P的坐标为(0,2.5)
设向前移动m米，则二次函数解析式为y=−0.4(x−1−m) 2+c
将点(5,0.4)及点P的坐标代入，
{−0.4(−1−m) 2+c=2.5 )
得 ，
−0.4(5−1−m) 2+c=0.4
39
解得m= ，
40
39
∴他应该向正前方移动 米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处．
40
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与实际问题，以及二次函数
图象的平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移．
【变式6-1】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别
为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位
于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物
线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表：
1
s/m 0 9 12 18 21 …
5
h/m 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …(1)根据表中数据可得，当s= m时，h达到最大值 m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一
次防守中，守门员位于足球正下方时，s=27m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】(1)15m，5m
1 2
(2)ℎ =− s2+ s
45 3
(3)守门员能成功防守，见详解．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解函数图像上点
的横坐标与纵坐标的含义．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入(12,4.8)可求出参数，由此可解答；
（3）把s=27m代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：s=15m时，ℎ达到最大值5m；
（2）由（1）知，抛物线顶点坐标(15,5)，设ℎ =a(s−15) 2+5，
把(12,4.8)代入解析式，
∴(12−15) 2a+5=4.8，
1
解得a=− ，
45
1 1 2
∴ℎ =− (s−15) 2+5=− s2+ s．
45 45 3
（3）当s=27m，
1 1
∴ℎ =− (s−15) 2+5=− ×122+5=−3.2+5=1.8，
45 45
∵1.8<2.6，∴守门员能成功防守．
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·阶段练习）校园篮球赛中，小磊跳起投篮，已知球出手时离地面
高2米，与篮圈中心的水平距离为6米，篮圈中心距离地面3米．当球出手后水平距离为4米时达到最大
高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线．
(1)按如图所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
(2)通过计算说明，小磊本次投球能否命中篮圈中心．
(3)如果出手的角度和力度均不变，通过计算说明小磊应向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
1
【答案】(1)y=− (x−4) 2+4
8
(2)小磊的这次投篮未能命中篮圈中心，理由见解析
(3)小磊应该向后退−2+2❑√2米才能命中篮圈中心
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4,4)，球出手时的坐标为(0,2)，设抛物线的解析式为
y=a(x−4) 2+4，由待定系数法求解即可；
（2）求得当x=6时的函数值，与3比较即可；
（3）由题意可知出手的角度和力度都不变，小磊向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设
1
抛物线的解析式为y=− (x−4+m) 2+4，将(6,3)代入求得m的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特
8
点，可得答案．
【详解】（1）
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4,4)，球出手时的坐标为(0,2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+4，
将(0,2)代入得：16a+4=2，1
解得：a=− ，
8
1
∴y=− (x−4) 2+4；
8
（2）
1
解：∵y=− (x−4) 2+4，
8
1 7
∴当x=6时，y=− (6−4) 2+4= ≠3，
8 2
∴小磊的这次投篮未能命中篮圈中心；
（3）
解：∵出手的角度和力度都不变，
1
∴设抛物线的解析式为y=− (x−4+m) 2+4，
8
1
将(6,3)代入得：3=− (6−4+m) 2+4，
8
∴(2+m) 2=8，
解得：m =−2+2❑√2，m =−2−2❑√2，
1 2
1 1
∵当m=−2−2❑√2时，y=− (x−4−2−2❑√2) 2+4=− (x−6−2❑√2) 2+4
8 8
当x<6时，y随x增大而增大，此时应该是球处于上升趋势，故舍去．
1 1
∵当m=−2+2❑√2时，y=− (x−4−2+2❑√2) 2+4=− (x−6+2❑√2) 2+4
8 8
当6−2❑√22.4，
∴球能越过球网；
（2）解：∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点G到y轴总是保持6米的
水平距离，
又∵L 是与L 形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
2 1
1
设L 的表达式为y=− (x−ℎ) 2+1，
2 36
1
将点A(18,0)代入得：0=− (18−ℎ) 2+1，
36
解得：ℎ =12（舍去），ℎ =24，
1 2
1
∴L 的表达式为y=− (x−24) 2+1，
2 36
8 8 1
当y= 时， =− (x−24) 2+1，
9 9 36
解得：t =24，t =20（舍去），
1 2
∴24−18=6（米)．
∴玩偶所处的位置点N与点A的距离为6米．
【题型7 隧道问题】
【例7】（23-24九年级·山东青岛·专题练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8
