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专题 13.5 等边三角形【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】.....................................................................................................2
【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】.....................................................................................................4
【题型3 利用等边三角形的性质求最值】..............................................................................................................8
【题型4 证明等边三角形】....................................................................................................................................13
【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】.......................................................................................19
【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】...........................................................................................................30
【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】.......................................................................................................39
【题型8 探究等边三角形中的动态问题】...........................................................................................................45
【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】.......................................................................................50
【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】...............................................................................................57
知识点：等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，
∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
【答案】30【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作AB的垂直
平分线，证明AB的垂直平分线必过C、D两点，然后证明△BDC≌△BDP，利用全等三角形的性质求解
即可．
【详解】解：作AB的垂直平分线，
∵AD=BD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°，
∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，
∴△BDC≌△BDP(SAS)，
∴∠BPD=∠BCE=30°．
故答案为：30．
【变式1-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识．先求出
∠ABC=∠ACB=60°，再根据“等边三角形三线合一”得到BE、CD也是等边△ABC的角平分线，即
可求出∠FBC=30°,∠FCB=30°，从而求出∠DFB=60°．
【详解】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BE、CD是等边△ABC的中线，
∴BE、CD也是等边△ABC的角平分线，
1 1
∴∠FBC= ∠ABC=30°,∠FCB= ∠ACB=30°，
2 2
∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=60°．
故选：D
【变式1-2】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则
∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三
角形的性质可得∠BAC=∠ACB=60°，由垂线的定义可得∠BCD=90°，从而得出∠ACD=150°，由
三角形内角和定理结合等边对等角可得∠CAD=∠D=15°，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，
∵AC=CD，
180°−∠ACD 180°−150°
∴∠CAD=∠D= = =15°，
2 2
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=60°−15°=45°，
故选：B．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁本溪·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在
1
AD上，且DE= BC，则∠AFE的度数为 ．
2【答案】105°/105度
【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由△ABC是等边三角形，
1 1
可得∠B=60°，由AD是BC边上的中线，可得BD=CD= BC，AD⊥BC，由DE= BC，ED=CD
2 2
，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】解：∵ △ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵ AD是BC边上的中线，
1
∴BD=CD= BC，AD⊥BC，
2
1
∵ DE= BC，
2
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故答案为：105°．
【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】
【例2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点
P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则
线段AP的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点D恰好落在BC上时，
OD=OP，由等边三角形的性质可得∠A=∠C=60°，证明△AOP≌△CDO(AAS)，可得
AP=OC=AC−OA，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，当点D恰好落在BC上时，OD=OP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠COD+∠ODC=180°−∠C=120°，
∵∠DOP=60°，
∴∠COD+∠AOP=180°−∠DOP=120°，
∴∠ODC=∠AOP，
在△AOP和△CDO中，
{∠ODC=∠AOP
)
∠C=∠A ，
OP=OD
∴△AOP≌△CDO(AAS)，
∴AP=OC，
∵AC=9，OA=3，
∴AP=OC=AC−OA=9−3=6，
故选：C．
【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，已知等边△ABC，点 O是 BC 上任意一点，
OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE+OF 的值为（ ）A．0.5 B．1 C．2 D．不确
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题
的关键．
如图所示，连接OA，作AD⊥BC于点D，则AD=1，根据S =S +S 即可求解．
△ABC △ABO △ACO
【详解】解：如图所示，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=1，
1 1 1
∵S = AB·OE，S = AC·OF，S = BC·AD，
△ABO 2 △ACO 2 △ABC 2
1 1 1
∴ AB·OE+ AC·OF= BC·AD，
2 2 2
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
1 1
∴ AB(OE+OF)= BC·AD，
2 2
∴OE+OF=AD=1，
故选：B ．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，等边△ABC的边长为8cm，点D、E分别在边AB、
AC上，点A落在点A 处，且点A 在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
1 1
【答案】24
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得
的等量关系．
根据折叠可得AE=A E，AD=A D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
1 1【详解】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A 处，
1
所以AE=A E，AD=A D，
1 1
则阴影部分图形的周长为：
BC+BD+CE+A D+A E
1 1
=BC+BD+CE+AD+AE
=BC+AB+AC
=8+8+8
=24(cm)．
故答案为：24．
【变式2-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作
PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
9 11 12
A． B．2 C． D．
5 5 5
【答案】B
【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行
线的性质等知识点的应用，过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根
1
据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．能综合运
2
用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适
中．
【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，
{∠PFD=∠QCD
)
∠PDF=∠QDC ，
PF=CQ
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
1
∴AE+CD=DE= AC
2
∵AC=4，
∴DE=2．
故选：B．
【题型3 利用等边三角形的性质求最值】
【例3】（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD=8,CD=6，连接AD，则
AD的最大值与最小值的差为 ．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据
三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6