米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5
米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM
线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多
少，请你帮施工队计算一下．
1
【答案】（1）y=− x2+2x（0≤x≤16）；（2）能，理由见解析；（3）AB、AD、DC的长度之和的最大值
8
是20．
【分析】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8，将点O（0，0）代入上式，
即可求解；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车
最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4，即可求解；
1 1
（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，则AB=y=− (x﹣8)2+8=8− m2，
8 8
1
w=AB+AD+DC=2m+2AB=− m2+2m+16，即可求解．
4
【详解】解：（1）根据题意知：抛物线的顶点坐标为（8，8），
则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8，
1
将点O（0，0）代入上式得：0=64a+8，解得：a=− ，
8
1 1
故函数的表达式为：y=− (x﹣8)2+8，即y=− x2+2x（0≤x≤16）；
8 8
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4，
当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米，
5.8＜6，故该车辆能通行；1
（3）设点B（m，0），则点A（m，− m2+2m），
8
由抛物线的表达式知，其对称轴为x=8，则BC=2（8﹣m）=16﹣2m=AD，
1
则AB=− m2+2m，
8
1
则设：w=AB+AD+DC=2m+2AB=− m2+2m+16，
4
1
∵− ＜0，故w有最大值，
4
当m=4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解
答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的
长AB为6m，宽BC为4m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y
轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车
能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
1
【答案】(1)y=− x2+1
9
(2)这辆货运卡车能通过该隧道
【分析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，把D(−3,0)，C(3,0)，E(0,1)代入计算即可；
（2）把y=4.5时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：D(−3,0)，C(3,0)，E(0,1)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，把D(−3,0)，C(3,0)，E(0,1)代入y=ax2+bx+c(a≠0)
{
c=1
)
得： 9a+3b+1=0
9a−3b+1=0
1
{ a=− )
9
解得 ，
b=0
c=1
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+1；
9
（2）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
1
在y=− x2+1中，令y=4.5−4=0.5得：
9
1
0.5=− x2+1，
9
3
解得：x=± ，
❑√2
6
∴|2x)= ≈8.49(m)，
❑√2
∵8.49>3，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
【变式7-2】（23-24·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率
等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC
，上部近似为一条抛物线．已知OA=10米，AB=1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA
的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E
与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
9 18
【答案】(1)y=− x2+ x+1
25 5
10
(2)点E与隧道左壁OC之间的距离为 米．
3
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌
握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键．
（1）先根据坐标系确定点C，P，B的坐标，然后用待定系数法即可解答；
（2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：C(0,1)，P(5,10)，B(10,1)，
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
9
{a=−
)
{ 1=c ) 25
则有： 10=25a+5b+c ，解得： 18 ，
b=
1=100a+10b+c 5
c=1
9 18
∴y=− x2+ x+1．
25 5
（2）解：∵平行线段EF与BC之间的距离为8米，矩形OABC且AB=1，
∴点E到x轴的距离为9且在第一象限，
∴点E的纵坐标为9，
9 18 10 40
∴9=− x2+ x+1，解得：x= 或x= >5（舍去）．
25 5 3 3
10
∴点E与隧道左壁OC之间的距离为 米．
3
【变式7-3】（23-24·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形
的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(075进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵C点为抛物线DCE和抛物线FCG的顶点，对称轴为y轴，
∴设抛物线DCE的解析式为：y=a x2+50，抛物线FCG的解析式为：y=a x2+50，
1 2
∵点D(−25,75)在抛物线DCE上，点F(−25,150)在抛物线FCG上，
∴75=(−25) 2a +50，150=(−25) 2a +50，
1 2
1 4
∴a = ，a = ，
1 25 2 25
1 4
∴抛物线DCE:y= x2+50；抛物线FCG:y= x2+50；
25 25（2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为R，r，
在抛物线FCG中：当y=50+30=80时，
4
x2+50=80，
25
30×25 15×25
∴x2= = =r2 ，
4 2
∵30−(75−50)=5>0，
则R=25，
15×25
∴πR2−πr2=(252− )π=437.5π(mm2
)；
2
25
（3）解：当5075时，由图象可得：R2=252，r2= (y−50 )，
4
可列方程：πR2−πr2=450π，
25
则252− (y−50)=450，
4
解得y=78；
则最深度为78−50=28(mm)．
综上：杯中液体最深度为24mm或28mm．
【变式8-1】（23-24·陕西榆林·三模）如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，
其跨度AB为2m，长廊顶部的最高点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子OA、BE均垂直于地面，且高度
为2.5m，线段OE表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部各悬挂
一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯笼，试通
过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
1
【答案】(1)y=− (x−1) 2+3
2
(2)该款灯笼符合要求
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
（1）用待定系数法求函数解析式；
1
（2）将x=1.5代入y=− (x−1) 2+3得，y=2.875，再得2.875−0.2=2.675。再与2.6毕竟即可．
2
【详解】（1）由题意可得C(1,3),A(0,2.5)，
可设函数关系式为y=a(x−1) 2+3，
将A(0,2.5)代入得：2.5=a(0−1) 2+3，
1
解得：a=− ，
2
1
∴该抛物线的函数表达式为y=− (x−1) 2+3；
2
1
（2）将x=1.5代入y=− (x−1) 2+3得，
2
1
y=− (1.5−1) 2+3=2.875，
2
2.875−0.2=2.675
∵2.675>2.6
∴该款灯笼符合要求．
【变式8-2】（23-24九年级·全国·专题练习）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛
物线的形状．如图，在个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面
高度为27米（AB=CD=27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原O建立平面
直角坐标系，如图所示．经测量，AO=40米，斜坡高度12米（即 B、D 两点的铅直高度差）．结合上
面信息，回答问题：(1)若以1米为一个单位长度，则D点坐标为
(2)求出下垂电缆的抛物线表达式
(3)若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5 米时，符合安全要
求，否则存在安全隐患．（说明：直线 GH⊥x轴分别交直线 BD 和抛物线于点 H、G．点G距离坡面
的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
【答案】(1)(20,−15)
1 2
(2)y= x2+ x
100 5
(3)这种电缆的架设符合安全要求，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）由题意可求出DE=15米，OE=20米，即得出D(20,−15)．又可求出CE=12米，即得出C(20,12)
．
（2）结合A(−40,0)，C(0,0)，利用待定系数法求解即可；
1
（3）利用待定系数法可求出斜坡BD解析式为y= x−19，即可求出电缆与坡面的铅直高度
5
1
GH= (x+10) 2+18．再根据二次函数的性质求解即可．
100
【详解】（1）由题意得：OA=40米，AE=60米，AB=CD=27米，AB−DE=12米，AB⊥x轴，
CD⊥x轴，
∴DE=27−12=15米，OE=60−40=20米，
∴D(20,−15)．
故答案为(20,−15)
（2）∵CE=CD−DE=27−15=12米，
∴C(20,12)
∵A(−40,0)，O(0,0)，∴设下垂电缆的抛物线表达式为：y=ax(x+40)，
∴20a(20+40)=12，
1
解得：a= ，
100
1 1 2
∴下垂电缆的抛物线表达式为：y= x(x+40)= x2+ x．
100 100 5
（3）这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
1 2
由（1）可知：y= x2+ x，B(−40,−27)，D(20,−15)，
100 5
设斜坡BD解析式为y=kx+b，
{−27=−40k+b) { k= 1 )
∴ ，解得： 5
−15=20k+b
b=−19
1
∴斜坡BD解析式为y= x−19，
5
则电缆与坡面的铅直高度GH= 1 x2+ 2 x− (1 x−19 ) = 1 (x+10) 2+18．
100 5 5 100
1
∵ >0，
100
∴当x=−10时，GH有最小值为18，即GH =18>13.5，
min
∴这种电缆的架设符合安全要求．
【变式8-3】（23-24九年级·山西·专题练习）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计
划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两
段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面
3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高
度为3.75米．数学建模
（1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部
骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成
是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E
到地面的距离定为1.5米．
①点E的坐标为______，AE的长为______；
②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：
❑√17≈4.12）
1 1
【答案】（1）y=− x2+ x+3.5(0≤x≤9)；（2）① (8,1.5)，2❑√17；②9.3米．
16 4
【分析】（1）根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为(2,3.75)，设y与x之间的函数关系式为
y=a(x−2) 2+3.75，然后用待定系数法即可求解；
1 1
（2）①当y=1.5时，1.5=− x2+ x+3.5，解得：x=8即可求出E(8,1.5)，再用两点之间的距离公式
16 4
求出AE；
②过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FM⊥BC于点M，交AE于点N，求出AE所在直线的函数表达式
1 1 1 1
y=− x+3.5，设点F的横坐标为m，则FN=− m2+ m=− (m−4) 2+1，当m=4时，FN最大
4 16 2 16
HE 8 4❑√17 4❑√17
=1，再根据sin∠HAE=sin∠FNG= = = ，得出FG= FN，最后根据线段和差
AE 2❑√17 17 17即可求解；
本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】解：（1）根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为(2,3.75)，
∴设y与x之间的函数关系式为y=a(x−2) 2+3.75，
由题意得，点A的坐标为(0,3.5)，
将A(0,3.5)代入y=a(x−2) 2+3.75，
1
得4a+3.75=3.5，解，得a=− ，
16
1 1 1
∴y=− (x−2) 2+3.75=− x2+ x+3.5，
16 16 4
1 1
即y与x之间的函数关系式为y=− x2+ x+3.5(0≤x≤9)，
16 4
1 1
（2）①由（1）得y=− x2+ x+3.5，
16 4
1 1
当y=1.5时，1.5=− x2+ x+3.5，解得：x=8或x=−4（舍去），
16 4
∴E(8,1.5)，
∵A(0,3.5)，
∴AE=❑√(0−8) 2+(3.5−1.5) 2=2❑√17，
故答案为：(8,1.5)，2❑√17；
②过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FM⊥BC于点M，交AE于点N，
设AE所在直线的函数表达式为y=kx+b，
将A(0,3.5),E(8,1.5)分别代入y=kx+b，
{ b=3.5, ) { k=− 1 )
得 解，得 4 ，
8k+b=1.5
b=3.51
∴AE所在直线的函数表达式为y=− x+3.5，
4
设点F的横坐标为m，
1 1
∵点F在拋物线y=− x2+ x+3.5的图象上，
16 4
∴F ( m,− 1 m2+ 1 m+3.5 ) ，N ( m,− 1 m+3.5 ) ，
16 4 4
∴FN=− 1 m2+ 1 m+3.5− ( − 1 m+3.5 ) =− 1 m2+ 1 m=− 1 (m−4) 2+1，
16 4 4 16 2 16
1
∵− <0，且0≤x≤9，
16
∴FM有最大值，当m=4时，FN最大=1，
∵FN∥y轴，
∴∠HAE=∠MNE=∠FNG，
又∵∠FGN=∠AHE=90°，HE=8，HA=AB−BH=2，
HE 8 4❑√17
∴sin∠HAE=sin∠FNG= = = ，
AE 2❑√17 17
4❑√17
∴FG= FN，
17
∵当m=4时，FN有最大值1，
4❑√17
∴当m=4时，FG有最大值 ，
17
4❑√17 38
此时，AE+FG= +2❑√17= ❑√17≈9.3米．
17 17
∴需要铝合金材料的最大长度约为9.3米．
【题型9 图形问题】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD
，其中两边靠的墙足够长，中间用平行AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．(1)设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x(m)，矩形苗圃ABCD面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式，直
接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2．
【答案】(1)S=−2x2+18x(00，
∴当x=12时，y有最大值，最大值为y =2×12+248=272(m2)；
最大
由图4，设EF=x，花圃面积为y，
则FG=30−8−x=22−x，由题意得：y=x(22−x)+40+80+32=−(x−11) 2+273，
∴当x=11时，y有最大值为273m2，
所以，图4方案的最大面积更大，为273m2；
项目反思：如下图，
延长CB交OQ于点N，过点F作FM⊥CN于点M，
易得EFMN为矩形，
∴∠EFM=90°，
∵∠EFG=120°，
∠MFG=120°−90°=30°，
设GF=2xm，花圃面积为y m2，
则MG=xm，FM=❑√3xm，FE=30−8−2x=(22−2x)m，
❑√3 3❑√3 22 2 242
由题意得：y=❑√3x(22−2x)+ x2+40+80+32=− (x− ) +152+ ❑√3，
2 2 3 3
22 242
∴当x= 时，花圃面积y有最大值152+ ❑√3，
3 3
242
∵152+ ❑√3≈291.7m2 ，
3
∴图5方案最大面积更大．
【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析
式是解题的关键．
【题型10 动点问题】
【例10】（23-24九年级·吉林白城·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．动点P从点
A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度向
终点A运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间
为x(s)(x>0)，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为y(cm2)．(1)当点D落在QF上时，x的值为______．
(2)当点D落在BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
4
【答案】(1)
3
(2)x=2
4 4 7 1
(3)当0
